7.3 平行线的证明（第2课时+平行线的性质） 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平行线的性质定理，通过“反过来”的思考导入，从已学的平行线判定（角关系推线平行）过渡到性质（线平行推角关系），以问题链搭建学习支架，引导学生经历猜想、验证、证明的完整过程。 其亮点在于注重推理意识培养，如用反证法证明“两直线平行，同位角相等”，通过对比判定与性质的条件结论发展逻辑思维，典例分析结合实际问题体现应用意识。采用探究式教学和结构化小结，帮助学生构建知识体系，教师可高效实施逻辑推理教学。

3.平行线的证明 第2课时 平行线的性质 第七章 命题与证明 北师大版2024·八年级上册 1.掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）”；了解平行于同一条直线的两条直线平行. 2.了解性质定理与判定定理的联系，感受互逆的思维过程. 03 问题导入 思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗 c a b 1 2 我们曾用度量的方法探索：两直线平行，同位角相等. 探究1：如图，直线a∥b，测量同位角∠1和∠2的大小，它们有什么关系？ 60° 60° ∠1=∠2 猜想：两条平行线被第三条直线所截得的同位角_____. 相等 问题1：再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？ a b d 图形的性质并不都是通过测量得出的；往往缺乏说服力. a b d 问题2：如果两直线不平行，上述猜想还成立吗？ 03 新知探究 探究：平行线的性质 1、如果两条直线平行.那么同位角相等。 ∵a∥b,∴∠2=∠4 2、如果两条直线平行.那么内错角相等。 ∵a∥b,∴∠2=∠3 3、如果两条直线平行.那么同旁内角互补相等。 ∵a∥b,∴∠1+∠2=180° a b c 1 2 3 4 03 新知探究 证明性质定理1: 如果两条直线平行.那么同位角相等。 已知：AB∥CD,∠1、∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角。 求证∠1=∠2 证明：如果∠1≠∠2，那么过M点作直线GH,使∠EMH=∠2. 根据同位角相等，两直线平行，可知GH∥CD. 又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH和CD平行. 这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线平行线矛盾。故 ∠1≠∠2假设不成立，所以∠1=∠2 新知探究 两直线平行 1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补 问题 平行线的判定方法是什么？ 思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 验证猜想： 已知：如图，直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. A B C D E F M N 1 2 如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2，如图所示. A B C D F M N 1 2 G H E 根据“同位角相等，两直线平行”可知GH//CD. 又因为AB//CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 03 新知探究 证明性质定理2: 如果两条直线平行.那么内错角相等。 已知：直线 a∥b ,∠1和∠2是内错角 求证：∠1+∠2 证明： ∵ a∥b （已知） ∠2=∠3（两直线平行同位角相等） ∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠1=∠2（等量代换） a b c 1 2 3 03 新知探究 证明性质定理3: 如果两条直线平行.那么同旁内角互补。 a b c 1 2 3 已知：直线 a∥b ,∠1和∠2是同位角 求证：∠1+∠2=180° 证明： ∵ a∥b （已知） ∠2=∠3（两直线平行内错角相等） ∠1+∠3=180°（平角定义） ∴∠1+∠2=180°（等量代换） 新知探究 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 新知探究 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 文字语言 符号语言 A B C D E F M N 1 2 已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角. 求证：∠1 =∠2. 新知探究 已知：如图，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线 EF截出的同位角. 求证：∠1 = ∠2. 如果∠1≠∠2， AB与CD的位置关系会怎样呢？ A C E 2 1 B F D M N G H 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过M点作直线GH，使∠EMH =∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 归纳 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 符号语言： ∵a∥b（已知）， ∴ ∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）. a b c 2 1 练习1 如图，直线a∥b，直线c与a，b相交.若∠1=60°，则∠2的度数为______. 120° 3 直线a∥b ∠3=∠1=60° ∠2+∠3=180° ∠2=120° 分析： 知识要点1 第一步：根据题意，画出图形． 　　先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 证明的一般步骤： 新知探究 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. ①文字简述：两直线平行，同位角相等. ②符号语言： 如图，AB∥CD（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. A C E 2 1 B F D M N 典例分析 紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，进而证明角相等. 方法技巧 例1.如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C， AE是∠DAC的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由. 解：AE是∠DAC 的平分线． 证明如下：∵AE∥BC(已知)， ∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)， 又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠CAE (等量代换)， ∴AE是∠DAC 的平分线（角平分线的定义）． 探究2：前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ 同位角 内错角 转化为 a b c 2 1 a b c 2 1 3 ∠1与∠3是对顶角 问题：如图，已知 a∥b，那么2 与3 相等吗？为什么？ 解：∵ a∥b，(已知) ∴∠1=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵ ∠1=∠3，(对顶角相等) ∴ ∠2=∠3.(等量代换) a b c 2 1 3 （第3题） 【点拨】如图， ， ， . ， . ， . 返回 （第4题） 4. ［2024德阳］如图是某机械加工厂加工 的一种零件的示意图，其中 ， ， ，则 等于 ( ) B A. B. C. D. 返回 新知探究 利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？ 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 尝试来证明一下 典例分析 通过 观察图形猜测这两条直线平行，然后利用已知条件、平行线的性质定理和判定定理进行证明 . 方法技巧 A D C B 例3.如图所示，已知四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？ 解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D. 理由：∵AB∥CD （已知 ）, ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）. 又 ∵ AD∥BC （已知）, ∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）, ∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）. 同理 ∠A=∠C. 新知探究 回顾反思 证明命题的一般步骤： ①弄清题设和结论； ②根据题意画出相应的图形； ③根据题设和结论写出已知、求证； ④分析证明思路，写出证明过程. 平行线的判定和性质的联系和区别 角的数量关系 线的位置关系 判定 性质 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 条件 结论 结论 条件 判定 性质 新知探究 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？ 05 课堂小结 平行线的判定: 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的性质 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 由角定线 由线定角 $