1.3 用反比例函数解决问题导学案（1）2026-2027学年九年级数学上册苏科版

该初中数学导学案聚焦“用反比例函数解决问题”，核心是从杠杆、压强等跨学科实际情境中构建反比例函数模型并求解。课堂导入通过回顾反比例函数关系式及物理中的杠杆原理、压强公式，衔接旧知与新知，搭建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于跨学科情境整合，引导学生经历建模全过程，例题和检测题注重自变量取值范围及增减性分析，培养数学建模、直观想象核心素养，提升用数学思维解决实际问题的能力，习题设计贴合学业要求，助力学生掌握方法并解释现实意义。

1.3 用反比例函数解决问题（1） 学业质量要求： 1．能够建立反比例函数模型分析杠杆、压强等跨学科实际情境中的数量关系，掌握利用反比例函数表达式与图象解决实际问题的方法，发展数学建模与数形结合推理的思维能力. 2. 经历从实际问题抽象反比例函数模型、运用函数知识求解并解释实际意义的全过程，感受函数的应用价值，发展数学建模、直观想象核心素养. 学习重点： 从实际情境中构建反比例函数模型，运用反比例函数表达式与图象解决实际问题. 学习难点： 结合实际背景确定自变量取值范围，利用反比例函数增减性分析不等关系类实际问题，准确解释结果对应的现实意义. 学习过程： 一、问题情境 1.反比例函数的关系式是什么？ 2.在物理学中杠杆原理、压强、功率等公式分别是什么？ 二、探索活动 某人用一根撬棒移除重1200 N的重物，如图，杠杆的阻力臂为0.5 m，当动力臂l分别为2 m，1.6 m，1 m时，此人分别要使出多大的力才能撬起重物且使杠杆保持平衡？ 分析：（1）杠杆平衡时：动力F（N）×动力臂l (m) 阻力×阻力臂. （2）其中阻力为 N，阻力臂为 m. （3）F与l的等量关系为： . （4）对每一个l (l＞0)的值，F ，所以 F是l的 函数. 解： 三、例题学习 例 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p Pa与受力面积S m2成反比例函数关系，其图象如图所示.已知S=0.1m2 时，p=1000 Pa. （1）求p关于S 的函数表达式； （2）要使该物体所受到的压强 p不超过250 Pa，它的受力面积最小为多少？ 分析：（1）物体所受的压强p与受力面积S 、压力F存在的关系为： . （2）其中S= m2 ，p= Pa. （3）p与S 的等量关系为： . （4）对每一个确定的S (S ＞0)值，p ，所以 p是S的 函数. 解： 归纳： 利用反比例函数解决跨学科问题的一般步骤： （1）审题：仔细审题，寻找并确定题目中的等量关系； （2）建模：根据等量关系，建立 模型 ； （3）代入、求解：代入 ，确定函数表达式，再利用函数 求值； （4）检验、作答：检验结果是否 ，并 ． 四、当堂检测 1．通过物理的学习，我们知道：在物体做功一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p与t之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，p的值可以是（       ） A．18 B．28 C．38 D．48 2．小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图像如图所示． （1）求I关于R的函数表达式； （2）当时，求R的值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请直接写出该台灯的电阻R的取值范围． 五、小结与反思 用反比例函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 六、课后作业设计 1．已知某物体的质量m（单位：）与其体积 V（单位：m3）成反比例关系，当体积是2时，质量为10．则 m与V 的函数关系式是 （     ） A． B． C． D． 2．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：m）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该 （     ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 第2题图 第3题图 3．如图，一块长方体大理石板的A，B，C三个面上的边长如图所示，如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m 帕，则把大理石板B面向下放在地上，地面所受压强是______帕． 4．在一定温度下，给某种容器充满一定质量的某种气体，当温度不变时，容器内的压强pkPa是气体体积V m3 的反比例函数，其图象如图所示，当容器内的压强大于140 kPa 时，容器就会爆炸．容器内气体体积在不小于多少立方米时容器才不会爆炸？ 课后作业设计参考答案 1.【答案】D 【知识点】反比例函数定义、待定系数法求反比例函数解析式 【分析】先设反比例函数一般形式，再将代入求出k的值，得到函数关系式. 【详解】解：∵m与V成反比例关系， ∴设 把代入解析式， ∴，解得k=20， ∴，故选 D. 2.【答案】C 【知识点】反比例函数实际应用、反比例函数增减性 【分析】频率f与弦长l成反比例，k>0，第一象限内l增大，f减小；先利用已知点求出函数解析式，算出对应的弦长，再结合增减性判断取值范围. 【详解】解：∵f与l成反比例，设， 将代入， ∴，解得. 当时，，解得l=0.3. ∵时，f随l增大而减小， ∴当f<400时，l>0.3，故选 C. 3.【答案】3m 【知识点】压强公式、压力不变时压强与受力面积成反比例 【分析】石板对地面压力等于自身重力，压力不变；根据，先由 A 面条件求出压力，再计算 B 面向下时的压强. 【详解】解：A 面面积，B 面面积. ∵石板对地面压力F保持不变，， ∴. 把 B 面向下放置时， . 4.【答案】不小于 【知识点】反比例函数应用、利用函数取值范围解决实际安全问题 【分析】先利用待定系数法求出压强与体积的函数解析式；根据 “压强大于 140kPa 发生爆炸”，得到安全条件，列出不等式求解体积范围. 【详解】解：∵p 是 V 的反比例函数，设， 将 V=0.8，p=120 代入， ∴，解得 k=96， ∴. 由题意，容器不爆炸需要满足， ∴， ∵V>0，两边同乘 V， ，解得， ∴气体体积在不小于时容器才不会爆炸. 学科网（北京）股份有限公司 $