第五章 三角函数 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一上学期数学人教A版必修一三角函数与弧度制单元测试卷，基础题占60%，梯度设计合理，适配单元复习，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|终边相同角、三角函数值、扇形面积等|基础题为主，考查概念理解与运算| |多选|3题/18分|任意角与弧度制、三角函数性质|辨析判断，强化知识准确性| |填空|3题/15分|周期、诱导公式、值域|基础运算与性质应用| |解答|5题/77分|扇形面积函数、三角函数建模（摩天轮）等|梯度分层，18题以摩天轮高度建模体现数学语言表达现实世界，19题综合考查性质与恒成立问题，提升数学思维|

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一单元测试卷 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 满分：150分 【注意事项】 ①.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 ②.作答前，请将姓名、班级填写在试卷指定位置。 ③.所有答案请书写规范，解答题需写出必要解题步骤。 ④.命题说明：适配普通高中试卷结构，单选8题+多选3题+填空3题+解答题5题，难度配比：基础60%、中档30%、难题10%。 1.与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2.已知角终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3.扇形圆心角，半径，则扇形面积为（ ） A. B. C. D. 4.化简（ ） A. B. C. D. 5.函数的最小正周期为（） A. B. C. D. 6.下列函数在区间单调递减的是（） A. B. C. D. 7.已知，，则（ ） A. B. C. D. 8.函数的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9.下列说法正确的是（ ） A.第一象限角不一定是锐角 B.弧度制下，扇形弧长公式 C.时，为一、二象限角或终边在轴正半轴 D.的定义域是 10.关于函数，下列结论正确的是（ ） A.值域 B.最小正周期 C.是偶函数 D.在单调递增 11.已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最小正周期为________。 13. 化简 。 14. 函数的值域为________。 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知扇形周长为，半径为，圆心角（弧度制）。 (1) 写出扇形面积关于的函数解析式，标注定义域； (2) 当取何值时，扇形面积最大？求出最大面积与对应圆心角。 16.（14分）已知，为第二象限角，求下列式子的值： （1）； （2） 17.（15分）已知函数。 (1) 求的定义域、最小正周期、单调递增区间； (2) 当时，求的最大值、最小值及对应取值。 18.（17分）摩天轮半径为10m，最低点距离地面2m，逆时针匀速旋转，转一圈用时120秒。设秒时座舱距离地面高度为。 （1）建立关于的三角函数解析式； （2）求摩天轮旋转一周内，座舱距离地面高度不低于12m的时长。 19.（18分）已知函数的最小正周期为 且。 （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调减区间； （3）若对,不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案与详细解析 1.【答案】A 【解析】终边相同角公式 所以. 【参考点】考查终边相同角的概念。 2.【答案】C 【解析】已知角终边经过点，则 ，故 【考查点】考查三角函数值的计算。 3.【答案】B 【解析】扇形圆心角，半径， 所以扇形面积为 【考查点】考查用弧度制算扇形面积。 4.【答案】C 【解析】诱导公式：， 原式＝ 【考查点】考查诱导公式的运用。 5.【答案】B 【解析】函数的最小正周期为 【考查点】考查三角函数的周期。 6.【答案】B 【解析】A选项：在区间上递增 B选项：在区间上递减 C选项：在区间上递增 D选项：在区间上递增 【考查点】考查三角函数在区间的单调性。 7.【答案】A 【解析】已知，，所以是第一象限角。 由，所以 则。 【考查点】考查三角函数值的计算。 8.【答案】B 【解析】函数，正弦函数对称轴满足： 所以 令，得 【考查点】考查三角函数的对称轴。 9.【答案】ABCD 【解析】A选项：第一象限角不一定是锐角，例如380°是第一象限角，但不是锐角，正确。 B选项：弧度制扇形弧长公式，正确。 C选项：，在一、二象限，或终边落在y轴正半轴，正确。 D选项：定义域为，正确。 【考查点】考查任意角和弧度制。 10.【答案】ABC 【解析】的值域[-1,1] ；其最小正周期为；，在定义域内是偶函数；在上是单调递减， 【考查点】考查三角函数的性质。 11.【答案】AB 【解析】已知 两边平方： ，所以C错。 所以A正确。 ，故，所以是第二象限。 ，所以，所以B正确。 联立 解得 所以，所以D错误。 【考查点】考查三角函数值的运用。 12.【答案】 【解析】函数的周期为 【考查点】考查三角函数的周期。 13.【答案】 【解析】诱导公式：， ， 所以 【考查点】考查诱导公式的运用。 14.【答案】 【解析】函数 因为，所以 ，则 所以 【考查点】考查三角函数的性质。 15.【解析】（1）扇形周长＝两条半径＋弧长 所以 弧长，所以 扇形面积公式： 求定义域： 弧长 ，即；同时。 所以定义域： 扇形面积关于的函数解析式为 （2）是开口向下的二次函数，其对称轴： 在定义域内,代入求最大面积： 弧长 所以圆心角弧度 【考查点】考查弧度制的运用。 16.【解析】（1）分子分母同除以,则 把代入 （2） 【考查点】考查三角函数值的运用。 17.【解析】（1）已知函数是正弦函数，正弦函数对任意实数都有意义，所以函数的定义域为 其最小正周期： 已知正弦的单调增区间： 令，则 化简得： 所以函数的递增区间： （2）当时，则 设，则，故 因为在处取的最小值，即 当时，即，故 因为在处取的最大值，即 当时，即，故 【考查点】考查三角函数的性质和最值问题。 18.【解析】（1）摩天轮半径R=10m，最低点离地面2m，所以摩天轮中心离地高度为10＋2＝12m。 周期秒，角速度 当时，座舱在最低点。 设 振幅，中心高度， 当时，座舱在最低点 又故 所以 （2）旋转一周（一个周期）内，高度不低于12m的时长，即， 所以 设，因为，所以，故即 所以即 时长=90－30＝60秒 【考查点】考查三角函数的应用。 19.【解析】（1）由周期得，所以 因为即且，所以 函数的解析式解析式 （2）函数的减区间： 令 则 化简得 所以函数的递减区间：[ （3）因为,所以，故 所以 令，则 不等式变为：恒成立 即 设，开口向上，对称轴 要恒成立，只要 即 【考查点】考查三角函数的综合应用。 命题双向细目表 题号 题型 分值 对应知识点 难度 预估得分率 考查层级 1 单选 5 终边相同角概念 基础 0.90 理解运用 2 单选 5 三角函数值 基础 0.85 识记理解 3 单选 5 弧度制求扇形面积 基础 0.85 理解运用 4 单选 5 诱导公式 基础 0.90 理解应用 5 单选 5 基本不等式 基础 0.90 基础应用 6 单选 5 周期 基础 0.95 基础应用 7 单选 5 三角函数值 基础 0.95 能力迁移 8 单选 5 对称轴 基础 0.90 能力迁移 9 多选 6 任意角与弧度制 基础 0.90 辨析判断 10 多选 6 三角函数性质 基础 0.95 辨析判断 11 多选 6 三角恒等变换 中档 0.80 能力迁移 12 填空 5 正切函数周期 基础 0.95 理解运算 13 填空 5 诱导公式 基础 0.80 基础运用 14 填空 5 恒等变换 中档 0.80 综合运用 15 解答 13 弧度制的运用 基础 0.90 能力迁移 16 解答 14 诱导公式 基础 0.80 能力迁移 17 解答 15 三角函数性质与最值 中档 0.75 性质综合 18 解答 17 三角函数的综合 中档 0.75 综合应用 19 解答 18 三角函数的性质综合 拔尖 0.65 性质综合 学科网（北京）股份有限公司 $