2.2基本不等式(二)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练以“基础全面练+综合应用练”分层设计，覆盖基本不等式的概念理解、运算应用及实际建模，梯度由单一到综合，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|基本不等式公式、等号条件、简单最值|选择/填空/解答题结合，如直角三角形框架周长问题，培养运算能力与几何直观| |综合应用练|多知识点综合（函数/几何/实际问题）|情境化题型，如图书馆阅读区面积优化、车流量最值问题，发展模型意识与应用意识|

　基本不等式(二) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2026·南京高一检测)已知x>0,y>0,xy=4,则x+2y的最小值为 (　　) A.4　 B.4　 C.8　 D.8 2.(5分)若0<a<b,则下列不等式成立的是 (　　) A.<a<<b B.≤<a<b C.a<<b D.a<≤<b 3.(5分)将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是 (　　) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 4.(5分)如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么 (　　) A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 5.(5分)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,请估算平整完这块场地所需的最少费用是 (　　) A.10 000元 B.10 480元 C.10 816元 D.10 818元 6.(5分)(多选)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.a2+1>a B.(a+)(b+)≥4 C.(a+b)(+)≥4 D.a2+9>6a 7.(5分)某公司要生产1 000个玩偶,已知该公司每小时生产玩偶数量固定,且每小时的生产成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与生产速度x(个∕时)的平方成正比,比例系数为0.2,固定部分为720元.为使全程生产成本最低,该公司的生产速度是　60　个∕时.  8.(5分)在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若其中一个三角形“弦”的长度为4,则该矩形周长的最大值为　　.  9.(5分)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　　(写出所有正确命题的编号).  ①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④+≥2. 10.(10分)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8. 【综合应用练】 11.(5分)设M=(n+)3,N=n3++6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为 (　　) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.不能确定 12.(5分)某学校计划新建校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1,该项目由图书陈列区ABCD(阴影部分)和四周休息区组成.图书陈列区ABCD的面积为1 000 m2,休息区的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1的面积最小时,则图书陈列区BC边的长为 (　　) A.20 m B.50 m C.10 m D.100 m 13.(5分)(2026·天津高一检测)如图,在半径为4 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为　　 cm2.  14.(10分)已知x>0,y>0,z>0, 求证:(+)(+)(+)≥8. 15.(10分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系:y=(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大? 　答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2026·南京高一检测)已知x>0,y>0,xy=4,则x+2y的最小值为 (　　) A.4　 B.4　 C.8　 D.8 【解析】选B.由于x>0,y>0,x+2y≥2=2=4, 当且仅当,即时,上式取等号,x+2y的最小值是4. 2.(5分)若0<a<b,则下列不等式成立的是 (　　) A.<a<<b B.≤<a<b C.a<<b D.a<≤<b 【解析】选C.由已知0<a<b,利用基本不等式得出,因为0<a<b,则a2<ab<b2,a+b<2b,所以a<<b,<b,所以a<<b. 3.(5分)将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是 (　　) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 【解析】选C.设两直角边分别为a,b的直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4. l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).故C选项既够用,浪费也最少. 4.(5分)如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么 (　　) A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 【解析】选A.因为正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,所以4=a+b≥2,即ab≤4,当且仅当a=b=2时,“=”成立;又4=cd≤,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,“=”成立;综上得ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值都为2. 5.(5分)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,请估算平整完这块场地所需的最少费用是 (　　) A.10 000元 B.10 480元 C.10 816元 D.10 818元 【解析】选C.设矩形场地的长为x米,则宽为米,W=(x+4)(+4)=4x++10 016 ≥2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立. 所以平整这块场地所需的最少费用为1×10 816=10 816元. 6.(5分)(多选)若a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.a2+1>a B.(a+)(b+)≥4 C.(a+b)(+)≥4 D.a2+9>6a 【解析】选ABC.A.根据基本不等式可知当a>0时,a2+1≥2a>a,即a2+1>a,故A正确; B.当a>0,b>0时,a+≥2=2,当且仅当a=1时等号成立,b+≥2=2,当且仅当b=1时等号成立,所以(a+)(b+)≥4,当且仅当a=1,b=1时等号成立,故B正确; C.(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,故C正确; D.a2+9≥2=6a,当且仅当a2=9时等号成立,因为a>0,所以当a=3时等号成立,即a2+9≥6a,故D不正确. 7.(5分)某公司要生产1 000个玩偶,已知该公司每小时生产玩偶数量固定,且每小时的生产成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与生产速度x(个∕时)的平方成正比,比例系数为0.2,固定部分为720元.为使全程生产成本最低,该公司的生产速度是　60　个∕时.  【解析】生产速度为x(个∕时)(x>0),生产时间为小时, 则全程生产成本y=(0.2x2+720)·=200x+, y≥2=24 000,当200x=,即x=60时等号成立, 综上,当该公司全程生产成本最低时,生产速度为60个/时. 8.(5分)在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若其中一个三角形“弦”的长度为4,则该矩形周长的最大值为　8　.  【解析】设直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 则a2+b2=42=16,a,b>0,矩形周长为2(a+b), (a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2(a2+b2)=32,故a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,故周长的最大值为8. 9.(5分)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　①③④　(写出所有正确命题的编号).  ①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④+≥2. 【解析】对于①:因为a>0,b>0,所以a+b=2≥2,所以ab≤1,故①正确; 对于②:平方得(+)2=a+b+2≤2+2=4,所以+≤2,故②错误; 对于③:因为a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab,由①知ab≤1,所以a2+b2≥4-2=2,故③正确; 对于④:+≥2,故④正确. 10.(10分)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8. 【证明】因为a,b,c均为正实数, 且a+b+c=1, 代入得(-1)(-1)(-1)=, 根据基本不等式可知a+b≥2,a+c≥2,b+c≥2, 代入得≥=8, 当且仅当a=b=c=时,等号成立,原命题得证. 【综合应用练】 11.(5分)设M=(n+)3,N=n3++6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为 (　　) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.不能确定 【解析】选A.M-N=(n+)3-n3--6=n3+++3n-n3--6=3(n+)-6,因为n>0,所以n+≥2=2,当且仅当n=1时,等号成立,所以3(n+)-6≥0,所以M≥N. 12.(5分)某学校计划新建校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1,该项目由图书陈列区ABCD(阴影部分)和四周休息区组成.图书陈列区ABCD的面积为1 000 m2,休息区的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1的面积最小时,则图书陈列区BC边的长为 (　　) A.20 m B.50 m C.10 m D.100 m 【解析】选B.设BC=x m(x>0),则AB= m, 所以阅读区A1B1C1D1的面积S=(x+10)(+4)=1 040+4x+≥1 040+2=1 440. 当4x=,即x=50时取等号,当校园图书馆精品阅读区A1B1C1D1的面积最小时,图书陈列区BC边的长为50 m. 13.(5分)(2026·天津高一检测)如图,在半径为4 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其顶点A,B在直径上,顶点C,D在圆周上,则矩形ABCD面积的最大值为　16　 cm2.  【解析】设BC=x cm,则在△OBC中,有OB= cm, 所以,矩形ABCD的面积S=2x, 因为边BC=x>0,OB=>0,解得0<x<4, 所以,由基本不等式得,S=2x=2≤16-x2+x2=16, 当且仅当16-x2=x2,即x=2时等号成立, 所以矩形ABCD面积的最大值为16 cm2. 14.(10分)已知x>0,y>0,z>0, 求证:(+)(+)(+)≥8. 【证明】因为x>0,y>0,z>0,所以+≥>0,+≥>0,+≥>0,当且仅当x=y=z时,以上三式等号同时成立. 所以(+)(+)(+)≥=8, 当且仅当x=y=z时等号成立. 15.(10分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系:y=(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大? 【解析】y=,因为v+≥2=20, 所以y=≤,当且仅当v=,即v=10时等号成立. 所以当汽车的平均速度v=10千米/时时车流量y最大. 学科网（北京）股份有限公司 $