四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年九年级上学期入学自测数学模拟试题

**基本信息** 九年级开学自测数学模拟卷，分A、B卷（100+50分），覆盖几何（旋转、四边形）、代数（方程、不等式）及应用题，注重基础巩固与能力提升，适配开学知识衔接检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称与中心对称、不等式性质、因式分解|结合图形辨析，考查基础概念| |填空题|10题40分|因式分解、一元二次方程、正多边形角度计算|融入几何变换（旋转），检测空间观念| |解答题|8题80分|分式方程、几何证明（菱形、旋转）、函数与几何综合（26题）、应用题（垃圾分类）|注重推理能力（18题旋转综合）、模型意识（24题垃圾分类），体现数学思维与应用|

四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年九年级上学期入学自测数学模拟试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．﹣2a＜﹣2b D．﹣1+3a＜﹣1+3b 3．下列因式分解正确的是（　　） A．3ax2﹣6ax＝3ax（x+2） B．﹣x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．a2+2ab+4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2 4．若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．0 5．如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 6．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 故选：C． 8．如图，长为20m、宽为15m的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252m2，若设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝252 B．20×15﹣20x﹣2×15x＝252 C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252 D．（20﹣2x）（15﹣x）＝252 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：8a2﹣2ab2＝　　 ． 10．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　 ． 11．使代数式有意义的x的取值范围是　 ． 12．如图，在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置，则旋转角α（0°＜α＜360°）为　　 °． 13．如图，在正五边形ABCDE，以AB为一边，在内部作正方形ABMN，则∠EAN＝　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（8分）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 16．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，联结EF． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）延长EF，交AD的延长线于点G．求证：AE2＝CF•AG． 17．（10分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD，连接CD，以CD为边，在CD左侧构造等腰直角△CDE，其中DC＝DE，∠CDE＝90°，CE，AD交于点F，连接AE，BD． （1）求证：△BCD≌△ADE； （2）如图2，若点B，点D，点E在一条直线上，求BD的长． 18．（12分）如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE； （2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，求CM的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如图，直线y＝mx+n经过点M（﹣2，2），则关于x的不等式mx+n＜2的解集是_______. 20．在某时刻的阳光照耀下，高为4米的旗杆在水平地面上的影长为5米，附近一个建筑物的影长为20米，则该建筑物的高为　　 米． 21．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　 ． 22．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为 　　 ． 23．如图，将含30°角的三角尺（△ABC，∠ACB＝90°）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD，∠ADC＝90°）的斜边恰好重合放置，已知，P，Q分别是AC，BC上的动点，当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是 　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（8分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝k•AB（0＜k＜1），M是射线DC上一点（不与点D重合），连接AM，过点B作BP⊥AM于点P． （1）求证：△ADM∽△BPA； （2）若点P是线段AM的中点，求的值（用含k的代数式表示）； （3）取AD的中点Q，连接CP，QP，当AB＝8，k，QP⊥CP时，求DM的长． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C，且△ABC面积为10． （1）求点C的坐标及直线BC的解析式； （2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标； （3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年九年级上学期入学自测数学模拟试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：C． 2．如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．﹣2a＜﹣2b D．﹣1+3a＜﹣1+3b 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴选项C符合题意； ∵a＞b， ∴3a＞3b， ∴1+3a＞1+3b， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 3．下列因式分解正确的是（　　） A．3ax2﹣6ax＝3ax（x+2） B．﹣x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．a2+2ab+4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2 【解答】解：A、原式＝3ax（x﹣2），不符合题意； B、原式＝（﹣x+y）（x+y），不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式＝﹣a（x﹣1）2，符合题意． 故选：D． 4．若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．0 【解答】解：根据题意，得 x2﹣9＝0且x﹣3≠0， 解得，x＝﹣3； 故选：A． 5．如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF， ∴AD＝EF＝2cm，AE＝DF， ∵四边形ABFD的周长是19cm， ∴AD+AB+BF+DF＝19cm， ∴AD+AB+BE+EF+DF＝19cm， ∴2cm+AB+BE+2cm+AE＝19cm， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝15cm， 故选：C． 6．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：C． 7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝40°， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF+∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC＝180°， ∴∠EAF＝∠B＝40°， 故选：C． 8．如图，长为20m、宽为15m的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252m2，若设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝252 B．20×15﹣20x﹣2×15x＝252 C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252 D．（20﹣2x）（15﹣x）＝252 【解答】解：可列方程为（20﹣2x）（15﹣x）＝252， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式：8a2﹣2ab2＝　2a（4a﹣b2）　 ． 【解答】解：8a2﹣2ab2＝2a（4a﹣b2）． 故答案为：2a（4a﹣b2）． 10．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 11．使代数式有意义的x的取值范围是x≥0且　 ． 【解答】解：要使有意义，必须x≥0且2x﹣3≠0， 解得：x≥0且x， 故答案为：x≥0且x． 12．如图，在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置，则旋转角α（0°＜α＜360°）为　60　 °． 【解答】解：∵在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点， ∴∠BAC＝60°， ∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置， ∴旋转角α＝∠BAC＝60°， 故答案为：60． 13．如图，在正五边形ABCDE，以AB为一边，在内部作正方形ABMN，则∠EAN＝　18°　 ． 【解答】解：根据题意可知，，， ∴∠EAN＝∠EAB﹣∠NAB＝108°﹣90°＝18°． 故答案为：18°． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（8分）（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【解答】解：（1）， 解不等式①得， 解不等式②得x＜2， ∴原不等式组的解集是； （2）， ， 两边同乘以（x﹣1）2得x（x﹣1）+3＝（x﹣1）2， 整理得﹣x+3＝﹣2x+1， 解方程得x＝﹣2， 经检验，当x＝﹣2时，（x﹣1）2≠0， ∴x＝﹣2是分式方程的解． 15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）设方程的两个根为a，b， 则：a+b＝m+5，ab＝3m+6， 由题意可得：a2+b2＝25， ∴（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25， 解得：m＝2或m＝﹣6， 当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去． ∴m＝2． 16．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，联结EF． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）延长EF，交AD的延长线于点G．求证：AE2＝CF•AG． 【解答】证明：（1）连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ADC＝∠B＝60°， ∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACF＝60°， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF， ∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形． （2）延长EF，交AD的延长线于点G， ∵CB∥AD，CD∥AB， ∴∠CEF＝∠G，∠FCE＝180°﹣∠B＝120°， ∵FE＝FA＝AE，∠AFE＝60°， ∴∠AFG＝180°﹣∠AFE＝120°， ∴∠FCE＝∠AFG， ∴△FCE∽△AFG， ∴， ∴FE•FA＝CF•AG， ∴AE2＝CF•AG． 17．（10分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD，连接CD，以CD为边，在CD左侧构造等腰直角△CDE，其中DC＝DE，∠CDE＝90°，CE，AD交于点F，连接AE，BD． （1）求证：△BCD≌△ADE； （2）如图2，若点B，点D，点E在一条直线上，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠CDE﹣∠ADC， ∴∠ADE＝∠BCD， 在△BCD和△ADE中， ， ∴△BCD≌△ADE（SAS）； （2）解：作AT⊥CD于T，则四边形AEDT是矩形，△ACT≌△CBD≌△DAE， ∴CT＝BD＝AE＝DT， 设CT＝BD＝DT＝x，则CD＝DE＝2x， 在Rt△BCD中，由勾股定理得， BD2+CD2＝BC2， ∴x2+（2x）2＝（）2， ∴x（舍去负值）， ∴BD． 18．（12分）如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE； （2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，求CM的长度． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE； （2）解：BDCD． 理由：连接AD，BE交于点K，AD与BC交于点R， 由（1）可知∠CAD＝∠CBE， ∵∠ARC＝∠BRD， ∴∠ACR＝∠BKR＝90°， ∴AD⊥BE， ∵AB＝AE， ∴AD垂直平分BE， ∴DE＝BD， 又∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DECD， ∴BDCD； （3）解：过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC， 则∠POM＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点， ∴CO⊥AB，COAB＝OB， ∴∠COB＝∠POM＝90°， ∴∠POC＝∠MOB， ∴△POC≌△MOB（SAS）， ∴CP＝BM＝7，∠OPC＝∠OMB， 又∵∠OHP＝∠QHM， ∴∠PQM＝∠POM＝90°， ∵∠BMC＝45°， ∴△CMQ是等腰直角三角形， ∴CQ＝MQ， 在Rt△POM中，PMOM＝13， 设CQ＝QM＝x，则PQ＝x+7， 在Rt△PQM中，由勾股定理得：x2+（x+7）2＝（13）2， 解得：x＝5（x＝﹣12舍去）， ∴QM＝5， ∴CMQM＝10． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．如图，直线y＝mx+n经过点M（﹣2，2），则关于x的不等式mx+n＜2的解集是_______. 【解答】解：一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，2）， 当x＜﹣2时，mx+n＜2时， 所以，关于x的不等式mx+n＜2的解集为x＜﹣2， 故填：x＜﹣2， 20．在某时刻的阳光照耀下，高为4米的旗杆在水平地面上的影长为5米，附近一个建筑物的影长为20米，则该建筑物的高为　16　 米． 【解答】解：∵， ∴建筑物的高建筑物的影长 20 ＝16米． 故应填16． 21．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根， ∴x1+x23，x1•x25， ∴， 22．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为 　　 ． 【解答】解：设AE与BF相交于点O， 由作图过程可知，AB＝AF，AE⊥BF， ∴OB＝OF4，AO平分∠BAF， ∴∠FAE＝∠BAE． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∴△ABE为等腰三角形， ∵BO⊥AE， ∴OA＝OE6． 在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE， ∴AB． 故答案为：． 故答案为：60． 23．如图，将含30°角的三角尺（△ABC，∠ACB＝90°）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD，∠ADC＝90°）的斜边恰好重合放置，已知，P，Q分别是AC，BC上的动点，当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是 　36　 ． 【解答】解：如图，当四边形DPBQ为平行四边形时， ∴DP∥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴DP⊥AC， ∵△DAC是等腰直角三角形， ∴PA＝PC， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴BCAB84， ∴AC12， ∴PCAC＝6， ∵∠DCP＝45°，∠DPC＝90°， ∴△DCP是等腰直角三角形， ∴PD＝PC＝6， ∵PC⊥PD， ∴平行四边形DPBQ的面积＝PD•PC＝6×6＝36． 故答案为：36． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（8分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元， 根据题意得， 解得x＝160， 经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意， ∴x+40＝160+40＝200． 答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元； （2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个， 依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600， 解得：y≥10， ∵y为正整数， ∴y的最小值为10． 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝k•AB（0＜k＜1），M是射线DC上一点（不与点D重合），连接AM，过点B作BP⊥AM于点P． （1）求证：△ADM∽△BPA； （2）若点P是线段AM的中点，求的值（用含k的代数式表示）； （3）取AD的中点Q，连接CP，QP，当AB＝8，k，QP⊥CP时，求DM的长． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠MAB+∠DAM＝90°， ∵BP⊥AM， ∴∠MAB+∠PBA＝90°， ∴∠DAM＝∠PBA， 又∠D＝∠APB＝90°， ∴△ADM∽△BPA． （2）解：连BM，如图： 设AB＝x，则AD＝kx， ∵BP垂直平分AM， ∴BA＝BM＝x． ∴MCx． ∴DM＝DC﹣MC＝x﹣x． ∴1． （3）解：①当M在DC上时，如图：过P作EF∥AB，交AD于E，交BC于F． 设DM＝x，EQ＝a． ∵∠EQP+∠QPE＝∠QPE+∠CPF＝90°， ∴∠EQP＝∠CPF， 又∠QEP＝∠PFC＝90°， ∴△EQP∽△FPC， ∴， 即EQ•FC＝EP•FP． 同理：EA•BF＝EP•FP． ∴EQ•FC＝EA•BF． ∴a（3+a）＝（3﹣a）（3﹣a）， ∴a＝1． ∵EP∥DM， ∴， ∴， ∴EPx． ∵EQ•FC＝EP•FP． ∴a（3+a）x•（8x）， ∴1×4x•（8x）， ∴x＝12﹣6（x＝12+6 舍去）， 即DM＝12﹣6． ②当M在DC延长线上时，如图：过P作EF∥AB，交AD于E，交BC于F． 设DM＝x，EQ＝a． 同①得DM＝12+6． 综上所述，DM＝12﹣6 或12+6． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C，且△ABC面积为10． （1）求点C的坐标及直线BC的解析式； （2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标； （3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵S△ABC•AC•OB＝10， ∴AC＝5， ∴OC＝3， ∴C（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有， ∴． ∴直线BC的解析式为yx+4． （2）∵FA＝FB，A（﹣2，0），B（0，4）， ∴F（﹣1，2），设G（0，n）， ①当n＞2时，如图2﹣1中，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N． ∵四边形FGQP是正方形，易证△FMG≌△GNQ， ∴MG＝NQ＝1，FM＝GN＝n﹣2， ∴Q（n﹣2，n﹣1）， ∵点Q在直线yx+4上， ∴n﹣1（n﹣2）+4， ∴n， ∴G（0，）． ②当n＜2时，如图2﹣2中，同法可得Q（2﹣n，n+1）， ∵点Q在直线yx+4上， ∴n+1（2﹣n）+4， ∴n＝﹣1， ∴G（0，﹣1）． 综上所述，满足条件的点G坐标为（0，）或（0，﹣1）． （3）如图3中，设M（m，m+4）， ∵S△AMB＝S△AOB， ∴S△ABC﹣S△AMC＝S△AOB， ∴5×45×（m+4）2×4， ∴m， ∴M（，）， ∴直线AM的解析式为yx， 作BE∥OC交直线AM于E，此时E（，4）， 当CD＝BE时，可得四边形BCDE，四边形BECD1是平行四边形，可得D（，0），D1（，0）， 当点E在第三象限，根据BC＝DE，可得D2（，0）也符合条件， 综上所述，满足条件的点D的坐标为（，0）或（，0）或（，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $