3.2.1.1函数的单调性 限时训练（2）2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性，通过基础选择填空、中档综合解答、拔高创新应用三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数单调性判断、参数范围求解|选择填空（1-6题），直接应用定义，强化概念理解| |中档|分段函数、抽象函数单调性综合应用|解答题（7-9题），结合函数性质推理，提升逻辑思维| |拔高|单调性与不等式、恒成立问题整合|解答题（10-12题），复杂情境建模，培养创新意识|

3.2.1.1函数的单调性限时训练(2) (完成时间：60分钟) 1.函数f（x)=kx+(3k-2)x-5在[1，+∞)上单调递增，则k的取值范围是 () [-x2-ax-5(x≤1) a(x>1) 2,己知函数f(x)=( 是R上的增函数，则a的取值范围是() A.-3≤a<0B.-3≤a≤-2C.a≤-2D.a<0 ax+1 3.函数f(x)=+2在区间(-2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 () 1 1 A.(0,2) B.(2,+∞C.(-2,+∞)D.（-∞，-1)U(1,+∞) (a-3)x+5,x≤1 2a ,x>1 4.已知函数f(x)=(x 是R上的减函数，则实数a的取值范围是() A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] 5.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，若f(m-1)>f(2m-1),则实数m 的取值范围为 -(x-2)2.x<2 f(s)-f(>0 6.若函数 )=G-x+5a,x22满足对任意≠，都有方-品 成立，则 1 实数a的取值范围是 7.设y=f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，且满足f(xy)=f（x)+f(y),f( y 3)=1.(1)求f(1),f(9),f(9)的值； (2)若f(x)-f(2-x)<2,求x的取值范围. 8.若f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且对一切x,y>0,满足 f)=(x)-f6） (1)求f(1)的值： (2)若f(6=1,解不等式f+3)-f号)K2 9.己知定义在区间0，+∞)上的函数x)满足，x2)=fx)+f),且当x>1时，fx)>0. 1 f)=-1 [-,125] (1)求(1)的值：(2)证明：f为单调增函数；(3)若'5，求x在25上的最 值 10.已知f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时，有f(x)>1. (1)求f(0);(2)求证：f(x)在R上为增函数；(3)若f(1)=2,且关于x的不等式 f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围. 3 11.若非零函数fx对任意实数a,b均有f(a+b)=f)·fb),且当x<0时，fx)>1; 1 f4)= (1)求证>0；(2)求证x为减函数；(3)当”16时，解不等式 1 fx2+x-3)·f5-x)≤， 4 2x 12.己知f(x)=x-a(x≠a)·（1)若a=2,试证f(x)在(-∞，2)上单调递减： (2)若a>0且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求a的取值范围. 4 答案 1.解：当k=0时，f（x)=-2x-5在R上单调递减，不符合题意， k>0 2-3水≤1 当k≠0时，函数f（x)=kx2+(3k-2)x-5在[1，+∞)上单调递增，.(2k 2 2 解得：k≥5，综上所述：k的取值范围是[5，+∞)，故选：D. -x2-ax-5, (x≤1) f(x)= a,(x>1) 2解：函数 是R上的增函数设g（x)=-x2-ax-5 (x≤1)，h(x)=x(x>1)由分段函数的性质可知，函数g(x)=-x2-ax-5在 a (-∞，1]单调递增，函数h(x)=x在(1，+∞)单调递增，且g(1)≤h(1),∴. 6 >1 a≤-2 a<0 a<0 -a-6≤a.(a≥-3解可得，-3≤a≤-2故选：B. 1 3.解：，当a=0时，f（x)=x+2在区间(-2，+∞)上单调递减，故a=0舍去， ax+1a(x+2)+1-2a1-2a 1 .a≠0，此时f（x)=x+2=x+2 =a+x+2,又因为y=x+2在区间（- ax+1 2,+∞)上单调递减，而函数f（x)=+2在区间(-2，+∞)上单调递增，∴.须有1 1 -2a<0,即a>2,故选：B. a-3<0 a<3 a>0 a>0 4.解：若使函数f(x)为减函数，则满足a-3+5≥24，即a≤2 解得0<a≤2，故选 D. 5.解：，函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数， 3 :不等式f(m-1)>f(2m-1)可化为：-2<m-1<2m-1<2,解得：m∈(0,2)， 3 故答案为：(0,2) 6.解：由题意得f()为单调递增函数，所以3-a>0,-(2-2≤2(3-a)+5a:-2≤a<3 1 7解：(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,令x=y=3,则f(3× 司生高高，即有)新高之，令吉，9州：有x9r 11 1 1 1 (9), 7 1 即f(1)=f(9)+f(9),则f(9)=f(1)-f(9)=0-2=-2. 1 (2)若f(x)-f(2-x)<2,则f(x)<f(2-x)+f(9),即f(x)<f(9 (2-x)), x>0 x>0 2-x>0 x<2 1 ·y-(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，：(x 2, 1 1 解得5<x<2,即不等式的解集为(5,2). 8.解：(1)f(1)=f(11)=f（1)+f（1)=2f（1),.f(1)=0.(2),f(1) 1 =f(2)+f(2)=0,∴.f(2)=-f(2)=-1,.f(4)=f(2)+f(2)=-2,.f (-x)+f(3-x)≥-2，.f(x2-3x)≥f(4),.对于0<x<y,都有f(x)>f x2-3x<4 -x>0 (y),f(x)在(0，+∞)上单调递减，∴(3-x>0,解得-1≤x<0.不等式 的解集为[-1,0). 9.解：(1)，函数f(x)满足f(x1"x2)=f（x1)+f(x2),令x1=x2=1,则f（1)=f (1)+f（1),解得f（1)=0.(2)证明：(2)设x1,x2∈（0，+∞)，且x1>x2, 6 X1 则x2>1, X1 X1 X 1 .f(X2)>0,f(x1)-f(x2)=f(xx2)-f(x)=f(x2)+f(X2)-f X1 (x)=f(2)>0,即f(x1)>f(x2)，.f(x)在(0，+∞)上的是增函数. (性在0，)上的是州面数.若哈，则高r房 1 )=-2,即f(55)=f(1)=f(5)+f(5)=0,即f(5)=1,则f(5)+f(5)=f (25)=2, f(6)f(25)=f(125)3,即E0在宽12 上的最小值为-2，最大值为3. 10.(1)解：令m=n0,则f(0)2f(0)-1,:f(0)=1. (2)证明：设，∈R,且五则必2X>0,f,X)>1.:f(mn=f+f(m-1, :f=f%x)+X=2x+)1>1+)1=fx,f(0)>f().故f0在R上为 增函数. (3)解flax-2)+fx-x<3,即fax-2+f-×)1<2,fax-2+×-×)<2,f1）2, .f阳x-2+X-X)<f1).又f(分在R上为增函数，ax-2+X-x2<1. ×2-(a+1x+3>0对任意的x∈[1，+o)恒成立.令)=x-a+1x+3, 0 a+1 ①当2≤1，即a≤1时，函数)在[1，+∞）上单调递增，由8(1)=a+3>0,得 a3,∴.a≤1； a+1 ②当21，即a1时，由4=a+12-3×4<0,得-23-1<a<23-1, 1<a<23-1.综上可得实数a的取值范围为-，23-1) XX 1.解：a) 侧=：f90 ,又fx)≠0，.fx>0. (2)设×<x,则X<0,又：x为非零函数 fx1x2f2)fx1×2+x2)fx) fx1-x2)= ->1 f(x) ,)f)，由(1)得)>，x为减函数. 1 1 (3)解：由 a=f21=i6,f拟>0得2-4. 原不等式转化为x2+x-3+5-x)≤f2),结合(2)得：×+2≥2，∴x20, 2x 12.证明：（1)a=2时，f（x)=x-2,x≠2，在（-∞，2)上任取x1,x2,令x1< X2, 2x12x24(x2-x1) 则f(x1)-f(x2)=×1-2-x2-2_(x1-2)(x2-2). .x1,X2∈（-∞，2)，X1<x2,.X2-x1>0,（X1-2)(X2-2)>0, ∴.f(x1)-f（x2)>0,.f（x)在（-∞，2)上单调递减. 10 解：(2).a>0且f（x)在(1，+∞)上单调递减，在（1，+∞)上任取x1,x2,令 2x12x22a(x2-x1) f(x)-f (x)=1-a-x2-a(x1-a)(x2-a)>0,a>0,x (-o∞，2)，x1<x2,.2a(x2-x1)>0,.(x1-a)(x2-a)>0,∴.0<a<1. .a的取值范围是(0,1). 1