15.3 等腰三角形 预习自测2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级数学上册《15.3等腰三角形》同步练，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的递进，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等腰三角形性质（三线合一、等边对等角）、判定（等角对等边）|单选题1-3、填空题11-13直接考查概念，解答题16基础证明，强化抽象能力| |中档层|角平分线+平行线、格点作图、折叠问题|单选题4、6、填空题14结合多知识点，解答题17实际应用，提升推理意识| |提升层|多等腰三角形识别、坐标系应用、最短路径|单选题9-10、填空题15综合创新，解答题18-20复杂推理，发展应用意识|

15.3 等腰三角形 预习自测2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 4．如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（　　）    A．18 B．19 C．20 D．21 5．如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．下列说法错误的是（    ） A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形 B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形 C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形 D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形 8．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 二、填空题 11．如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 12．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______． 13．在中，，则________．（填“”、“”或“”） 14．如图，在等边中，M是边的中点，N是边上的任意一点（不与点A，B重合），将沿折叠使点B的对应点恰好落在等边的边上，已知，则的长为______． 15．如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 三、解答题 16．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 17．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 18．如图，和都是等边三角形，且B，C，D在同一直线上，连接，分别交，于点G，F，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画，使与关于轴对称； (2)在轴上作一点，使得最短 20．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B B D B C C C 1．【答案】C 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边对等角及三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 由全等三角形的性质，可得，，确定，结合图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，点在上， ∴， ∴． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：对于A、， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于B：由得， 则不是等腰三角形，故本选项符合题意． 对于C：由，得， 则， 则， 故是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于D：由得，则， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 4．【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据角平分线的定义，得出，，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，再根据等量代换，得出，，再根据等角对等边，得出，，再根据的周长是13，得出，再根据三角形的周长，即可得出的周长． 【详解】解：与的平分线交于点， ，， 又， ，， ，， ，， 的周长是13， ， ， 即， 又， 的周长为：． 故选：B 5．【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ． 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质判断各选项即可得出答案． 【详解】解：、任意一个直角三角形一定能分成两个等腰三角形，本选项正确，不符合题意； 、任意一个等腰三角形不一定能分成两个等腰三角形，本选项错误，符合题意； 、任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意； 、任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的知识，解题的关键是能判断等腰三角形及直角三角形，可动手操作进行判断． 8．【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键． 根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 10．【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 11．【答案】/75度 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 12．【答案】等边三角形 【知识点】等边三角形的判定、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 13．【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形的概念，根据三角形边角关系，大边对大角，比较和的长度，对，对，，由，得，即可解答． 【详解】解：在中，，即， ∵对，对，根据大边对大角， ∴． 故答案为：． 14．【答案】或3 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，于是得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据线段中点的定义和直角三角形的性质得到，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，则，四边形是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】解：如图1，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时， 则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， ∵在直角三角形中，， ∴； 如图2，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵，点M为边的中点， ∴， 故答案为：或3． 15．【答案】4 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质 【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ，，，，，， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， 点到的距离为， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 16．【答案】 证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】等边对等角、对顶角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】略 17．【答案】(1)处到灯塔的距离为海里 (2) 解：有触礁的危险，理由如下： 过作于点， 在中，，， ， ． 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握方位角的转化及直角三角形中角的性质是解题的关键． （1）先根据方位角求出三角形内角，再结合船行驶的路程，利用等角对等边求出处到灯塔的距离； （2）过作垂线，利用直角三角形的性质求出灯塔到航线的距离，与海里比较判断是否有触礁危险． 【详解】（1）解：由已知条件可得：， ，， ， ， 海里， 答：处到灯塔的距离为海里． （2）略 18．【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，从而，即可证明，根据全等三角形的性质得证结论； （2）先求得，证明，得到，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 19．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图、轴对称的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于轴的对称点的位置，然后顺次连接即可． （2）如图：作C关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：点P即为所求． 20．【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $