四川省达州市天立学校2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 本试卷以开学自测为定位，通过垃圾分类标志、机器人搬运等现实情境，融合几何性质、代数运算与实际应用，梯度覆盖基础巩固与创新探究，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|轴对称与中心对称、不等式性质、因式分解|结合垃圾分类情境考查图形性质| |填空题|10/40|多边形内角和、一元二次方程、新定义运算|B卷第21题菱形中点问题考查几何直观| |解答题|8/78|平行四边形证明、函数与几何综合、旋转探究|第18题折叠与平行四边形存在性综合代数几何，第24题电影周边销售问题体现应用意识|

四川省达州市天立学校2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾FoodWaste B．可回收物Recyclable C．其他垃圾ResidualWaste D．有害垃圾HazardousWaste 2．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝（x+1）2 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 4．下列命题中，错误的命题是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．某化工厂要在规定时间内搬运2400千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的1.5倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少16小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（　　） A．16（15x+x）＝2400 B．16（15x﹣x）＝2400 C． D． 7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD平分∠ABC，分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，G，作直线FG交AC于点E．连接BE，则BE的长为（　　） A． B．6 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若分式的值为0，则x的值为 　　 ． 10．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是_______边形． 11．已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是　 ． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　　 ． 13．定义新运算：a⊗b＝a2﹣4a﹣b，若x⊗3＝﹣2，则x的值为　2或2　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）x（x﹣3）＝2x﹣6； （2）先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 16．（10分）课本再现：在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． （2）在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（8，0），C（0，6），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）求直线BD所对应的函数表达式； （2）求点E的坐标； （3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若b+a＝3，则9﹣6a+a2﹣b2的值为 　　 ． 20．若α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣3β的值为　　 ． 21．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边CD，BC上的动点，连接AM，MN，P，Q分别为AM，MN的中点，连接PQ．若∠B＝45°，AB＝4，则PQ的最小值为 　　 ． 22．若关于x的不等式组的解集是x≤3，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 　　 ． 23．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　　 ． 13．如图，把边长为5的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M，若BQ：AQ＝4：1，则AM＝　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 25．（10分）点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，AE的延长线交BC于点G，AF交BD于点H． （1）如图1，证明：AE＝EF； （2）如图2，若AD＝DE，AB＝2，求CF的长． 26．（12分）在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得线段BE． （1）如图1，若α＝∠ABC，连接AE，求证：∠E+∠ADB＝180°； （2）如图2，若α+∠ABC＝180°，连接CE，作△BCE的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC＝120°，AC＝6，∠DBM＝15°，求BM的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/5 6:56:29；用户：罗春；邮箱：18281858078；学号：25881635 参考答案 四川省达州市天立学校2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾FoodWaste B．可回收物Recyclable C．其他垃圾ResidualWaste D．有害垃圾HazardousWaste 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【解答】解：A、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，计算不正确，不符合题意； B、当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＜b2，计算不正确，不符合题意； C、若a＞b，当c≠0时，ac2＞bc2，计算不正确，不符合题意； D．、若ac2＞bc2，则a＞b，计算正确，符合题意． 故选：D． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝（x+1）2 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 【解答】解：A、（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16是多项式乘法运算，不符合题意； B、x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5，不是因式分解，不符合题意； C、x2+1≠（x+1）2，不是因式分解，不符合题意； D、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，是因式分解，符合题意． 故选：D． 4．下列命题中，错误的命题是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题，不符合题意； B、两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，本选项说法为假命题，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法为真命题，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法为真命题，不符合题意； 故选：B． 5．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 6．某化工厂要在规定时间内搬运2400千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的1.5倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少16小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（　　） A．16（15x+x）＝2400 B．16（15x﹣x）＝2400 C． D． 【解答】解：∵B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的1.5倍，且A型机器人每小时搬运x千克化工原料， ∴B型机器人每小时搬运1.5x千克化工原料． 根据题意得：16． 故选：C． 7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6． ∴∠AFB＝∠FBC． ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC． ∴∠AFB＝∠ABF． ∴AF＝AB＝6． 同理可得DE＝DC＝6． ∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2． 故选：B． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD平分∠ABC，分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，G，作直线FG交AC于点E．连接BE，则BE的长为（　　） A． B．6 C． D． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6， ∴BCAB＝3，∠ABC＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD2， ∴CD， ∵EF垂直平分AD， ∴DE， ∴CE＝2， ∴BE， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若分式的值为0，则x的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x﹣1≠0， 解得x＝﹣1． 故答案为﹣1． 10．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是___8____边形． 【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°， ∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°， 设多边形的边数为n， 则（n﹣2）×180°＝1080°， 解得：n＝8， 即多边形是八边形， 故填：8． 11．已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是m＜3　 ． 【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3， ∵不等式组有解， ∴m＜3， 故答案为：m＜3． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　16　 ． 【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16， ∴AE＝BE＝16， 故答案为：16． 13．定义新运算：a⊗b＝a2﹣4a﹣b，若x⊗3＝﹣2，则x的值为　2或2　 ． 【解答】解：由题意得x2﹣4x﹣3＝﹣2， 整理得：x2﹣4x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x， 即x的值为2或2， 故答案为：2或2． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）（1）x（x﹣3）＝2x﹣6； （2）先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝2x﹣6， 移项，得x（x﹣3）﹣（2x﹣6）＝0， 方程左边分解因式，得（x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝3，x2＝2； （2） ， ∵x﹣1≠0，x≠0，x﹣3≠0， ∴x≠0，1，3， ∴x＝2， 当x＝2时，原式． 15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0， ∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：x2﹣（m+3）x+m+2＝0， （x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0， ∴x＝1，x＝m+2， ∴m+2＞0，m＞﹣2， ∵m是负整数， ∴m＝﹣1． 16．（10分）课本再现：在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． （2）在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， ∴△OAD≌△OCB（ASA）， ∴OA＝OC，OB＝OD； （2）解：BE＝2AP，证明如下： 如图所示，过点B作BH∥AE交DE于H，连接PH，CH， ∴∠DBH＝∠BAC＝60°， ∵AB＝CE，AC＝BD， ∴AB+BD＝AC+CE，即AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠D＝60°，DE＝DA， ∴△DBH是等边三角形， ∴BH＝BD＝DH， ∴BH＝AC， 又∵BH∥AC， ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AH，BC互相平分， ∵点P为BC的中点， ∴A、P、H三点共线， ∴AH＝2AP， 在△ADH和△EDB中， ， ∴△ADH≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AH， ∴BE＝2AP． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE∠ABC，∠CDF∠ADC， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：四边形EBFD是菱形；理由如下： 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∴DE＝BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（8，0），C（0，6），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）求直线BD所对应的函数表达式； （2）求点E的坐标； （3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，A（8，0），C（0，6）， ∴B（8，6）， 设D（t，0）， ∵将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D， ∴AB＝EB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，AD＝ED＝8﹣t， ∴OE＝OB﹣EB＝10﹣6＝4，∠OED＝90°， ∴OE2+ED2＝OD2，即42+（8﹣t）2＝t2， 解得t＝5， ∴D（5，0）， 设直线BD所对应的函数表达式为y＝kx+b， 把B（8，6），D（5，0）代入得：， 解得， ∴直线BD所对应的函数表达式为y＝2x﹣10； （2）过E作EH⊥x轴于H，如图： 由（2）可得，OD＝5，ED＝AD＝3，OE＝4，∠OED＝90°， ∵2S△OED＝OE•ED＝OD•EH， ∴EH2.4， ∴OH3.2， ∴E（3.2，2.4）； （3）在线段BC上存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设P（p，6），Q（q，2q﹣10），其中0≤p≤8，5≤q≤8， 又D（5，0），E（3.2，2.4）， ①若PQ，DE为对角线，则PQ，DE的中点重合， ∴， 解得（此时Q不在线段BD上，舍去）， ∴这种情况不存在； ②若PD，QE为对角线，同理得， 解得， ∴P（5，6）； ③若PE，QD为对角线，同理得， 解得（舍去）， ∴这种情况不存在； 综上所述，P的坐标为（5，6）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若b+a＝3，则9﹣6a+a2﹣b2的值为 　0　 ． 【解答】解：9﹣6a+a2﹣b2 ＝a2﹣6a+9﹣b2 ＝（a﹣3）2﹣b2， ∵b+a＝3， ∴a﹣3＝﹣b， 把a﹣3＝﹣b代入（a﹣3）2﹣b2， 得（﹣b）2﹣b2＝0， 故答案为：0． 20．若α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣3β的值为　7　 ． 【解答】解：由题知， 因为α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根， 所以α+β＝﹣2，α2+2α﹣1＝0， 则α2﹣α﹣3β＝α2+2α﹣3α﹣3β＝α2+2α﹣3（α+β）＝1﹣3×（﹣2）＝7． 故答案为：7． 21．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边CD，BC上的动点，连接AM，MN，P，Q分别为AM，MN的中点，连接PQ．若∠B＝45°，AB＝4，则PQ的最小值为 　　 ． 【解答】解：连接AN， ∵P，Q分别为AM，MN的中点， ∴PQ是△MAN的中位线， ∴PQAN， 当AN⊥BC时，AN最小，此时PQ最小， ∵∠B＝45°， ∴此时△ABN是等腰直角三角形， ∴ANAB4＝2， ∴AN的最小值是2， ∴PQ的最小值为2． 故答案为：． 22．若关于x的不等式组的解集是x≤3，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 　10　 ． 【解答】解：关于x的不等式组整理得， 而不等式组的解集为x≤3， ∴a+1＞3 ∴a＞2， 解分式方程得x且2， ∵关于x的分式方程有整数解，且a为整数， ∴符合条件的所有整数a为3，7， ∴符合条件的所有整数a的和为：3+7＝10． 故答案为：10． 23．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝　7　 ． 【解答】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线于G点， 由旋转的性质可知CD＝ED， ∵∠EDG+∠CDG＝∠CDG+∠FDC＝90°， ∴∠EDG＝∠FDC，又∠DFC＝∠G＝90°， ∴△CDF≌△EDG， ∴CF＝EG， ∵S△ADEAD×EG＝6，AD＝4， ∴EG＝3，则CF＝EG＝3， 依题意得四边形ABFD为矩形， ∴BF＝AD＝4， ∴BC＝BF+CF＝4+3＝7， 故答案为：7． 13．如图，把边长为5的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M，若BQ：AQ＝4：1，则AM＝　　 ． 【解答】解：∵BQ：AQ＝4：1， ∴， ∵把边长为5的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF， ∴OD＝AB＝OA＝5，∠ODE＝∠OAB＝90°， ∴∠ODM＝∠QAM＝90°， 又∵∠M＝∠M， ∴△ODM∽△QAM， ∴， 设AM＝x，则DM＝5x，OM＝5+x， 在Rt△ODM中，由勾股定理得： OD2+DM2＝OM2， 即52+（5x）2＝（5+x）2， 解得：x或0（舍去）， ∴AM， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【解答】解：（1）设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x， 由题意得：200（1+x）2＝338， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 整理得：y2+44y﹣92＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣46（，不符合题意，舍去）， 答：每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 25．（10分）点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，AE的延长线交BC于点G，AF交BD于点H． （1）如图1，证明：AE＝EF； （2）如图2，若AD＝DE，AB＝2，求CF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接CE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴点A，C关于BD对称， ∴CE＝AE，∠DCE＝∠DAE． ∵∠AEF+∠FDA＝180°， ∴∠EFD+∠EAD＝180°， 又∠EFC+∠DFE＝180°， ∴∠DCE＝∠CFE， ∴EC＝FE， ∴AE＝FE； （2）由四边形ABCD是正方形， 得AD＝AB＝2，∠EBA＝∠EDF＝45°，． 由AD＝ED， 得AB＝DE，∠EAD＝∠DEA， 得∠BAD﹣∠DAE＝∠FEA﹣∠DEA，即∠BAE＝∠DEF， 得△EBA≌△FDE， 得， 得． 26．（12分）在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得线段BE． （1）如图1，若α＝∠ABC，连接AE，求证：∠E+∠ADB＝180°； （2）如图2，若α+∠ABC＝180°，连接CE，作△BCE的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC＝120°，AC＝6，∠DBM＝15°，求BM的长． 【解答】（1）证明：将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， 又∵α＝∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠DBE﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠E＝∠BDC， 又∵∠BDC+∠ADB＝180°， ∴∠E+∠ADB＝180°． （2）， 理由如下； 如图，延长CB使BF＝CB． ∵BM是△BCE的中线， ∴CM＝ME， ∴BM是△CEF的中位线， ∴， ∵将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， ∵α+∠ABC＝180°，即∠DBE+∠ABC＝180°， 又∵∠ABF+∠ABC＝180°， ∴∠ABF＝∠DBE， ∴∠ABF﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠FBE＝∠ABD， ∵CB＝FB，CB＝AB， ∴FB＝AB， 在△FBE和△ABD中， ， ∴△FBE≌△ABD（SAS）， ∴FE＝AD， ∴； （3）情况一：设AB与FE的交点为G，过B点作BH⊥AC于H点． ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴， 又∵AC＝6，BH⊥AC， ∴AH＝CH＝3，． 设BH＝x．则AB＝2x，则（2x）2﹣x2＝32，解得， ∴， ∵BF＝BA， ∴， 若∠ABC＝120°， ∴∠ABF＝60°，由（2）知△FBE≌△ABD， ∴∠BFE＝∠BAD＝30°， ∴∠FGB＝90°，∠BGE＝90°， ∴BG，FG， ∵∠DBE＝α，α+∠ABC＝180°， ∴∠DBE＝60°， ∵∠DBM＝15°，∠EBM＝60°﹣15°＝45°， ∵BM∥FE， ∴∠MBC＝∠F＝30°， ∴∠ABM＝∠ABC﹣∠MBC＝90°， ∴∠GBE＝∠ABM﹣∠EBM＝45°， ∴∠GEB＝90°﹣∠GBE＝45°，，， 由（2）知． 情况二：当BM在BD右侧时，如图，过点E作ET∥BM交CB的延长线于T， 则∠TEB＝∠EBM＝75°， ∴TE＝TB＝2， ∵M是CE中点， ∴BM是△TEB的中位线， ∴BMTB， 综上，BM或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/5 6:56:29；用户：罗春；邮箱：18281858078；学号：25881635 学科网（北京）股份有限公司 $