3.2.1.1单调性 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性的概念建构与应用，通过回顾初中函数图象的“上升”“下降”特征，引导学生从直观观察过渡到文字描述，再抽象为符号语言，搭建从具体到抽象的学习支架，梳理单调性概念的形成脉络。 以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“问题链”驱动（如分析y=x²等函数的单调性），结合一次函数证明、物理玻意耳定律应用等实例，培养学生用符号语言表达数学关系的能力，分层任务设计（基础、拓展、挑战）帮助学生逐步掌握定义证明步骤，提升数学运算素养，为教师提供清晰的教学路径和可操作的活动设计。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.2.1 函数的单调性 设计时间 授课时间 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 教材分析 函数是刻画现实世界中各种各样变化关系的重要模型，研究清楚函数的性质就能掌握事物变化的规律，进而精确地“预测未来”.函数性质的本质是随变化而变化的过程中的不变性和规律性，包括单调性，最大值、最小值，奇偶性，周期性，增减的快慢（用导数刻画）等. 单调性是最重要的函数性质，刻画了函数值随自变量增大而增大或减小的变化趋势，绝大多数的函数都是单调或者分段单调的.函数的最大值、最小值是单调性的一个自然派生性质，只需要在大小关系上确定函数值中最大的或最小的就可以了，求最大值、最小值需要先判断函数的单调性. 通过观察和分析函数图象的特征，用文字语言描述这些特征，再将文字语言进行转换，用符号语言（如集合，不等关系，，等量词）进行严谨、简洁的表达，就获得了函数性质的严格刻画.所以与“对应关系说”类似，本单元的学习也有语言学习的特征，其核心要点不在于研究一类具体函数的性质（这是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的研究内容），而在于学习刻画性质的数学符号语言，理解“如此表达”的内涵，在面对具体函数时能使用这套语言进行求解和证明. 函数的单调性不仅有概念的属性，也是判断的规则，在概念的应用过程中要归纳出判断单调性的基本步骤： 第一步，求出函数定义域I，明确研究区间D； 第二步，在区间D上任取两个自变量，规定 第三步，作差并变形，即将通过通分、因式分解等变形为能够直接判断符号的形式； 第四步，判断，即根据的符号判断出或 第五步，下结论，说明f(x)在区间D上的单调性. 函数的最值和奇偶性具有类似的属性. 综上所述，本单元的学习有利于发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养. 学情分析 1.第一个问题是建构符号语言描述函数的单调性．在初中学习一次函数、二次函数、反比例函数时学生已经会从图象的角度观察出“上升”“下降”的变化趋势，会用文字语言“y随x的增大而增大（或减小）”描述这种规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言：，当，都有或，则称函数在区间D上的单调递增（或递减）.这样的语言学习是学生第一次接触，对学生而言是一个很大的难点.所以，采用“教师示范-学生模仿-熟练运用-抽象概念”的教学方法，即先以初中学习过的具体函数为载体，教师示范如何用符号语言表达函数单调性，再让学生模仿，在具体情境中熟练掌握了符号语言的表达方式的基础上，抽象出单调性的定义，最后用定义证明具体函数的单调性，逐步加深对符号语言的理解. 2.第二个问题是利用定义证明函数的单调性．学生刚开始接触证明单调性问题时，会出现直接写出函数值大小关系或者变形不充分就判断符号等情况.这是因为学生对代数证明的经验不足，对不等式的性质应用不太熟练.教学中要注意循序渐进，先证明简单、熟悉函数的单调性，梳理总结证明的一般步骤，理解代数变形的必要性和基本方法，在获得证明技能的过程中逐步积累活动经验. 3.第三个问题是符号语言描述最大值、最小值的概念，学生对于“∃，使得”的理解会存在一些困难，在教学中要给出丰富而典型的数学情境，给出例证和反例，让学生归纳最值的本质特征，体会“”和“∃”这两方面的条件缺一不可． 单元教学目标 1.经历从图象直观到文字语言描述再到符号语言刻画函数单调性的过程，感悟通过引入“∀，”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”的方式表达的思想，感受数学符号的作用和力量. 2.知道用符号语言刻画单调性和最值时，“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，会用符号语言正确表达函数的单调性、最大值和最小值；能举例说明函数单调性和最大值、最小值的现实意义. 3.知道判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性． 4.知道求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，体会最值与单调性之间的关系. 5.能类比单调性定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y轴（原点）对称之间是等价的. 6.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 单元教学重点 难点 1.教学重点：用符号语言表示函数的单调性、最大（小）值、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性. 2.教学难点：用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值；利用定义证明函数的单调性. 单元课时分配 本单元分3课时： 第1课时，函数的单调性； 第2课时，函数的最大（小）值； 第3课时，函数的奇偶性． 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程; 拓展性目标：★★ 通过任务二，能准确说出单调递增、单调递减以及增函数、减函数的定义,并能用例子说明“任意”，“都有”等关键词的含义，发展直观想象、数学抽象素养. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，能用单调性的定义证明函数单调性，并总结归纳出基本步骤，发展逻辑推理、数学运算素养. 课时学习重难点 教学重点：函数单调性的定义及其应用． 教学难点：用符号语言表达函数的单调性，用定义证明函数的单调性． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 在上一个单元，我们已经学习了用集合的语言，从对应关系说的角度给出函数的定义，知道丁y=f(x)刻画了自变量x与函数值y之间的对应关系.函数是刻画现实世界中各种各样的变化关系的重要模型、研究清楚函数的性质就能掌握事物变化的规律，进而精确地“预测未来”. 2、 预习回顾：(回顾初中学习知识，回答思考的答案) 问题1： 在第二章，我们以“运算中的不变性、规律性就是代数性质”为一般观念，来研究等式与不等式的基本性质.类似地，函数的性质指的是变化中的不变性、变化中的规律性.结合初中学习过的几类具体函数、回答以下问题： （1）可以从哪些角度研究函数性质？ （2）用什么方法发现函数的性质？ 答：（1）随着自变量的增大，函数值是增大还是减小；有没有最大值、最小值；函数图象有什么特征等． （2）函数图象是直观形象的，可以通过观察函数图象特征，发现函数的性质． 预习评估：（学生能回答问题的答案). 问题2： 观察图3.2-1中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ （1） （2） （3） 答：图（1）中图象从左到右是上升的，且关于原点成中心对称；图（2）的图象有升有降，有最高点；图（3）中的函数有升有降，有最低点，且关于y轴对称. 教师点评：同学们说到的函数图象的上升、下降、最高点、最低点，对称性等都是函数性质在图象上的反映.今天我们研究如何用符号语言准确地描述函数图象的上升、下降所反映的性质，这就是函数的单调性，后面的几节课将会研究函数的其他性质. 三、目标一：通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程. 任务一：通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程 在初中我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（减小）的性质，这就是函数的单调性.但是初中只是对单调性进行了直观描述，“形缺数时难入微”，所以我们要结合函数的解析式，从符号语言的角度表达函数的单调性，我们以初中学过的函数为例. 问题3:（1）如图3.2-2， 的图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，如何从自变量和函数值的数量关系，用数学符号刻画这个特征呢？ 图像特征 文字语言 符号语言 结论 （2） 填写表格表3.2-1,完成对函数的单调性的叙述 表3.2-1 答：（1）“从左到右”就是自变量x增大,“下降”就是函数值y减小，所以得到文字语言：当x≤0时,y随x的增大而减小. （2） 评估一：学生能回答问题4 问题4 请你模仿上述过程，说说函数 ，各有怎样的单调性？并用严谨的符号语言表达. 答： ① ② (1)函数 ，的图象如图①，，当，都有,在区间上单调递减；，当，都有,在区间上单调递增； （2）函数如图②，，当，都有，在区间上单调递增；，当，都有,在区间上单调递减。学生也可以通过表格表示： 四、目标二：能准确说出单调递增、单调递减以及增函数、减函数的定义,并能用例子说明“任意”，“都有”等关键词的含义，发展直观想象、数学抽象素养. 任务二：学生能回答问题5，得出单调函数的定义 问题5： 我们已经用严谨的符号语言表达了，， 的单调性，归纳它们的共同特征，你能给出函数y=f(x)在区间D上单调递增、单调递减的符号语言表达吗？ 1. 单调递增与增函数的定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为 I，区间DI: 如果∀,∈D,当 时，都有f()<f()，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(图3.2-3(1)). 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 2. 单调递减与减函数的定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为 I，区间DI: 如果∀,∈D,当 时，都有f()>f()，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(图3.2-3(2)). 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 3.单调区间的定义： 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 评估二：学生能回答思考，用例子说明“任意”，“都有”等关键词的含义 （小组讨论）思考： （1）定义在R上的函数满足，我们能说函数在R上单调递增吗？为什么？ （2）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数 y=在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？ （3）在整个定义域内是减函数吗？为什么？ 答：（1）不能，可以画出图象直观显示，在［1,3］上可能单调递增，可能先增后减，也可能先减后增． （2） 不能，比如，在上单调递增，不能说在R上单调递增。 （3） 不是，的定义域为，图象下降是减函数，,，此时，但是 ，所以不是在定义域上“任意”的 五、目标三：能用单调性的定义证明函数单调性，并总结归纳出基本步骤，发展逻辑推理、数学运算素养. 任务三：能用单调性的定义证明函数单调性 例1.根据定义，研究函数=(≠0)的单调性. 分析:根据函数单调性的定义，需要考察当时，< 还是>.根据实数大小关系的基本事实，只要考察-与0的大小关系. 解:函数=(≠0)的定义域是R. ∀,∈Ｒ,且，则-=()-()=(-). 由，得<0.所以 ①当>0时，()<0, 于是 -<0, 即 < 这时，=(≠0)是增函数. ②当k<0时，()>0. 于是 ->0, 即 > 这时，=(≠0)是减函数. 例2 物理学中的玻意耳定律 为常数，且k>0) 告诉我们，在恒温下，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明. 分析: 根据题意，只要证明函数 (V∈(0,+∞))是减函数即可. 证明: ∀V1，V2∈(0,+∞)，且V1<V2，则 － = － = 由V1，V2∈(0,+∞),得V1V2>0; 由V1<V2，得V2－V1>0. 又k>0，于是 －>0, 即 >. 所以，根据函数单调性的定义，函数 ，V∈(0,+∞)是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强 将增大. 评估三：总结归纳出证明函数单调性的基本步骤，并熟练应用 问题：你能总结出证明单调性的一般步骤吗？ 答：第一步，求出函数定义域I，明确研究区间D； 第二步，，规定 第三步，作差并变形，即将通过通分、因式分解等变形为能够直接判断符号的形式； 第四步，判断，即根据的符号判断出或 第五步，下结论，说明f(x)在区间 D 上的单调性. 例3 根据定义证明函数在区间(1,+∞)上单调递增. 证明： (1，+∞)，且，有 =() = () + () = () + = () 由(1，+∞),得>1, >1. 所以>1, -1>0. 又由,得<0. 于是 ()<0, 即 所以，函数在区间(1,+∞)上单调递增. 学生思考，回答问题，教师点拨. 教师引导学生观察图象特征，说出函数性质. 学生根据初中学习的经验思考并回答，教师在“如何进行语言转化上”进行启发、引导。 教师在(1)学生答案的基础上进一步引导：自变量由 增大到 ，表明，函数值由减小到，表明；并且蕴含着只要自变量增大了，函数值就会减小的含义，于是得到符号语言：，当，都有，共同填写第二列作为示范，让学生 类比自主填写第三列。 学生思考，类比完成，教师展示学生答案，并点评完善. 先由学生独立思考，口头作答，师生讨论，纠正，并指导学生阅读教材中的规范表述，教师板书单调性的定义，并投影展示增函数、减函数、单调区间等相关概念. 先由学生独立思考，口头作答，师生讨论，纠正，并指导学生阅读教材中的规范表述，教师板书单调性的定义，并投影展示增函数、减函数、单调区间等相关概念. 学生先自主思考，再小组讨论，辩论时可以利用举反例的方法 先让学生独立思考，然后共同讨论得出研究的基本思路 先让学生理解“当体积V减小时，压强p将增大”的含义就是证明函数在V∈(0,+∞)上是减函数.再让学生用单调性的定义进行证明，学生完成证明过程后进行展示，师生点评完善，并强调作差后要变形得出含有因式，便于判断符号. 由学生独立思考完成证明，然后展示学生书写过程，师生点评完善，重点明确代数变形的方向和目标. 回顾预备知识中研究不等式基本性质的一般观念，了解研究函数性质的一般观念，强化对数学性质的认识.确定研究函数性质的大致思路，指导接下来的具体性质的研究. 整体感知函数性质，把握本单元的研究内容.明确本节课的学习任务，了解本节课的地位和作用. 用符号语言表达函数单调性是本节课的重点和难点，所以由教师逐步引导学生进行语言的转换，然后在教师示范的基础上，由学生模仿完成其他几个具体例子的表达，感受如此定义的合理性，培养理性思维. 让学生辨析定义中的“任意”二字，仅仅是几个自变量甚至无限个自变量满足都不能跟“任意”的含义划等号．问题5(3）为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增（递减）时，并不能保证在它们的并集上保持递增（递减），使学生认识到单调性是函数在定义域的某个子区间上的局部性质.此外，对这个问题的说理还要回扣单调性定义，引导学生养成回归定义的思维习惯. 初中是利用函数的图象得到一次函数的单调性的，这里则是通过代数推理给出了严格证明. 例2是一个物理学中的公式，让学生体会可以用函数刻画现实世界中的现象，而且数学研究的不是一个现象，而是抽象概括出来的一般性问题，将一些不同的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数获得事物变化的规律. 如果说前面的例1、例2学生还能够根据图象判断单调性的话，例3则必须利用单调性的定义，通过严格的代数推理证明单调性.同时本题对作差一变形一判号的要求也更高了，有助于培养学生逻辑推理、数学运算等素养. 课堂小结 1.单调函数的定义 2.单调区间的定义 3.证明单调性的一般步骤 学生作业 1.基础性作业：教科书第79页练习第1、2、3、4题； 答案： １.由题中图象先上升后下降可知，工人数在一定范围内时，生产效率随着工人数的增加而提高，而当工人数超过某一数量后，随着工人数的增加，生产效率反而降低. ２.证明: ∀,∈Ｒ,且,则 -=３+２-３-２＝3(), ∵, ∴>０ ∴ ->０ ∴< ∴ 函数()＝３+2是增函数. 3.∀,∈∈( －∞,０),且 , 则-＝— + = ∵ <０ ∴ >０，>０， ∴ ->０ ∴ < ∴ 函数()＝-2在区间(－∞,０)上单调递增. ４. (１)定义域Ｉ＝{ｘ｜ｘ≠０}. (２)当ｋ>０时,ｙ＝ 在(－∞,０)和(０,＋∞)上单调递减, 当ｋ<０时,ｙ＝ 在(－∞,０)和(０,＋∞)上单调递增. 证明: ∀,∈( －∞,０),且 , 则-＝ - ＝ ∵ <０ ∴<０, >０, ∴ 当ｋ>０时, > , 当ｋ<０时,< , ∴ 当ｋ>０时,ｙ＝ 在(－∞,０)上单调递减, 当ｋ<０时,ｙ＝在(－∞,０)上单调递增. 同理可证,ｙ＝ 在(０,＋∞ )上的单调性 2.提升性作业：教科书第85~86页习题3.2第1、2、3题； 答案： 1.单调区间为[ －１,０],[ ０,２],[２,４], [４,５]. 函数在[ －１,０]上是减函数,在[０,２]上是增函数, 在[２,４]上是减函数,在[ ４,５]上是增函数. ２.(1)函数ｙ＝ｘ２－5ｘ－6的图象如图所示 由图象可知, 单调减区间是(－∞, ],单调增区间是[,+∞ ). (2)函数ｙ＝9－ｘ２的图象如图所示. 由图象可知,单调增区间是(－∞, ],单调减区间是[,+∞ ) . 3.(１)∀,∈Ｒ,且,则 -=-2+1-(-2+1)= 2） ∵ ∴>０ ∴ >0 ∴ > ∴ 函数()＝-2+1是减函数. (２)∀,∈(０,＋∞ )且,则 -=(+１)-(+１) ＝()( ) ∵>>０ ∴>０,<０. ∴ <０,即. ∴ 函数()＝ｘ２+１在(０,+∞ )上单调递增. (３)∀,∈(－∞,),且,则 -=1-(1-) ＝ = ∵<０ ∴<０,>０ ∴ <０,即. ∴ 函数()＝1-在( －∞,０)上单调递增. 3.拓展性作业:教科书第85~86页习题3.2第6、8题. 答案：6.心率关于时间的一个可能的图象 如图. 心率减慢,则图象下降,心率升高,则图象上升. 8.(１)证明:设ｙ＝()＝＋ ∀,∈[３,＋∞ ),且,则 则-=＋－()=(-) 因为≥３,≥３,且 所以<０，>9 所以－ >０，即， 所以ｙ＝()＝＋ 在区间[３,＋∞ )上单调递增. (2)∀,∈(０,＋∞ )且,则 -=(-) 因为, 所以<０，>0 ①当,∈(０,３]时,－９<０, 所以－ <０，即， 所以ｙ＝()＝＋ 在区间(０,３]上单调递减. ②当,∈[３,＋∞ )时,－９>０, 所以－ >０，即， 所以ｙ＝()＝＋ 在区间[３,＋∞ )上单调递增. 综上，函数ｙ＝()＝＋ 在(０,３]上单调递减， [３,＋∞ )上单调递增。 (3)设ｙ＝()＝＋(>0),∀,∈(０,＋∞ )且,则 -=(-) 因为,所以<０，>0 ①当,∈(０,]时,－<０, 所以－ <０，即， 所以ｙ＝()＝＋ 在区间(０,]上单调递减. ②当,∈[,＋∞ )时,－k>０, 所以－ >０，即， 所以ｙ＝()＝＋ 在区间[,＋∞ )上单调递增. 综上，函数ｙ＝()＝＋ 在(０,]上单调递减， [,＋∞ )上单调递增。 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $