2.3 等腰三角形的性质定理 提高测试 2026-2027学年 浙教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质，通过基础巩固、中档应用、提高拓展三层设计，实现从单一性质到动态综合问题的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三线合一、等边对等角|选择1、8、10直接考查性质应用，强化概念理解| |中档|全等判定、垂直平分线|填空12、13结合对称求最值，培养空间观念| |提高|动态几何、分类讨论|综合21、23涉及动点与裁剪操作，发展创新意识|

2.3等腰三角形的性质定理 提高测试 一、选择题 1．如图，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD 2．如图，在中，，，分别是边，上的点，，CD与BE交于点F，则图中全等三角形的对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高.在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 4．如图，在中，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两相交于两点；②作直线交于点，连接.若.则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为AB上一点，D为BC延长线上一点，连接DE，交AC于点F，过点E作EG∥BC交AC于点G.若CF＝GF，∠D＝35°，则下列结论错误的是（　　） A．CD＝EG B．DF＝EF C．CD＝CF D．BD＝DE 6．如图，已知等腰三角形，，若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰于点E，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点，在坐标轴上确定一点B，使为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A．50° B．45° C．35° D．30° 9．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高线，E是AB的中点，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．等腰中，，顶角A为，平面内有一点P，满足且，则的度数为　 　． 12．如图，等腰的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为　 　. 13．如图，在中，AB＝AC，BC＝4，面积是10.AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则PBF周长的最小值为　 　. 14．如图，小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC）中恰好剪出五个小等腰三角形，其中BC=BD，EC=EF=FG=DG=DA，则∠B=　 　°． 15．如图，已知点P是射线上一动点，，当为　 　时，是等腰三角形． 16．等腰中，，平分，若，则　 　． 三、综合题 17．已知是等腰三角形的两条边，且，求这个三角形的周长. 18．如图，已知在中，，，，请在三角形的边上找一点，并过点和三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分成两个等腰三角形.要求两种不同的分法并写出每个等腰三角形的内角度数 19．如图，点D、E在的边上，，，求证：. 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E. （1） 求证：△BCD是等腰三角形； （2） 若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长. 21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，D是边BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=50°，DE与AC相交于点E． （1）当BD=CE时，求证：△ABD≌△DCE ； （2）当△ADE是等腰三角形时，求∠BAD的度数． 22．如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点． （1）若，求的度数； （2）若，，，且时，求的长； （3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值． 23．综合与实践 在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务． 作法：如图1． ①分别作，的垂直平分线，交于点P； ②连接，， 结论：沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形 理由：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴____．（依据） 同理，得 ∴ ∴，，都是等腰三角形． 任务： （1）上述过程中，横线上的结论为　 　，括号中的依据为　 　． （2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，交于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数． （3）如图3，在等腰三角形纸片中，，．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线） 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，故本选项正确，不符合题意； B、∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，故本选项正确，不符合题意； C、∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，而无法得到∠BAD＝∠CAD＝∠C，故本选项错误，符合题意； D、∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD，故本选项正确，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】由等边对等角得∠B=∠C，据此判断A；由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，BD=CD，据此判断B、D；根据角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，而无法得到∠BAD＝∠CAD＝∠C，据此判断C. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵DE∥NBC， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE， 在△ABE与△ACD中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AD=AE， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE=CD， ∵AB=AC，AD=AE， ∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE， 在△DBE与△ECD中， ∵BD=CE，DE=ED，BE=CD， ∴△DBE≌△ECD（SSS）， ∴∠DBE=∠ECD， 在△DBF与△ECF中， ∵∠DBE=∠ECD，∠DFB=∠EFC，BD=CE， ∴△DBF≌△ECF（AAS）， 在△DBC与△ECB中， ∵BD=CE，∠ABC=∠ACB，BC=CB ∴△DBC≌△ECB（SAS）， 综上图中全等的三角形有4对. 故答案为：C. 【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，根据平行线性质得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，则∠ADE=∠AED，由等角对等边得AD=AE，从而推出BD=CE，用SAS推出△ABE≌△ACD，得BE=CD，再用SSS推出△DBE≌△ECD，得∠DBE=∠ECD，用AAS推出△DBF≌△ECF，用SAS推出△DBC≌△ECB，综上即可得出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：如图：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N的延长线于点N，连接CF， ∵AB＝AC，AG是底边BC上的高， ∴AD平分∠BAC， 又∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN，∠DMA=∠DNA=90° ∵∠BAC＝30°， ∴∠MDN＝180°−30°＝150°， ∵∠CDE＝150°， ∴∠MDN＝∠CDE＝150°， ∴∠MDE＝∠NDC， ∴△MDE≌△NDC（ASA）， ∴ED＝CD， ∵DF是∠CDE的角平分线， ∴∠EDF＝∠CDF， ∵DF＝DF， ∴△EDF≌△CDF（SAS）， ∴EF＝CF， 当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短． 在Rt△CAF中，∠BAC＝30°， ∴CF＝AC＝×4＝2． 即线段EF的最小值为2． 故答案为：D. 【分析】如过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC的延长线于N，连接CF，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，易得∠MDN＝∠CDE＝150°，则∠MDE＝∠NDC，用ASA判断出△MDE≌△NDC，得ED＝CD，再用SAS证明△EDF≌△CDF，得EF＝CF，进而根据垂线段最短及含30°角直角三角形的性质即可得出答案. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC， ， ， 在中， 故答案为：D. 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DC=DB，根据等边对等角得∠B=∠DCB，∠CDA=∠A=50°，根据三角形外角值得∠CDA=∠B+∠DCB=2∠B，据此即可算出∠B的度数，进而根据三角形的内角和定理，由∠ACB=180°-∠A-∠B即可算出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵EG∥BC， ∴∠FEG＝∠D，∠AEG＝∠ABC，∠AGE＝∠ACB， ∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACB＝70°， ∴∠AEG＝∠AGE＝70°， 在△FEG和△FDC中， ， ∴△FEG≌△FDC（AAS）， ∴EG＝DC，EF＝DF，故A，B选项正确； ∵∠GEF＝∠D＝35°， ∴∠GFE＝70°-35°＝35°， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴GE＝GF， ∴CD＝CF，故C选项正确； ∵∠DEB＝180°-70°-35°＝75°，∠B＝70°， ∴∠DEB≠∠B， ∴BD≠ED，故D选项错误， 故答案为：D. 【分析】首先根据等边对等角、三角形的内角和定理及平行线的性质可得∠AEG＝∠AGE＝70°，根据已知条件用AAS证明△FEG≌△FDC，可得EG＝DC，EF＝DF，可得A，B选项正确；然后根据三角形外角相等结合平行线的性质可得∠GEF＝∠GFE，根据等角对等边得GE＝GF，从而可推出CD＝CF，可得C选项正确；证明∠DEB≠∠B，可得BD≠ED，所以D选项错误，进而可以解决问题． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵等腰三角形，， ∴， ∵点B为圆心，长为半径画弧， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：A． 【分析】由等腰三角形的性质可得，由作图知BC=BE，可得，即得，由角的和差及三角形外角的性质可得，可得，据此判断即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：若作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，B是以A为圆心，以为半径的圆与坐标轴的交点，共有2个（除O点）； 当O是顶角顶点时，B是以O为圆心，以为半径的圆与坐标轴的交点，有4个； 若是底边时，B是的中垂线与坐标轴的交点，有2个. 以上8个交点没有重合的，故符合条件的点有8个. 故答案为：D. 【分析】若OA作为腰时，分A是顶角顶点，O是顶角顶点，找出满足题意的点的个数；若OA是底边时，B是OA的中垂线与坐标轴的交点，据此解答. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=85°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=65°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=35°. 故答案为：C. 【分析】根据内角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，由作图可知MN为AB的中垂线，则DA=DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠B=30°，然后根据∠CAD=∠BAC-∠DAB进行计算. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图： 分三种情况： 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点，，即为所求； 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点，，即为所求； 当时，作的垂直平分线，则点，即为所求； 综上所述：符合条件的点的个数是8. 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的两腰相等，故此题需要分类讨论：①当AB=AC，②当BA=BC，③当CA=CB，即可解决问题. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是高线， ∴BD＝CD，AD⊥BC， ∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴AE＝BE， ∴S△ADE＝S△BDE＝ S△ABD＝2. 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4，由中点的概念可得AE＝BE，则S△ADE＝S△BDE＝S△ABD，据此计算. 11．【答案】30或110 【解析】【解答】解：分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图， ∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°， ∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°， 在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB， ∴△ABC≌△BAP（SSS）， ∴∠PBA=∠BAC=40°， ∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°； 当点P在AB的右侧时，如图， ∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°， ∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°， 在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB， ∴△ABC≌△BAP（SSS）， ∴∠PBA=∠BAC=40°， ∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°. 综上∠PBC的度数为30°或110°. 故答案为：30或110. 【分析】当点P在AB的左侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠PBA+∠ABC算出答案；当点P在AB的右侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠CBA-∠ABP算出答案，综上即可得出答案. 12．【答案】10 【解析】【解答】解：连接AM，如图， ∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D为BC边的中点， ∴， 解得； ∵点A与点C关于EF对称， 连接AD交EF于点H，连接CH， ∴当点M与点H重合时，△CDM的周长取得最小值，且为 ， ∴周长的最小值为， 故答案为：10. 【分析】连接AM，根据等腰三角形的三线合一得结合三角形的面积公式建立方程可算出AD的长，连接AD交EF于点H，连接CH，易得点A与点C关于EF对称，当点M与点H重合时，△CDM的周长取得最小值，且为AD+CD，据此就可求出答案了. 13．【答案】7 【解析】【解答】解：如图，连接AF，AP ， ， ， ， 垂直平分线段AB， 的周长， ， 的最小值为5， 的周长的最小值为7. 故答案为：7. 【分析】连接AF、AP，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，由三角形的面积公式可得AF的值，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，则△PBF的周长可转化为PA+PF+2，故当点A、P、F共线时，PA+PF最小，为AF的值，据此求解. 14．【答案】 【解析】【解答】解：设∠ECF＝x， ∵EC＝EF， ∴∠EFC＝∠ECF＝x， ∴∠GEF＝2x， ∵EF＝GF， ∴∠FGE＝∠GEF＝2x， ∴∠DFG＝∠FGE＋∠ECF＝3x， ∵DG＝GF， ∴∠GDF＝∠DFG＝3x， ∴∠AGD＝∠GDF＋∠ECF＝4x， ∵DG＝DA， ∴∠A＝4x， ∴∠BDC＝∠A＋∠ECF＝5x， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝5x， ∴∠ACB＝∠BCD＋∠ECF＝6x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD＝6x， ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴4x＋6x＋6x＝180°， 解得， ∴∠B=， 故答案为：. 【分析】设∠ECF＝x，根据等边对等角得∠EFC＝∠ECF＝x，根据三角形外角的性质得∠EFC＝∠ECF＝x，同理可得∠BDC＝∠BCD＝5x，根据角的和差得∠ACB＝∠BCD＋∠ECF＝6x，再根据等边对等角得∠B＝∠ACD＝6x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得x的值，从而就不难求出答案了. 15．【答案】或或 【解析】【解答】解：若为等腰三角形则有、、三种情况： ①当时， 即， ； ②当时， 即， ； ③当时， ， 综上可知答案为或或． 故答案为：或或 【分析】分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求解即可。 16．【答案】100° 【解析】【解答】解：如图所示， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2＝∠ABC， ∴∠C＝2∠1， ∵∠2+∠C＝180°-∠BDC，且∠BDC＝120°， ∴3∠1＝60°，即∠1＝∠2＝20°， 又∵∠BDC＝∠A+∠1， ∴∠A＝∠BDC-∠1＝120°-20°＝100°． 故答案为：100°． 【分析】由AB＝AC，根据等边对等角，可得∠ABC＝∠C，又由BD平分∠ABC，∠BDC＝120°，可求得∠1的度数，然后根据三角形内角和定理，即可求得∠A的度数． 17．【答案】解：∵，， ∴， 解得 当a是腰时，三角形三边的长分别为：，，，则，不能构成三角形； 当b是腰时：三角形三边的长分别为：，，，满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故三角形的周长为：， 综上可得，三角形的周长为. 【解析】【分析】由绝对值和平方的非负性可得关于a、b的方程，解方程求得a、b的值，根据等腰三角形的定义分两种情况：①当a是腰时，②当b是腰时，结合三角形三边关系定理可求解. 18．【答案】解：如图， 【解析】【分析】由∠A=120°，可过点A作∠BAP=20°，则∠PAC=100°，∠APC=40°，则△APB、△APC均为等腰三角形；可过点A作∠BAP=80°，则∠PAC=40°，∠APC=100°，则△APB、△APC均为等腰三角形； 19．【答案】证明：如图，过点A作于P， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴. 【解析】【分析】 过点A作AP⊥BC于P ，根据等腰三角形的三线合一得BP=PC，DP=PE，进而根据等量减去等量，差相等即可得出BD=CE. 20．【答案】（1） 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝ （180°-∠A）＝72°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠A＝∠ACD＝36°， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°， ∴∠CDB＝∠B＝72°， ∴CD＝CB， ∴△BCD是等腰三角形； （2） 解：∵△BCD的周长是13， ∴BC+BD+CD＝13， ∵AD＝CD， ∴BC+BD+AD＝13， ∴BC+AB＝13， ∵BC＝5， ∴AB＝13-5＝8， ∴AC＝AB＝8， 【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=72°，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DC，根据等边对等角及三角形的外角性质可得∠CDB=∠B=72°，再根据等角对等边即可得出CD=CB，据此可得结论； （2）根据三角形周长的计算方法及等量代换可得BC+AB＝13 ，结合已知可得AB的长，最后根据AC=AB即可得出答案. 21．【答案】（1）证明：∵AB= AC， ∴∠B=∠C． ∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE=50°+∠CDE， ∴∠BAD=∠CDE ． 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE(AAS)； （2）解：由（1）知，∠C=∠B=50°， ∴∠BAC= 180°-50°×2= 80° ． 当△ADE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论： ①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA= ×(180°-50°)=65°， 此时∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-65°=15° ； ②当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=50°， 此时∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-50°=30° ； ③当AD=AE时，则∠ADE=∠AED=50°， 此时点E与点C重合，不符合题意，故舍去． 综上，∠BAD的度数为15°或30°． 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得∠B=∠C，根据角的和差及三角形外角性质可推出∠BAD=∠CDE，从而利用AAS判断出△ABD≌△DCE； （2）根据三角形的外角和定理可得∠BAC=80°，当△ADE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：①当DA=DE时，②当EA=ED时，③当AD=AE时，分别根据等边对等角及角的和差即可算出答案. 22．【答案】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝37°， ∴∠ABC＝53°， ∴∠ACB＝53°． （2）解：∵CE⊥AB， ∴·BC·AD＝·AB·CE， 又∵BC＝6，AD＝4，AB＝5， ∴CE＝=． （3）解：PE+PB的最小值为． 【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接PC， ∵AD垂直平分线段BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PE＝PE+PC≥CE， ∴PE+PB的最小值为． 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理求得∠ACB的度数即可； （2）利用三角形等面积法可得·BC·AD＝·AB·CE，再代入数据计算即可求解； （3）连接PC，利用线段垂直平分线性质及轴对称性质，可得到PB+PE＝PE+PC≥CE，即把问题转化为两点之间线段最短，进而求解即可． 23．【答案】（1）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 （2）解：答案不唯一，如图，连接，，则，即为所求． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形． ∵， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形； （3）解：如图，作，的垂直平分线，交于点D，E，连接，.裁剪线为和． 【解析】【解答】解：（1）PA=PB， 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 故答案为：PA=PB， 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可； （2）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可； （3）根据垂直平分线的性质及作法作出图形即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $