26.4　实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的最值问题，核心内容为最大高度与最大面积。课堂导入通过“知识关联”环节，让学生写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值，复习旧知搭建学习支架，为实际问题应用铺垫。 其亮点是以“探究-应用-拓展”为主线，结合跳水最大高度、矩形菜园面积等实例，培养数学眼光、数学思维和数学语言。小结结构化梳理方法，学生提升应用意识与建模能力，教师可高效实施教学。

第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第2课时　二次函数的最值——最大利润问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题2: 用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少.  知识关联 问题1: 请求出下列二次函数的最大值或最小值: (1)y=2x2-4x-5;　 (2)y=-x2+3x. 提示：可用两种不同的方法进行解答 答案：（1）最小值 -7；（2）最大值 解：设矩形的一边长为xm，面积为ym2, 由题意，得y=x(10-x) =-x2+10x =-(x-5)2+25 ∵a=-1<0，∴x=5时，y=25. 答：围成的矩形的最大面积是25m2 【探究】 利润最大问题 【操作尝试】 探究与应用 问题 : 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映,若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少? 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况． ①那么该如何定价呢?②问题中的变量是什么? 【尝试交流】 探究与应用 【探究】 利润最大问题 进价 售价（元） 销售数量（件） 利润（元） 40 60 300 （60-40）×300 60+1 300- 60+x 300- 60-1 300+ 60-x 300+ 10 10x 20 20x (60+1-40) ×(300-10) (60+x-40) ×(300-10x) (60-1-40) ×(300+20) 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映,若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元 (60-x-40) ×(300+20x) 助力教学 (authorId_373264932) - 师生共同分析以下问题:①销售额为多少2.成本为多少?3.利润y与每件涨价x元之间的函数解析式是什么?4.变量x的取值范围如何确定?5.如何求解最值?　 探究与应用 【探究】 利润最大问题 解：设每件涨价x元，利润为y元. 根据题意，得 y=(60+x-40)(300-10x)=-10x2+100x+6000 (0≤x≤30,x为整数). ∵a=-10<0，∴函数有最大值. 当x=5时，y有最大值为6250. 探究与应用 【探究】 利润最大问题 解：设每件降价x元，利润为y元. 根据题意，得 y=(60-x-40)(300+20x)=-20x2+100x+6000 (0≤x≤20). ∵a=-20<0，∴函数有最大值. 当x=2.5时，y有最大值为6125元. 总结：当定价为每件65元时，利润最大，最大利润为6250. 【探究】利润最大问题 探究与应用 【概括新知】 用二次函数解决最大利润问题的一般步骤： ①确定自变量和函数; ②利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式; ③确定自变量的取值范围; ④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润. 【理解应用】 探究与应用 例1 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 【理解应用】 探究与应用 因此，当旅馆将每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19440元. 解：设每间客房的日租金增加10x元，客房日租金总收入为y元，则客房每天的出租数会减少6x间. 根据题意，得 y = (160+10x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440. ∵x≥0，且120-6x>0，∴0≤x< 20. 当x=2时，y最大= 19 440. 这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元). 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例2 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个。经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售价x(元/个)有如下关系 : y=-x+60(30≤x≤60,且x为整数). 设这种双肩包每天的销售利润为w元. 解 : w=(x-30)·y=(x-30)·(-x+60)=-x2+90x-1800 (30≤x≤60,且x为整数). (1)求w与x之间的函数关系式; 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 答 : 这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元. (2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大? 最大利润是多少元? 解 : w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225. 所以当x=45时,w有最大值,最大值为225. 【小结】 课堂小结与检测 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降价:要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用公式求最大值或利用函数简图和性质求出最大值. 【检测】 B 课堂小结与检测 1 . 童装专卖店销售一种品牌的童装，已知这种童装每天的销售利 润y(元)与销售价x(元/件)满足函数解析式y=-x2+50x-500，要想 每天获得最大利润，销售价应定为 ( ) A. 20元/件　 B. 25元/件　 C. 30元/件　D. 40元/件 【 检测】 课堂小结与检测 2 . 服装店将每件进价为100元的服装按每件x元的价格出售，每 天可销售(200-x)件。若想每天获得最大利润，则x应定为 ( ) A.150 B.160 C.170 D.180 A 【 检测】 课堂小结与检测 3 . 将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为______元，每日的销售量为_______件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y=___________(不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价___元时，每日获得的最大利润为____元． (30-x) (20+x) -x2+10x+600 5 625 【 检测】 课堂小结与检测 3 . 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次。第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件，每件可获利润12元。产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天的产量减少4件。如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润? 【 检测】 课堂小结与检测 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则 w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352. 当x=8时，w有最大值。 答：它生产第8档次的产品，可获得最大利润。 $第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第1课时　二次函数的最值—— 最大高度与最大面积问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4. 解：（1）开口方向：向上；对称轴：直线x=2； 顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；无最大值 （2）开口方向：向下；对称轴：直线x= ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： ；无最小值. 【探究1】 最大高度 【操作尝试】 探究与应用 问题 : 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起 跳后的时间t(单位:s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经 过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少? (结果保留小数点后一位) 分析 : 运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题 转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次 函数取最大值时自变量的取值问题. 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m. 解：对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11，当t=- =- 时， h有最大值 思考：函数图象能直观地反映运动员跳水过程中重心高度的变化， 你能利用函数图象解决上面的问题吗? ≈0.3 【尝试交流】 探究与应用 【探究1】 最大高度 问题1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定. 【探究1】最大高度 探究与应用 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值. 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？ 当a＞0时，有 ，此时 . 当a＜0时，有 ，此时 . 问题3 当自变量x有限制时，二次函数 最值如何确定？ 助力教学 (authorId_373264932) - 最后让学生自行举例说明 再次强调 【理解应用】 探究与应用 例1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 答：小球的运动时间是3 s时，小球最高. 小球运动中的最大高度是45 m. 解：当 时, h有最大值 【探究2】最大面积 【思考交流】 探究与应用 分析： (1)确定解题的步骤：先表示矩形的相邻的两边长，再 利用面积公式列解析式，最后求最值. (2)写出解答过程: 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园。 如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为 (20-2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x), S有最大值 即 S=-2x2+20x (0<x<10). 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形菜园的面积最大,最大面积为50 m2. 【探究2】最大面积 【概括新知】 探究与应用 解决此类问题的基本思路是： (1)表示与面积相关的量; (2)利用面积公式列函数解析式，并进行整理; (3)确定自变量的取值范围; (4)利用公式求出最值. 【理解应用】 探究与应用 例2 用总长l(单位:m)的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面积S(单位:m2)随矩形场地一边长a(单位:m)的变化而变化。当a是多少米时，场地的面积S最大？最大面积是多少？此时的场地是什么形状？ 分析：(1)用含a的代数式表示出矩形的另一边长度; (2)利用矩形的面积公式列出函数解析式. 解：根据题意列出函数解析式为S=-a2+ la 当a= l 米时，场地的面积S最大，最大面积是 l2 平方米. 此时场地为正方形. 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例3 . 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC也向点C以1 cm/s的速度运动，点P、Q同时出发。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。当运动时间为多少时，△PBQ的面积最大? 解：设运动时间为t s．根据题意，得 ∵-1<0，∴当t＝2时，△PBQ的面积最大，为4 cm2. 【小结】 课堂小结与检测 二次函数的最值问题 最大高度 最大面积 建立函数解析式 当a＜0时，函数有最大值 当 时，y= 依 据 常见几何图形的 面积公式 【检测】 课堂小结与检测 1.用52 cm的铁丝弯成一个矩形，设矩形的一边长为x cm，则与其相邻的一边长为_____ cm，矩形的面积S(cm2)关于x(cm)的函数关系式是S＝_______，自变量x的取值范围为_______．当x＝____时，该矩形的面积最大，为____ cm2. (26-x) -x2+26x 0<x<26 13 169 【 检测】 课堂小结与检测 2 . 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的函数关系是h=-5t2+20t，当小球达到最高点时，飞行时间t为　 s.  　2 【 检测】 课堂小结与检测 3. 利用一面墙(墙长30 m)，用80 m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD， 求该矩形场地的最大面积． 解：设矩形场地的面积为S m2，平行于墙的边长为x m，则垂直于墙的 一边长为 (80-x)m. 由题意，得S= x·(80-x)=- x2-40x (0<x≤30). ∴当所围成的矩形场地的长为30 m,宽为25 m时,其面积最大,最大面积为750 m2. 二次函数开口向下，对称轴为 x=40. ∵0<x≤30，当x<40时，S随x的增大而增大, ∴当x=30时，S取得最大值. 最大值为- ×302+40×30=750. 此时 (80-x)=25. $第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数 第3课时　建立适当坐标系解决生活中抛物线型问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 向右平移h(h>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 知识关联 问题1: 二次函数解析式常见的形式有哪几种？说明其特征. 问题2: 对二次函数y=ax2+bx+c的图象进行平移时: 向上平移k(k>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 向下平移k(k>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 向左平移h(h>0)个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么? 一般式、顶点式、交点式 【探究1】 解决拱桥问题 【操作尝试】 探究与应用 问题 : 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m。突降暴雨后水面上升1 m，此时水面宽为多少 助力教学 (authorId_373264932) - 提示： 根据问题中的图形为抛物线,可知本题应该运用二次函数的知识进行解答. 【尝试交流】 探究与应用 　 【探究1】 解决拱桥问题 　分析： 建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件 求出这个抛物线对应的二次函数; 探究与应用 【探究1】 解决拱桥问题 根据图象的特殊性,设抛物线的函数解析式为y=ax2. 解:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图. ∴抛物线的函数解析式为y=- x2. 由抛物线经过点D(5,-4),可得4=a×52，a= , ∴AB= 米，则水面宽 米. 把y=-3代入函数解析式,得x=± , 【尝试交流】 探究与应用 【探究1】 解决拱桥问题 思考：这样建立坐标系后，这条抛物线表示的二次函数是y=ax2的形式，能否建立其它的坐标系解决问题吗？请您试着做一做， 比较:建立的平面直角坐标系不相同,计算结果是否一致. 探究与应用 【探究1】 解决拱桥问题 解法二: 如图，设AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，抛物线的顶点坐标为(0,3)。 通过以上条件可设解析式为顶点式y=ax2+3. 将点D的坐标(5,-1)代入解析式，得-1=a×52+3，a= , ∴抛物线的函数解析式为y= x2+3. 把y=0代入上式，得x=± , ∴AB= 米，则水面宽 米. 探究与应用 【探究2】 解决运动轨迹类问题 问题: 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 探究与应用 【探究2】 解决运动轨迹类问题 解：解:如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是(1.5,3.05)，篮球在最大高度时的位置为B(0,3.5). 以点C表示运动员投篮球的出手处. 解得 a=－0.2， k=3.5， 设抛物线的表达式为 y=ax2+k ，则 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 . 故篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m. x y O A B C +k=3.05， k=3.5， a×1.52 探究与应用 【概括新知】 建立坐标系解决实际问题“三步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系; ②根据题意找出题目中的点的坐标; ③求出抛物线的函数解析式; ④直接利用图象解决实际问题. 【探究2】 解决运动轨迹类问题 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，某隧道横截面的轮廓线由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系. (3)一辆货车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆 货车能否安全通过该隧道? (1)直接写出点M、N及抛物线顶点P的坐标; (2)求出这条抛物线的函数解析式; M(12,0)、N(0,3) y=-12x2+x+3. 这辆货车能安全通过该隧道 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例2 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25 m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25 m。如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少才能使喷出的水流不落到池外? 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 解：建立如图所示的坐标系. 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)， 顶点B坐标为(1，2.25). 设抛物线的函数解析式为：y=a (x-1)2+2.25. 将A(0,1.25)代入，得a=-1, ∴ y=-(x-1)2+2.25. ∴ 水池的半径至少为2.5 m才能使喷出的水流不落到池外. 令y=0，得-(x-1)2+2.25=0, 解得x1=2.5，x2=-0.5(不符合题意,舍去). 【小结】 课堂小结与检测 建立适当坐标系解决生活中抛物线型问题 解决拱桥、隧道等实物类问题 解决运动轨道类问题 【检测】 课堂小结与检测 1. 河北省赵县的赵州桥的桥拱为抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其抛物线的关系式为y=- x2，当水面离桥拱拱顶的高度DO是4 m时，水面宽度AB为 ( ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m C 【 检测】 课堂小结与检测 2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米. x y O 2 【 检测】 课堂小结与检测 6.9 3 . 某工厂的大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯，两盏壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示，则大门的高约为　 m　(水泥建筑物厚度不计，结果精确到0.1 m).  【 检测】 课堂小结与检测 4 . 足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系式为h=-4.9t2+19.6t，则球在　 　s后落地. 4 【 检测】 课堂小结与检测 5 . 城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形，喷出水流的高度y(m)与喷出水流距喷嘴的水平距离x(m)之间满足函数解析式y=- x2+2x. 答案 : (1)2 m　(2)4 m (1)求喷嘴喷出的水流的最大高度是多少; (2)求喷嘴喷出的水流的最远距离是多少. $