26.4 实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二次函数”，核心内容包括运动高度、面积最值、利润最大化及拱桥模型等实际应用，通过跳水轨迹、围建菜园等生活情境导入，搭建从现实问题到二次函数模型的学习支架，衔接函数性质与实际求解的脉络。 其亮点在于以情境化问题培养数学眼光，引导学生从生活现象中抽象出二次函数模型，如通过利润问题分涨价降价讨论发展数学思维，用坐标计算和函数解析式表达问题体现数学语言。采用分步探究与实例验证，助力学生提升应用能力，也为教师提供清晰的教学路径与丰富案例。

26.4 实际问题与二次函数 人教版九年级数学上册 1.7.2013 大家好，今天我们来学习九年级数学上册第二十六章的重要内容——26.4 实际问题与二次函数。在这一章，我们将学习如何运用二次函数的知识来解决生活中的各种实际问题，感受数学的实用价值。 ‹#› 01 运动与面积最值 情境导入：生活中的“最” 问题一：跳水运动的“最高点” 运动员进行跳水动作时，身体腾空的轨迹近似为一条优美的抛物线。我们需要探究：在这一过程中，运动员在哪个时刻达到轨迹的最高点？这个最大高度具体是多少？ 🎯 数学本质：求二次函数的顶点纵坐标（最大值） 问题二：围建菜园的“最大面积” 现有一段长度固定的篱笆，利用一面墙作为天然边界来围建矩形菜园（墙作为矩形的一边，无需篱笆）。如何设计矩形的长与宽，才能让菜园的占地面积达到最大？这是生活中典型的资源利用最大化问题。 🎯 数学本质：构建二次函数模型求解面积极值 思考：上述问题虽场景不同，但都指向同一个数学核心——求“最大值”。二次函数的图像是一条抛物线，其顶点往往对应着函数的最值。那么，我们该如何将这些实际问题转化为二次函数模型，从而找到那个关键的“最”值点呢？ 1.7.2013 我们先来看两个生活中的场景。第一个是跳水运动，我们想知道运动员何时达到最高点，以及最高点的高度是多少。第二个是用篱笆围菜园，我们想知道如何设计才能让菜园的面积最大。这两个问题都涉及到求一个最大值，这正是二次函数的强项。今天，我们就来学习如何用二次函数解决这些问题。 ‹#› 新知探究1：运动高度模型 问题呈现 跳水高度与时间的关系：h = -4.9t² + 2.8t + 11（h：米，t：秒）。请根据此函数，求解运动员起跳后到达最高点的时间及此时的最大高度。 01 函数识别：二次函数模型 该式符合二次函数 y=ax²+bx+c 的形式，其中系数 a=-4.9，b=2.8，c=11。明确模型是解决最值问题的前提。 02 趋势判断：存在最大值 由于二次项系数 a=-4.9 < 0，抛物线开口向下，因此函数图像存在顶点，对应运动员跳水的最高点（最大值）。 03 计算时间：顶点横坐标公式 代入公式 t = -，得 t = -≈ 0.3 秒。这是运动员到达最高点的精确时间点。 04 计算高度：顶点纵坐标公式 代入公式 h = ，计算得出最大高度 h_max ≈ 11.4 米，即为最高点距水面的距离。 结论：运动员起跳后约 0.3 秒到达最高点，此时的最大高度为 11.4 米。 1.7.2013 我们来看第一个例题。题目给出了运动员高度h和时间t的函数关系式。首先，我们认出这是一个二次函数，并且二次项系数a是负数，说明抛物线开口向下，存在最大值。我们利用顶点坐标公式，先求出达到最高点的时间t，大约是0.3秒。然后再代入公式求出此时的最大高度h，为11.4米。这样，我们就解决了这个运动最值问题。 ‹#› 新知探究2：矩形面积模型 (课本例2) 📝 问题提出：现有20m长的篱笆，利用一面墙围成一个矩形菜园。如何设计矩形的长和宽，才能使菜园的面积达到最大？最大面积是多少平方米？ 01 合理设元，转化变量 设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (20 - 2x) m。将实际的几何边长关系转化为代数变量表示。 02 建立模型，构建函数 面积 S = 长 × 宽 = x(20 - 2x)，整理得二次函数：S = -2x² + 20x。将面积最值问题转化为二次函数求最值问题。 03 结合实际，确定范围 边长必须为正数，故 x > 0 且 20 - 2x > 0，解得定义域为：0 < x < 10，确保解的实际意义。 04 求解顶点，得出最值 二次项系数 -2 < 0，函数开口向下，顶点处取最大值。计算得 x = 5 时，最大面积S_max = 50 m²。 💡 结论：当垂直于墙的边长为 5m，平行于墙的边长为 10m 时，菜园面积最大，最大面积为 50 平方米。 1.7.2013 接下来是面积问题。我们用20米长的篱笆靠墙围一个矩形。我们设垂直墙的边长为x，那么平行墙的边长就是20-2x。面积S就是两者的乘积，整理后得到一个二次函数。因为二次项系数是负的，所以有最大值。我们求出顶点坐标，当x等于5时，面积S最大，为50平方米。这就是最优设计方案。 ‹#› 难点突破：自变量的取值范围 01 场景约束与范围推导 若墙长限制为 8m，则平行于墙的边长 (20-2x) ≤ 8，解得 x ≥ 6。结合原定义域 0 < x < 10，最终有效范围为：6 ≤ x < 10 02 函数单调性分析 函数 S = -2x² + 20x 的对称轴为 x=5，图像开口向下。由于有效区间 [6, 10) 位于对称轴右侧，因此在该区间内，面积 S 随 x 的增大而单调递减。 03 最值求解与验证 因函数单调递减，x 取最小值时 S 最大。当 x=6 时： 平行墙边长 = 20 - 2×6 = 8m 最大面积 S = 6 × 8 =48 m² 核心原则：定义域优先！ 求解实际问题的最值时，必须先结合物理意义确定自变量的实际取值范围，再在该范围内寻找最值，而不是直接套用顶点坐标公式。 1.7.2013 现在我们增加一个难度。如果墙的长度有限，只有8米，结果会如何？这意味着平行墙的边长不能超过8米，由此我们得到了一个新的自变量x的取值范围，是大于等于6。而我们之前求出的对称轴x=5，并不在这个范围内。因为抛物线开口向下，在对称轴右侧，函数是单调递减的。所以，在x的取值范围[6, 10)内，x越小，面积S越大。因此，当x取最小值6时，面积最大，为48平方米。这个例子告诉我们，解决实际问题时，一定要先确定自变量的取值范围。 ‹#› 02 利润最大化问题 我们将运用二次函数的核心性质，解决商业决策中的经典问题——如何通过调整商品定价，平衡销量与单价的关系，从而实现销售利润的最大化。 📝 基于市场反馈的定价模型分析 01 基础数据锚点 当前售价 60元/件，周销 300件，进价 40元/件。 利润的核心计算公式： 利润 = (单价 - 成本) × 销量，这是构建函数的根本依据 02 涨价场景建模 规则：每涨价 1 元，周销量减少 10 件。设定涨价 x 元，则：新单价 = 60 + x，新销量 = 300 - 10x约束条件：销量 ≥ 0 且单价 > 成本，即0 ≤ x ≤ 30。 03 降价场景建模 规则：每降价 1 元，周销量增加 20 件。设定降价 x 元，则：新单价 = 60 - x，新销量 = 300 + 20x约束条件：单价 ≥ 成本，即0 ≤ x ≤ 20。 💡 解题思路：分别构建“涨价”与“降价”两种情境下的二次利润函数，结合自变量的取值范围求出各自的最大值，最后通过比较确定全局最优定价方案。 1.7.2013 好的，我们开始第二课时的学习。上节课我们强调了自变量取值范围的重要性。今天，我们将用这个知识来解决一个非常实际的经济问题——如何定价才能让利润最大。题目给出了商品的售价、销量、进价，以及涨价和降价带来的销量变化。我们需要分情况讨论，找到最优定价。 ‹#› 探究新知：利润模型 (涨价) 01 设定变量 设每件商品涨价 x 元（x 为整数）。将实际的经济问题转化为数学变量问题，以涨价金额为核心变量，是构建利润模型的第一步。 02 拆解数量关系 • 单件利润：成本40元，售价(60+x)元，故利润为 ( 20+x ) 元 • 销售量：每涨1元少卖10件，故销量为 ( 300-10x ) 件 • 范围约束：( 0 ≤x ≤ 30 )（保证销量非负） 03 构建二次函数 总利润 = 单件利润 × 销售量 代入得：y = (20+x)(300-10x) 整理为一般式：y = -10 + 100x + 6000 （开口向下） 04 计算最优解 对称轴：x = -= 5 （在有效范围内） 当 x=5 时，最大利润6250元 此时售价为：60+5 = 65 元/件（即最优定价） 1.7.2013 我们先来分析涨价的情况。设涨价x元，那么单件利润就变成了(20+x)元，销售量会减少到(300-10x)件。总利润y就是这两者的乘积，整理后得到一个二次函数。我们求出对称轴x=5，这个值在我们确定的取值范围内。所以，当x=5时，利润最大，为6250元，此时售价为65元。 ‹#› 探究新知：利润模型 (降价) 01 设定变量与范围 设每件商品降价x元（x 为整数）。 结合成本与售价限制，自变量范围：0 ≤ x ≤ 20（保证单件利润非负）。 02 拆解核心数量关系 • 单件利润：(60 - x) - 40 =20 - x(元) • 销售总量：因降价促销增加销量，变为300 + 20x(件) 03 构建利润函数模型 总利润 y = 单件利润 × 销售量 →y = (20 - x)(300 + 20x) 展开化简为标准二次函数：y = -20x² + 100x + 6000（二次项系数为负，抛物线开口向下，存在最大值）。 04 求解最优方案 对称轴 x = 2.5，因 x 为整数，取 x=2 或 x=3 验证： 计算得y(2)=y(3)=6120 元，即降价2元或3元时利润相同。 最终决策：涨价方案更优 对比涨价时的最大利润（6250元），降价方案的利润（6120元）略低。 因此，涨价5元，定价65元时，可获得最大利润6250元。 1.7.2013 接下来分析降价的情况。设降价x元，单件利润变为(20-x)元，销售量增加到(300+20x)件。同样，总利润y是它们的乘积。求出对称轴x=2.5，但x必须是整数，所以我们需要检验x=2和x=3时的利润，发现都是6120元。对比涨价时的最大利润6250元，我们得出结论：涨价5元，定价65元时，利润最大。 ‹#› 新知探究：拱桥模型 (课本探究2) 📝 问题呈现 一座拱桥的桥洞呈标准的抛物线形。当水面宽为 10m 时，桥洞顶部距离水面 4m。 现水面上升 1m，请问此时水面的宽度变为多少米？ 💡 思路：建立直角坐标系，利用二次函数模型求解。 01 建立恰当的直角坐标系 以桥洞顶点为原点，对称轴为 y 轴建立坐标系。此时抛物线解析式可设为最简形式y = ax²，极大简化后续计算过程。 02 锁定抛物线上的关键坐标点 水面宽 10m → 交点横坐标为 ±5；顶点距水面 4m → 交点纵坐标为 -4。因此，抛物线上的核心点为(5, -4)，这是代入求解的关键依据。 03 代入求解，确定函数解析式 将点 (5, -4) 代入 y=ax²，得：-4 = a×5²，解得 a = -。最终确定抛物线的函数解析式为：y = - x²。 1.7.2013 我们来看课本上的拱桥问题。解决这类问题的第一步，也是最关键的一步，是建立合适的直角坐标系。为了简化计算，我们通常以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴。这样，函数解析式就可以设为最简单的y=ax²形式。根据题目，水面宽10米，顶点离水面4米，我们可以确定抛物线上一个点的坐标是(5, -4)。将这个点代入解析式，就能求出a的值，从而确定函数表达式。 ‹#› 新知探究：拱桥模型 (续) 04 解决实际问题：代入求值 水面上升1m后，新水面高度为 y = -4 + 1 = -3 。将 y = -3 代入解析式 y = - ，得： x=即水面与拱桥交点的横坐标为 (,0 )。 05 得出结论：计算宽度 利用抛物线的轴对称性，水面宽度为两点横坐标之差： 宽度 = 米（约8.66米）。答：水面上升1m后，水面宽度为 米。 1.7.2013 解析式确定后，问题就迎刃而解了。水面上升1米，对应的y值就是-3。我们把y=-3代入解析式，解出对应的x值。因为抛物线是对称的，所以水面宽度就是两个x值的差，也就是2倍的x。最终我们算出宽度是5倍根号3米。总结一下，解决这类问题的步骤是：建立坐标系，设解析式，代入已知点求参数，最后代入要求解的条件得出答案。 ‹#› 课堂巩固 01 投篮问题 运动员在距篮筐水平距离4m处起跳，球的运动轨迹为抛物线。已知篮筐高3.05m，球的最高点为3.5m（距篮筐水平2m处）。请判断此球能否准确投中篮筐？ 解题核心思路：建立平面直角坐标系，利用顶点式求出抛物线解析式，再将篮筐坐标(4, 3.05)代入方程进行验证。 解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系由题意可知，点C的坐标为(0，3.5)，点B的坐标为(1.5，3.05)，设函数解析式为 y=a+3.5,代入B (1.5, 3.05)得,2.25a+3.5=3.05解得，a=-0.2,， 因此函数解析式为： y=-0.2 +3.5,当x=-2.5时， y=-0.2×（-2.52）+3.5=-1.25+3.5=2.25;所以，球出手时离地面2.25米时才能投中. 1.7.2013 我们再来练习两道题。第一题是投篮问题，需要我们建立坐标系，求出抛物线方程，然后验证篮筐的坐标是否在这条抛物线上。第二题是货车过桥问题，我们需要计算在货车宽度处，隧道的高度是否足够。请大家动手尝试一下。 ‹#› 课堂巩固 02 投篮问题：在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 的一部分 (如图)，若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l. 解：由 y=-15 +3.85=3.05,解得 =-2,=2.由图可知篮筐在右侧，取x=2. 运动员到篮筐正下方的距离: l=3.2+2=5.2m 1.7.2013 我们再来练习两道题。第一题是投篮问题，需要我们建立坐标系，求出抛物线方程，然后验证篮筐的坐标是否在这条抛物线上。第二题是货车过桥问题，我们需要计算在货车宽度处，隧道的高度是否足够。请大家动手尝试一下。 ‹#› 课堂巩固 03 拱桥问题： 对于探究2，在突降暴雨致水位上升1m 后，有一艘装满物资的小船准备从桥下通过.这艘小船宽4m，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高2m.这艘小船能从这座拱桥下通过吗? 解：水位上升后，抛物线方程仍为 y=-425x2, 新水面为y=-3.小船宽4m, 即x=±2,.计算此处拱桥高度： y=-425×22=-1625=-0.64.从新水面(y=-3) 到拱桥的高度为:-0.64-(-3)=2.36m,因为2.36>2，所以小船能通过. 1.7.2013 我们再来练习两道题。第一题是投篮问题，需要我们建立坐标系，求出抛物线方程，然后验证篮筐的坐标是否在这条抛物线上。第二题是货车过桥问题，我们需要计算在货车宽度处，隧道的高度是否足够。请大家动手尝试一下。 ‹#› 课堂总结： 本章知识梳理 运动与面积最值 核心是建立二次函数模型，利用顶点公式求最值，需重点关注自变量的实际取值范围，避免理论解与实际场景冲突。 利润最大化模型 紧扣“总利润=单件利润×销量”公式，结合市场变化分类讨论涨价与降价策略，通过函数单调性推导最优定价方案。 抛物线几何应用 建立平面直角坐标系，将几何图形的位置、距离等问题转化为二次函数的代数求解，实现“以数解形”的思想。 1.7.2013 现在我们对全章内容进行一个总结。我们学习了三类二次函数的实际应用：运动面积最值、利润问题和抛物线几何模型。虽然场景不同，但核心思想都是建立数学模型，然后利用二次函数的性质来解决问题。通过本章的学习，我们着重培养了数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理这几大核心素养。 ‹#› 感谢观看 1.7.2013 本章的学习到此结束，感谢大家的聆听！希望同学们能够将所学知识应用到实际生活中，真正体会到数学的魅力。 ‹#› $