15.3 等腰三角形 课时检测卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习以等腰三角形为核心，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，覆盖定义、性质到几何变换综合，适配新授课知识内化与能力进阶，发展几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念与性质|选择1-3（等边三角形性质判断）、填空9-10（中线计算），夯实定义理解| |中档|综合应用与分类讨论|选择4-5（网格找点、边长分类）、解答14-15（等边证明、旋转性质），培养分类思维| |提升|几何变换与动态问题|选择7-8（钢架模型、尺规作图综合）、解答18（动点探究），发展空间观念与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学课时自测(人教版专用) 第十五章 15.3 等腰三角形 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，边的垂直平分线分别交边，于点，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.下面关于等边三角形的说法中，不正确的是(    ) A. 三边都相等 B. 三个角都相等，并且每一个角都等于 C. 是轴对称图形，有条对称轴 D. 具有等腰三角形的性质 3.如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹可知的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在的正方形网格中，点，均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点，使为等腰三角形，这样的点一共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为(    ) A. B. C. 或 D. 以上全错 6.如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转，得到，交于点，当时，点恰好落在上，此时的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示的是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边上的中线，两根支撑架，，则等于(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，衣架框内部可以近似地看成一个等腰三角形，若，，则边上的中线的长为          ． 10.如图，是等边三角形的边上的中线，以点为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点，若，则的长为          ． 11.已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长为          ． 12.如图，在等边中，是边上一点，连接将绕点逆时针旋转，得到，连接若，，则的周长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题10分 在中，，分别是边，的垂直平分线。 若，求的周长。 若，求的度数。 14.本小题10分 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点． 求证：； 求的度数． 15.本小题分 如图，为等边三角形，边长为，为的中点，是绕点顺时针旋转得到的． 求的度数及线段的长． 连接，求证：为等边三角形． 16.本小题分 如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，连接，相交于点． 求的度数 过点作于点，若，，求的长． 17.本小题12分如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的已知过点，交于点． 求的大小 求证：是等边三角形． 18.本小题12分 如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连结。 与全等吗请说明理由。 求证：。 如图，若动点运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，是否仍然成立证明你的结论。 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学课时自测（人教版专用） 第十五章15.3等腰三角形（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 3 4 5 6 2 8 答案 C B B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 12 10. 3 11. 24 12. 19 三、解答题（共6小题，共64分) 13.(10分) (I)解：.DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线， EA=EB,GAGC2分 .BC=12, △AEG的周长为AE+EG+AG-BE+EG+GC-=BC-125分 (2).∠BAC=117°， 2B+2C180∠BAC1801763 由(1)可得，EA=EB,GA=GC, .2B∠BAE,LC-GAC7分 BAE+GAC-63" 1/5 .2EAG-∠BAC-(∠BAB+∠GAC17r76354l0分 14.(10分) 【答案】 (1)证明：，△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°.… .2分 .BD=AE, △ABD≌△CAE' ∴AD=CE: *448685546046400504540508656* 5分 (2)解：，△ABD≌△CAE, .∠BAD=∠ACE, 8分 .∠AFC=∠AEC+LBAD=∠AEC+LACE=180°-∠BAC=120°10分 15.(10分) 【答案】 (1)解： '△ABC为等边三角形，边长为2cm,D为BC的中点， .∠C=∠BAC=60r,CD=BD=号BC=1cm.3分 ·.△AEB是△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的， .∴.∠ABE=∠C=60°，BE=CD=1cm. 6分 (2)证明： 由旋转的性质，得EA=DA,∠EAD=∠BAC=60°，8分 ∴.△ADE为等边三角形. .10分 16.(10分) 【答案】 (1)解：.△ABC是等边三角形， .∴.AB=AC,∠BAE=∠C=60°. 2/5 AB=CA, 在△ABE和△CAD中，∠BAE=∠C, AE=CD, △ABB≌△CAD(SAS).3分 ∴.∠ABE=∠CAD. ∠BPD∠BAD ABE-∠BAD+∠CAD-2BAC605分 (2)由(1)知∠BPQ=60°，BQ⊥AD ∠PBQg0∠BP0307分 ∴.BP=2PQ=2×3=6. BE-BP+PE-6+1-7 9分 又：'△ABE≌△CAD, 。AD-BE710分 17.(12分) 【答案】 (四：△ABC是等边三角形， .∴.∠ACB=60°. .D是AB的中点， .∠DCB=∠DCA-号∠ACB号x60'-303分 2 CE⊥BC, ∴.∠BCE=90, DCE-BCE-DCB 605分 (2)证明：由平移可知CD/EF, 3/5 .∠EAC=∠DCA=30°. 又.∠ECA=∠BCE∠ACB=30°， ∠EAC∠ECA,∠AEC- 120°… …8分 ∴AE-CE 又.AB-CB, BE垂直平分AC .∠GEC∠AEC-号X120'=60l0分 由(1)知∠GCE=60°， .∴.∠EGC=60°， .∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC, CEG是等边三角形.… . .12分 18.(12分) 【答案】 (I)解：△DBC与△EAC全等：1分 理由如下： :△ABC,△EDC是等边三角形， .∴.∠ACB=∠DCE-60°，BC=AC,DC=EC .∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE.3分 在△DBC和△EAC中， BC=AC, ∠BCD=∠ACE DC=EC, .△DBC2△EAC(SAS),5分 (2)证明：，'△DBC≌△EAC, 4/5 ∴.∠EAC=∠B=60° 又.∠ACB=60°， .∠EAC-∠ACB. .AEBC..8分 (2)解：仍有AE//BC 证明：，'△ABC,△EDC为等边三角形， .∴.BC=AC,DC-CE,∠BCA=∠DCE-60° ∴.∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, 在△DBC和△EAC中， BC=AC, BCD=∠ACE, DC=EC, △DBC≌△EAC(SAS)… …10分 ∴.∠EAC-∠B=60° 又.∠ACB=60°， .∠EAC∠ACB. .AEj/BC.12分 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学课时自测(人教版专用) 第十五章 15.3 等腰三角形 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，边的垂直平分线分别交边，于点，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.下面关于等边三角形的说法中，不正确的是(    ) A. 三边都相等 B. 三个角都相等，并且每一个角都等于 C. 是轴对称图形，有条对称轴 D. 具有等腰三角形的性质 3.如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹可知的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在的正方形网格中，点，均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点，使为等腰三角形，这样的点一共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为(    ) A. B. C. 或 D. 以上全错 6.如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转，得到，交于点，当时，点恰好落在上，此时的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示的是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边上的中线，两根支撑架，，则等于(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，衣架框内部可以近似地看成一个等腰三角形，若，，则边上的中线的长为          ． 10.如图，是等边三角形的边上的中线，以点为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点，若，则的长为          ． 11.已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长为          ． 12.如图，在等边中，是边上一点，连接将绕点逆时针旋转，得到，连接若，，则的周长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题10分 在中，，分别是边，的垂直平分线。 若，求的周长。 若，求的度数。 14.本小题10分 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点． 求证：； 求的度数． 15.本小题分 如图，为等边三角形，边长为，为的中点，是绕点顺时针旋转得到的． 求的度数及线段的长． 连接，求证：为等边三角形． 16.本小题分 如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，连接，相交于点． 求的度数 过点作于点，若，，求的长． 17.本小题12分如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的已知过点，交于点． 求的大小 求证：是等边三角形． 18.本小题12分 如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连结。 与全等吗请说明理由。 求证：。 如图，若动点运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，是否仍然成立证明你的结论。 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学课时自测(人教版专用) 第十五章 15.3 等腰三角形 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，边的垂直平分线分别交边，于点，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形内角求底角，结合垂直平分线性质得，推出，再用含 30° 直角三角形边长关系计算。 【详解】 ， 。 垂直平分，，。 在中，，，，即。 ，。 在中，，。 2.下面关于等边三角形的说法中，不正确的是(    ) A. 三边都相等 B. 三个角都相等，并且每一个角都等于 C. 是轴对称图形，有条对称轴 D. 具有等腰三角形的性质 【答案】C 【分析】熟记等边三角形定义、内角、对称轴数量，等边三角形只有 3 条对称轴。 【详解】 等边三角形三边相等，三内角均为，属于特殊等腰三角形；对称轴为三条边上的垂直平分线，共 3 条，不是 6 条。故选 C。 3.如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹可知的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】作图痕迹为作的角平分线；等腰三角形顶角平分线平分顶角。 【详解】 由作图可知平分， ， 。 4.如图，在的正方形网格中，点，均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点，使为等腰三角形，这样的点一共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】分三种情况讨论：、、，分别数出格点数量再求和。 【详解】 以为圆心，长为半径画圆，与网格格点相交得 4 个点； 以为圆心，长为半径画圆，与网格格点相交得 4 个点； 作垂直平分线，与网格格点相交得 2 个点； 总计个符合条件的格点。 5.若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为(    ) A. B. C. 或 D. 以上全错 【答案】A 【分析】分 2cm 为腰、2cm 为底两种情况，用三角形三边关系验证能否构成三角形。 【详解】 ① 若为腰长：底边长， ，不满足三边关系，舍去； ② 若为底边长：腰长， ，满足三边关系。 故底边长为。 6.如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转，得到，交于点，当时，点恰好落在上，此时的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用旋转性质得、对应角相等，先求底角，再用三角形外角定理计算。 【详解】 由旋转得：，，。 中，，， ， 。 在中，。 7.如图所示的是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边上的中线，两根支撑架，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】等腰三角形三线合一，求出长度，再利用面积法推导。 【详解】 ，是中线， ，，。 在中，， ； ，，， ， 化简得； 中，，，由勾股定理， ，解得， 。 8.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据三角形内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 解：在中， ，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选：． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，衣架框内部可以近似地看成一个等腰三角形，若，，则边上的中线的长为          ． 【答案】 【分析】等腰三角形三线合一，，，含 30° 直角三角形短直角边为斜边一半。 【详解】 ，是中线，，， 。 在中，，斜边， 。 10.如图，是等边三角形的边上的中线，以点为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点，若，则的长为          ． 【答案】 【分析】等边三角形中线垂直平分底边，求，结合得等腰三角形，推导出。 【详解】 为等边三角形，，。 是中线，，，。 ，。 是外角，， ，。 11.已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长为          ． 【答案】 【分析】有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，三边相等。 【详解】 等腰三角形有一个角为，可判定该三角形为等边三角形， 三边长均为，周长。 12.如图，在等边中，是边上一点，连接将绕点逆时针旋转，得到，连接若，，则的周长为          ． 【答案】 【分析】利用旋转性质得全等、，证等边，周长等量代换。 【详解】 由旋转得：， ，，。 ， 是等边三角形，。 周长。 等边中， 周长。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 在中，，分别是边，的垂直平分线。 若，求的周长。 若，求的度数。 【答案】 (1)解:DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线, EA=EB,GA=GC。 BC=12, AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=12。  (2)BAC=, B+C=-BAC=-=。 由(1)可得,EA=EB,GA=GC, B=BAE,C=GAC。 BAE+GAC=。 EAG=BAC-(BAE+GAC)=-=。   14.本小题10分 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点． 求证：； 求的度数． 【答案】 (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°． ∵BD＝AE， ∴， ∴AD＝CE；  (2)解：∵， ∴∠BAD＝∠ACE， ∴∠AFC＝∠AEC+∠BAD  ＝∠AEC+∠ACE  ＝180°-∠BAC  ＝120°．  15.本小题10分 如图，为等边三角形，边长为，为的中点，是绕点顺时针旋转得到的． 求的度数及线段的长． 连接，求证：为等边三角形． 【答案】 (1) 解： ∵△ABC为等边三角形，边长为2 cm，D为BC的中点， ∴∠C＝∠BAC＝60°，． ∵△AEB是△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的， ∴∠ABE＝∠C＝60°，BE＝CD＝1 cm．  (2)证明：由旋转的性质，得EA＝DA，∠EAD＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形．  16.本小题分 如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，连接，相交于点． 求的度数 过点作于点，若，，求的长． 【答案】 (1) 解:ABC是等边三角形, AB=AC,BAE=C=. 在ABE和CAD中, ABECAD(SAS). ABE=CAD. BPD=BAD+ABE=BAD+CAD=BAC=; (2)由(1)知BPQ=,BQAD, PBQ=-BPQ=. BP=2PQ=23=. BE=BP+PE=6+1=. 又ABECAD, AD=BE=. 17.本小题分 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的已知过点，交于点． 求的大小 求证：是等边三角形． 【答案】 (1)ABC是等边三角形, ACB=. D是AB的中点, DCB=DCA=ACB==. CEBC, BCE=, DCE=BCE-DCB=. (2)证明:由平移可知CD//EF, EAC=DCA=. 又ECA=BCE-ACB=, EAC=ECA,AEC=, AE=CE. 又AB=CB,BE垂直平分AC, GEC=AEC==. 由(1)知GCE=, EGC=, GEC=GCE=EGC, CEG是等边三角形. 18.本小题12分 如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连结。 与全等吗请说明理由。 求证：。 如图，若动点运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，是否仍然成立证明你的结论。 【答案】 (1) 解：DBC与EAC全等； 理由如下： ABC,EDC是等边三角形, ACB=DCE=,BC=AC,DC=EC. ACB-ACD=DCE-ACD,即BCD=ACE. 在DBC和EAC中, ∴△DBC≌△EAC（SAS）,  (2)证明:DBCEAC, EAC=B=. 又ACB=, EAC=ACB. AEBC.  (3)解：仍有AEBC. 证明:ABC,EDC为等边三角形, BC=AC,DC=CE,BCA=DCE=. BCA+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE. 在DBC和EAC中, DBCEAC(SAS). EAC=B=. 又ACB=, EAC=ACB. AEBC.  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $