15.3 等腰三角形 课前预习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以等腰三角形性质判定为核心，整合折叠、最短路径等问题，通过题型分层提炼推理方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|3（如第2题三线合一）|等边对等角、三线合一应用|从定义到性质，结合全等三角形性质| |判定应用|4（如第3题等角对等边）|等角对等边、定义判定|性质与判定互逆，强化逻辑推理| |综合拓展|5（如第15题最短路径）|折叠转化、轴对称模型|联系坐标系、实际问题，提升应用意识|

15.3 等腰三角形 课前预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，，点在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 4．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为（    ） A．8 B．16 C．32 D．4 5．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 6．在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 8．下列命题是假命题的是（） A．等腰三角形的两腰相等 B．全等三角形的周长相等 C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D．对顶角相等 9．如图，中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，与前面的弧交于点；④作射线交于点、若，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 二、填空题 11．如图，是等边三角形，若，则________ °． 12．在中，，若使为正三角形，请你再添一个条件：___________． 13．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 14．如图，在等边中，M是边的中点，N是边上的任意一点（不与点A，B重合），将沿折叠使点B的对应点恰好落在等边的边上，已知，则的长为______． 15．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 三、解答题 16．已知：如图，，、相交于点O，求证：． 17．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 18．如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在处测得小岛在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达处，并测得小岛在北偏东方向上． (1)求此时轮船与小岛的距离； (2)已知小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍向东航行，有无触礁危险？请说明理由． 19．如图，和都是等边三角形，且B，C，D在同一直线上，连接，分别交，于点G，F，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)在x轴上找一点P，连接、，使得周长最小，则点P的坐标为 ． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A C D C C D C 1．【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边对等角及三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 由全等三角形的性质，可得，，确定，结合图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，点在上， ∴， ∴． 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在△中，，，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 【详解】解：，， ，，． 故D错误，A，B，C正确． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：对于A、， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于B：由得， 则不是等腰三角形，故本选项符合题意． 对于C：由，得， 则， 则， 故是等腰三角形，故本选项不符合题意； 对于D：由得，则， 则是等腰三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 4．【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题 【分析】根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据等边等角可得，进而可得的周长为即可求解． 【详解】解：∵把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点 ∴ ∵四边形是长方形 ∴ 长方形的周长为16 的周长为 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 5．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即这棵竹子在折断前的高度是米． 6．【答案】D 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D． 7．【答案】C 【知识点】找出图中的等腰三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】判断命题真假、全等三角形的性质、等腰三角形的定义、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查几何命题的真假判断，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，对顶角相等．选项A、B、D均为真命题；选项C中，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，而非顶角平分线本身（线段或射线），因此该命题错误． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等（定义），∴A选项是真命题； ∵全等三角形的对应边相等，周长相等，∴B选项是真命题； ∵等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，顶角平分线是线段，两者不同，∴C选项是假命题； ∵对顶角相等（定理），∴D选项是真命题． 综上，假命题是C． 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，作一个角等于已知角．先证，进而根据三角形内角和为180度得出，根据等角对等边，可得，由作图方式得出，进而得出，，再次应用三角形内角和定理，得出，推出，可得． 【详解】解： 中，， ， ， ， 由作图知，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 10．【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 11．【答案】130 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 12．【答案】答案不唯一 【知识点】等边三角形的判定 【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加的条件是：答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，熟知三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 13．【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】或3 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，于是得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据线段中点的定义和直角三角形的性质得到，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，则，四边形是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】解：如图1，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时， 则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， ∵在直角三角形中，， ∴； 如图2，当点B关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵，点M为边的中点， ∴， 故答案为：或3． 15．【答案】 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 16．【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 17．【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【知识点】等腰三角形的定义、三角形的识别与有关概念、找出图中的等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 18．【答案】(1)40海里 (2)没有危险，理由见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查方位角的概念，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握好方位角的概念和三角形中角度的关系是解题关键． （1）由题意可知，，，则，可得； （2）过点作射线的垂线，交射线于点C，根据题意可得．由含角的直角三角形的性质可得，．求出的值后，与18进行比较，并得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，（海里），，， ∴， ∴， ∴海里； （2）解：如图，过点作射线的垂线，交射线于点C， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， （海里）， ， 若轮船仍向东航行，则没有触礁危险． 19．【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，从而，即可证明，根据全等三角形的性质得证结论； （2）先求得，证明，得到，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 20．【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、坐标系中的对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形变换与最短路径问题，利用轴对称转化最短路径是解题关键． （1）对于点，其关于y轴对称的点是，据此求出A、B、C的对称点，顺次连接即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P． 【详解】（1）解：三个顶点分别为，，， 点A、B、C关于y轴对称的点为：，，， 如图，顺次连接可得． （2）解：如图，点B关于x轴的对称点为，连接，与x轴交于点P， 由对称可知，， 的周长为， 两点之间线段最短， 当点P为与x轴的交点时，的周长最短， 由图象知：点P坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $