2.2 第1课时 直接开平方法与配方法(1)（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法（形如(x+m)²=n，n>0）与配方法（二次项系数为1），通过上一课梯子滑动问题（x²+12x-15=0）导入，承接近似值求解，引出精确值需求，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，通过“思考·交流”引导学生从特殊方程抽象出直接开平方法适用形式，培养抽象能力（数学眼光），配方法推导结合完全平方公式转化方程，发展推理意识（数学思维），例题与分层练习结合，小结结构化呈现步骤，帮助学生形成模型意识（数学语言），教师使用可明确重难点，提升教学效率。

2.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法与配方法(1) 第二章 一元二次方程 北师版 九年级（上） 1. 会用直接开平方法解形如 (x + m)2＝n (n＞0)的方程.（重点） 2. 理解配方法的基本思路.（难点） 3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程. （重点） 素养目标 在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0. 我们已经求出了 x 的近似值，你能设法求出它的精 确值吗？ 10 m 8 m 1 m x m 复习导入 (1) 你能解哪些特殊的一元二次方程? x2 = 4； x2 = 0； x2 + 1 = 0. 解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. 解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无解. 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. 思考·交流 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 新知探究 (2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 n ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程， (1) 当 n ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 新知探究 (2) 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2 = 5， 2x2 + 3 = 5， 解： 直接开平方，得 解：移项，得 2x2 = 2. 直接开平方，得 x = ± 1， ∴ x1 = 1，x2 = -1. 系数化为 1，得 x2 = 1. 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 新知探究 解析：先将 72 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解. 解：移项，得 (x + 6)2 = 51. (x + 6)2 + 72 = 102， 两边开平方，得 x + 6 = ， 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = ， x2 = . 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 新知探究 7 x2 + 2x + 1 = 5. 解：在解方程时，由方程 x2 = 5 得 . 由此想到： (x + 1)2 = 5 ， 于是，原方程的两个根为 看成是一个整体，可以用直接开平方法求解. 实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 新知探究 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x＋m)2 = n (n≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0. 【探究交流】 探究点1：用直接开平方法解一元二次方程 新知探究 下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填. (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a - b 【探究交流】 【思考·交流】(3) 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 12x = 15 ， x1，x2 都符合原问题的要求吗？ （舍） 将方程转化为 (x + m)2 = n 的形式. 当 n≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 完全平方式 常数 两边都加 62，得 x2 + 12x + 62 = 15 + 62， 即 (x + 6)2 = 51 . 两边开平方，得 x + 6 = ， 因此我们说方程 x2 + 12x = 15 的两个根 x1 = ， x2 = . 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 (1) 填上适当的数或式，使下列各等式成立： x2 + 12x + = ( x + 6)2； x2 − 4x + = ( x − )2； x2 + 8x + = ( x + )2； 62 22 2 42 4 对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式. 操作·思考 (2) 观察 (1) 中三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢? 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填： x2 + px + ( )2 = ( x + )2 配方的方法 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9 ， 两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， 即 (x + 4)2 = 25 . 两边开平方，得 x + 4 = ± 5 ， 即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5. 所以 x1 = 1 ， x2 = -9. 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法的定义 【知识要点】 配方法解方程的基本思路 把一元二次方程化为 (x + m)2 = n 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解． 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 15 【练一练】1. 解方程： (1) x2 - 2x - 5 = 0； (2) x2 - 8x + 1 = 0. 解： (1) x2 - 2x -5 = 0， 移项，得 x2 - 2x = 5. 配方，得 (x - 1)2 = 6. (2) x2 - 8x + 1 = 0， 移项，得 x2 - 8x = -1. 配方，得 (x - 4)2 = 15. 由此可得 x - 1 = ±， x1=1+， x2= 1. 由此可得 x1=4+， x2= 4. 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 2. 解下列方程： (1) x2 + 4x - 9 = 2x - 11； (2) x(x + 4) = 8x + 12； 解：(1)移项，得 x2 + 2x + 2 = 0， 配方，得 (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解. (2) 整理移项，得 x2 - 4x - 12 = 0， 配方，得 (x - 2)2 = 16. 由此可得 x - 2 = ±4， ∴x1 = 6， x2 = -2. 探究点2：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 新知探究 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤 形如 (x + m)2 = n (n≥0) 将方程转化为(x + m)2 = n (n≥0)的形式，在用直接开平 方法，直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 课堂小结 1. 用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是 (　A　) A. x2＋3＝0 B. －2x2＝0 C. x2－4＝0 D. (x－2)2＝0 A 当堂反馈 2. 一元二次方程x2＋4x＋5＝0配方后得(x＋ )2 ＝ ，由于方程右边是 数，因此该方 程 实数根. 2　 －1　 负　 无　 当堂反馈 3. 用直接开平方法解下列方程： (1)25(x－3)2－9＝0； 解：方程整理得(　 　)2＝ ⁠. 开平方得 　x－3＝ 　，或 　x－3＝－ 　. 解得x1＝ 　 　，x2＝ 　 　. x－3　 　 x－3＝ 　 x－3＝－ 　 　 　 书写通关 当堂反馈 (2)(2y－3)2＝16； 解：y1＝ ，y2＝－ . (3)t2＋4t＋4＝－2. 解：无实数解. 解：y1＝ ，y2＝－ . 解：无实数解. 3. 用直接开平方法解下列方程： 当堂反馈 4. 用配方法解下列方程： (1)x2＋6x－7＝0； 解：x1＝1，x2＝－7. (2)x2－5x＋5＝0. 解：x1＝ ，x2＝ . 解：x1＝1，x2＝－7. 解：x1＝ ，x2＝ . 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $