精品解析：辽宁省大连市第八中学2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题

2026―2027学年度大连八中高三8月阶段测试 数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知命题，；命题不等式恒成立，那么命题（ ） A. 且是真命题 B. 或是假命题 C. 是真命题 D. 是假命题 3. 已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（ ） A. 0 B. -1 C. 2 D. 1 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设点在圆上，圆方程为，直线方程为.则（ ） A. 对任意实数和点，直线和圆有公共点 B. 对任意点，必存在实数，使得直线与圆相切 C. 对任意实数，必存在点，使得直线与圆相切 D. 对任意实数和点，圆和圆上到直线距离为1的点的个数相等 11. 已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式__________. ①是递增的等差数列；②. 13. 已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 14. 若函数有两个不同的零点，则的取值范围是_______． 四、解答题 15. 已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题： （1）化简的表达式并求的单调递增区间； （2）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）画出函数的大致图象，并说明理由； （3）求函数的零点的个数. 17. 如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． （1）当时，证明：平面； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 18. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了7局的概率； （2）若现在的比分是3比1甲领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望． 19. 记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026―2027学年度大连八中高三8月阶段测试 数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即，解得， 则，故. 2. 已知命题，；命题不等式恒成立，那么命题（ ） A. 且是真命题 B. 或是假命题 C. 是真命题 D. 是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】 判断出命题、的真假，然后利用复合命题的真假可判断各选项的正误. 【详解】对于命题，，即，命题为假命题； 对于命题，当时，，命题为假命题. 所以，且是假命题，或是假命题，是真命题. 故选：B. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键在于判断各简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题. 3. 已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可. 【详解】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限， 所以，，. 故选：A 4. 函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（ ） A. 0 B. -1 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由函数是R上的奇函数，可得函数的图像关于点对称，根据条件可得函数的图像关于对称，从而得出答案. 【详解】函数是R上的奇函数，则 设，则，则函数的图像关于点对称 函数图像与函数关于对称， 所以函数的图像关于对称，所以 故选：C 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，，再利用复数的除法运算求解. 【详解】∵， ∴，， ∴． 故选：D 6. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A：根据零点存在性定理分析判断；对于BCD：根据函数值的符号分析判断. 【详解】函数， 对于选项A：因为，， 所以在内存在零点，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故B错误； 对于选项C：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故C错误； 对于选项D：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故D错误； 故选：A. 7. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用已知条件求出，再联立椭圆方程结合即可求出. 【详解】，故点位于线段的中点，设，则， ，又，，化简得， 又M为椭圆上一点，，联立得，即， 此方程有解，则，化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 8. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A，B，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C，D. 【详解】对于A，，A错误; 对于B，，由于函数在上单调递增， 故，B正确； 对于C，， ，故，C正确； 对于D,函数在上是增函数，而， 所以，D不正确； 故选：BC 10. 设点在圆上，圆方程为，直线方程为.则（ ） A. 对任意实数和点，直线和圆有公共点 B. 对任意点，必存在实数，使得直线与圆相切 C. 对任意实数，必存在点，使得直线与圆相切 D. 对任意实数和点，圆和圆上到直线距离为1的点的个数相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系判断． 【详解】由题意，因此圆一定过原点，而直线总是过原点，A正确； 当圆方程为时，过原点且与圆相切的直线是轴，不存在，B错误； 对任意实数，作直线的平行线与圆相切，切点为，此时到直线的距离为1，即直线与圆相切，C正确； 易知对任意实数，圆上到直线距离为1的点有两个，作与直线平行且距离为1的两条直线和，（注意：和与圆恒相切）， 当直线过点时，直线和都与圆相切，两个切点到直线的距离为1， 当直线不过点时，直线和中一条与圆相交，一条相离，两个交点与直线距离为1，即只有2 个点，D正确． 故选：ACD． 11. 已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推式及，求得，即可判断A；分为奇数、为偶数，求出通项公式判断B，C；利用分组求和，求出，判断D． 【详解】解：因为，即， 所以，， 解得，故A正确； 由此可得，，，， …… 所以当为奇数时，为偶数，为奇数， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以， 所以，故B错误； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 则，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D， = =，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式__________. ①是递增的等差数列；②. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，列举满足，即可得到，即得解. 【详解】设等差数列的公差为，由①可知，取， 由，得，则， 所以数列的一个通项公式. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先明确且可看作由函数复合而成，分类讨论和，根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知且可看作由函数复合而成， 当时，为R上的增函数， 若函数且在区间上单调递减， 需满足在上单调递减，即； 当时，为R上的递减函数， 若函数且在区间上单调递减， 需满足在上单调递增，即，则， 故实数a的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 若函数有两个不同的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将问题转化成有两个不同的零点，通过构造函数，则有两个不等实根，令，利用导数分析的性质，即可求出的取值范围. 【详解】因为函数有两个不同的零点， 所以有两个不等实根， 即有两个不等实根， 所以有两个不等实根，， 即有两个不等实根， 令函数， 则即为有两个不等实根， 因为在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增， 所以，即， 令， 所以， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因此在的值域为；当 若有两个根，必有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题： （1）化简的表达式并求的单调递增区间； （2）已知，求的值. 【答案】（1），单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分别对①②进行化简得出函数解析式，再求函数的单调区间即可； （2）由（1）得出函数解析式，代入，再由三角恒等变换即可得. 【小问1详解】 解：若选择条件①； ， 由， 得， 所以的单调递增区间为， 若选择条件②，若，即是的最大值点，是的零点且的最小值为， 设的周期为T， 由此可得，即有， ∴ 由，可得，即有 可得或， 再结合，可得， 综上可得：， 【小问2详解】 解：， 可得， ∵， ∴， 从而可得，即有， ∵ ∴， 由， 可得， 故. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）画出函数的大致图象，并说明理由； （3）求函数的零点的个数. 【答案】（1）答案见解析；（2）图象见解析，理由见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由解析式得且定义域为R，根据的符号判断的单调性，进而确定其极值情况. （2）由函数解析式确定零点，判断区间函数值的符号及经过的特殊点，结合其图象的变化趋势画出大致图象. （3）将零点个数问题转化为与的交点个数，由（1）（2）所得函数性质及其图象，应用数形结合的思想，讨论a的范围判断零点个数. 【详解】（1）函数的定义域为R，且， 令得，则，的变化情况如下表示： x 0 单调递减 单调递增 ∴得单调递减区间是，单调递增区间是. 当，有极小值为，无极大值. （2）令有：当时，；当时，，且经过，，. 当，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而； 当时，，， 根据以上信息，画出大致图象： （3）函数的零点的个数为与的交点个数. 由（1）及（2）的图象，当时，有极小值. ∴关于函数的零点个数有如下结论： 当时，零点的个数为0个； 当或，零点的个数为1个； 当时，零点的个数为2个. 【点睛】关键点点睛： （1）利用导数研究函数单调性并确定其极值. （2）由函数解析式判断函数的性质，进而画出大致图象. （3）将问题转化为两个函数的交点个数，利用数形结合的方法，根据参数的范围判断零点的个数. 17. 如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． （1）当时，证明：平面； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则由题意得， ， 由，可得 证明：设平面的法向量为， 则，解得， 令，得. 因为， 所以 又平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，证明其数量积为0即可证明线面平行； （2）利用空间向量求空间角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设，， 则 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则， 化简得：， 解得， 所以. 18. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了7局的概率； （2）若现在的比分是3比1甲领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】 （1）利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了7局甲获胜和恰好打了7局乙获胜，再将概率相加，即可得答案； （2）记的可能取值为，利用二项分布求出分布列，即可得答案； 【详解】解：（1）恰好打了7局甲获胜的概率是， 恰好打了7局乙获胜的概率是， 故比赛结束时恰好打了7局的概率． （2）的可能取值为， ，， ，， 故的分布列为 2 3 4 5 则的数学期望． 【点睛】本题考查相互独立事件和二项分布的概率计算，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型. 19. 记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）项和转化可得，利用等差数列的通项公式即得解； （2）由，裂项相消求和即可 【小问1详解】 当时，相减得， 即，各项均为正数，所以， 故是以首项为1，公差以1的等差数列， 所以； 【小问2详解】 ，故， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $