2.2 一元二次方程的解法(4) 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程解法同步练，通过A级（10题）、B级（4题）、C级（1题）三级达标分层设计，构建从概念巩固到综合应用的进阶路径，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级（双基过手）|根的判别式概念及直接应用|以选择、填空为主，如判断根的情况、求简单参数范围，夯实基础运算| |B级（能力提升）|参数范围与综合运算|引入新运算（如※运算）、不等式组与方程结合，提升推理能力| |C级（综合拓展）|几何应用与证明|结合等腰三角形周长问题，需证明方程根的情况并应用于几何，体现模型意识|

第二章 一元二次方程 第二节 一元二次方程的解法(4) 今日复习 1.一元二次方程 根的判别式为 . 2.一元二次方程 根的判别方法： (1)当△ 0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当△ 0时，方程有两个相等的实数根； (3)当△ 0时，方程没有实数根.以上三条，反之也成立. 3.一元二次方程 有实数根⇔ . 4.正确使用判别式 的前提是：把一元二次方程化成 . 名师点拨 1.证明 恒为正数的常用方法：通过配方化成“完全平方+正数”的形式. 2.条件中出现“一元二次方程”或“两个实数根”时，必须考虑二次项系数a≠0. 3.判定一元二次方程根的个数的方法： (1)方程简单时，用直接求根法； (2)方程特殊时，用平方式观察法[如(x- 无实数根]； (3)方程复杂时，先化成一般形式，再采用△判别式法. 4.根的判别式 只能判定一元二次方程根的个数，若要判定根的正负性或整数根，可以把根的表达式求出来，再讨论. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(1)(2026·编写)一元二次方程 2x的解是 . (2)(2026·编写)一元二次方程 2=0根的情况是 . 2.(1)(2026·编写)一元二次方程. 1=0的根的情况是 . (2)(2025·简阳)若关于x 的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 . 3.(1)(2026·编写)若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 . (2)(2026·编写)若关于x 的方程. 3x+k-1=0有两个相等的实数根，则k的值为 . 4.(1)(2026·编写)若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 . (2)(2026·编写)若关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的取值为 . 5.(2026·青羊)下列方程中，没有实数根的是 ( ) A.2x+3=0 6.(2024·自贡)关于x的方程 根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ( ) A. a≠0 B. a>-1且a≠0 C.a≥-1且a≠0 D. a>-1 8.(2026·编写)关于x的方程 (2k+1)x+1=0有实数根,则k的取值范围是 ( ) 且k≠1 且k≠1 9.(1)(2025·彭州)若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围. (2)一个骰子的六个面上分别标有数字-2,-1,0,1,2,3,任意掷一次骰子，记朝上的一面的数字为a，则任意掷一次骰子，求恰好能使关于x的一元二次方程 1=0有解的概率. 10.(1)(2026·编写)已知整数 k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程 求△ABC的周长. (2)已知关于x的方程 有两个实数根，求 的化简结果. B级能力提升 11.(2026 ·天府新区)已知 a,b 满足 且关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 12.(2026·编写)定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q,有[m,p]※[q,n]= mn+ pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如:[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方程[x²+1,x]※[5-2k,k]=0有两个实数根，则k的取值范围是 13.(2026·编写)已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值等于 . 14.(1)(2024·凉山州)已知 求x的值. (2)(2026·编写)已知关于x的不等式组 有且只有4个整数解，关于x的一元二次方程 2x+1=0有实数根，求所有满足条件的整数a的和. C级综合拓展 15.(2026·双流)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论 m取何值，该方程总有两个实数根； (2)已知 6 是关于x的一元二次方程 的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长,求△ABC 的周长. 【今日复习】 1.△=b²-4ac 2.(1)> (2)= (3)< 3.△≥0 4.一般形式 【课时三级达标】 A级(双基过手) (2)有两个不相等的实数根 2.(1)有两个不相等的实数根 (2)m≥3 3.(1)m>0且m≠1 (2) 4.(1)k≥ 且k≠2 (2)4 5. D 6. A 7. B 8. D 9.(1)【解】由题意知, 且k-2≠0,解得 且k≠2, ∴k的取值范围为 且k≠2, (2)【解】∵关于x的一元二次方程 有解， 解得 在-2,-1,0,1,2,3中,符合此条件的有-2,-1,0,1这4种情况， ∴任意掷一次骰子，恰好能使关于x的一元二次方程 有解的概率为 10.(1)【解】根据题意,得k≥0且( 解得 ∵整数k<5,∴k=4, ∴原方程变形为 解得 ∵△ABC的边长均满足关于x的方程 ∴△ABC的边长为2,2,2或4,4,4或4,4,2, ∴△ABC的周长为6或12或10. (2)【解】∵关于x的方程 有两个实数根， 整理,得-8k+8≥0,∴k≤1, ∴k-1≤0,2-k>0, B级(能力提升) 且k≠1 且k≠0 13.2 14.(1)【解】 即 解得. (舍去),即x的值为3. (2)【解】解不等式5x-1≤a,得 ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴整数解为-3,-2,-1,0, 解得-1≤a<4. ∵关于x的一元二次方程( 有实数根， 且a-2≠0, 解得 a≤3且a≠2, ∴-1≤a≤3且a≠2,∴a=-1,0,1,3, ∴所有符合条件的整数a的和为-1+0+1+3=3. C级(综合拓展) 15.(1)【证明】在关于x的一元二次方程. +4m=0中,a=1,b=-(m+4),c=4m, ∴无论m取何值，该方程总有两个实数根. (2)【解】∵6是关于x的一元二次方程. 4m=0的一个根, ∴36-(m+4)×6+4m=0,解得m=6, ∴这个方程为 解得. ∵这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ∴等腰△ABC的三边长分别为4,4,6或4,6,6. 当△ABC的三边长分别为4,4,6时,△ABC的周长为4+4+6=14; 当△ABC的三边长分别为4,6,6时,△ABC的周长为4+6+6=16. 综上所述,△ABC的周长为14或16. 学科网（北京）股份有限公司 $