2.2 有理数的加减运算(4) 同步练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 该同步练以“三级达标”分层设计，通过基础巩固、能力提升到综合拓展的梯度路径，强化绝对值概念理解与运算应用，培养抽象能力、运算能力及几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|绝对值定义、性质、简单运算与方程|以填空、选择为主，如比较大小、数轴距离计算，夯实基础考点| |B级能力提升|多绝对值化简、分类讨论、几何意义|含整点问题、多绝对值和最值，如“|a+5|+|a-3|=8的整数解”，发展推理意识| |C级综合拓展|数轴动点、距离与中点综合应用|结合运动情境，如“点P、Q运动中PQ=2”，体现模型意识与空间观念|

第二章 有理数及其运算 第二节 有理数的加减运算(4) 今日复习 1.(1)绝对值的代数定义：①一个正数的绝对值是 ；②一个负数的绝对值是 ；③0的绝对值是 . (2)绝对值的定义可用字母表示为：①如果a>0,那么|a|= ;②如果a<0,那么|a|= ;③如果a=0,那么|a|= . 2.绝对值的性质： (1)任何一个有理数的绝对值都是 数，也就是说绝对值具有非负性.所以，a取任何有理数，都有|a| 0. (2)若|x|=a(a>0),则x= . (3)若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0.即若|a|+|b|=0,则a= 且b= .(非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0) 名师点拨 1.比较两个有理数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数. 2.解简单的含绝对值的方程：形如|x-a|=m(m≥0)的方程的解法，去掉绝对值符号，“=”右边要加“±”. 3.求数轴上两点间的距离：数轴上两点间的距离等于这两点对应有理数差的绝对值.如 数轴上的动点 x 到n个动点a₁，a₂，…，an的距离之和可表示为 .若n为奇数，则当x与最中间点重合时，距离之和最小；若n为偶数，则当x在最中间两点之间(包括端点)时，距离之和最小. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(1)(2026·编写)比较大小: -|-1.35|.(填“<”“>”或“=”) (2)(2024·岳阳)计算:|3-π|-|4-π|= . 2.(1)(2026·编写)如图,在数轴上,A,B两点表示的数分别为-4，3，则线段 AB的长为 . (2)(2026·编写)若|x+1|=4,则x的值为 . 3.(1)(2025·成华)在数轴上,点 A 表示的数是3+x,点 B 表示的数是2-x,且A,B 两点的距离为8,则x= . (2)(2025·简阳)有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简|a|+|a+b|-|a-b|的结果是 . 4.(1)(2026·编写)若( 则b-a的值为 . (2)(2024·浦东)若|2x-5|=|-1|,则x= . 5.(2025·锦江)已知数轴上的A,B,C三点分别表示有理数a,1,-1,那么|a+1|表示 ( ) A. A，B两点间的距离 B. A，C两点间的距离 C. A，B两点到原点的距离之和 D. A，C两点到原点的距离之和 6.(2026·编写)若2<a<4,则|2-a|+|4-a|等于 ( ) A.2 B.-2 C.2a-6 D.6-2a 7.(2026·编写)已知|x-a|=1,|y-a|=2,则|x-y|的值为 ( ) A.2 B.3 C.1或3 D.2或3 8.(2026·编写)式子|x-1|-3取最小值时，x等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.(1)(2026·编写)如图,计算:|-3-a|-|b+1|-(a-b). (2)(2024·利川)若2<x<3,化简:|2-x|+|x-3|. (3)(2026·编写)已知|x+2|与|y-5|互为相反数，求2|x-y|的值. 10.(1)(2026·编写)在数轴上,点 A 表示的数是2+x，点 B表示的数是8-x，且A，B两点的距离为10，求x的值. (2)(2026·编写)已知|m|=3,|n|=5,且m>n,求2m+n的值. (3)(2024·渝中)若|a-1|=4,|-b|=|-7|,|a+b|≠a+b,求a-b的值. B级能力提升 11.(1)(2025·成华)若2<x<5,则|x-2|+|5-x|= . (2)(2024·锦江)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则|a+b|-|b-c|+|c-a|的化简结果为 . 12.(1)(2026·编写)适合|a+5|+|a-3|=8的整数a的值有 个. (2)(2026·编写)若|2x|=x+1,则x= 13.(1)(2025·锦江)数轴上表示整数的点称为整点.数轴上点 M 表示的数为a，点 N表示的数为8-a，其中a为负整数.若在线段 MN上有201个整点(包括M点和 N点),则代数式|x+a|+|x-a|的最小值为 . (2)(2025·成华)若|x-5|=5-x,则x的取值范围是 . 14.(2026·编写)我们知道,|3-1|可理解为3 与1 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请完成下列各题： (1)若|x-2|=3,则x= ; (2)求|x-1|+|x+2|+|x+5|的最小值. C级综合拓展 15.(2025·东部新区)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点 A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=|a-b|,线段 AB的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点 A 表示的数为6,点 B 表示的数为-4,点 P 从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点 Q从点 B 出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动.设运动时间为t秒(t>0). 【综合运用】 (1)填空:A,B两点间的距离 AB= ,线段AB的中点C 表示的数为 . (2)求当t为何值时,PQ=2. (3)若点 M 为PA 的中点,点 N 为PB 的中点，点 P 在运动过程中，线段 MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段 MN的长. 【今日复习】 1.(1)它本身 它的相反数 0 (2)a -a 0 2.(1)非负 ≥ (2)±a (3)0 0 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.(1)> (2)2π-7 2.(1)7 (2)3或-5 3.(1)3.5或-4.5 (2)a 4.(1)-5 (2)3或2 5. B 6. A 7. C 8. A 9.(1)【解】由数轴可知,-1<a<0,b>1, ∴-3<-3-a<-2,b+1>0, ∴|-3-a|-|b+1|-(a-b) =(3+a)-(b+1)-a+b =3+a-b-1-a+b =2. (2)【解】∵2<x<3, ∴2-x<0,x-3<0, ∴|2-x|+|x-3|=x-2+3-x=1. (3)【解】∵|x+2|与|y-5|互为相反数, ∴|x+2|+|y-5|=0. 又∵|x+2|≥0,|y-5|≥0, ∴x+2=0,y-5=0, 解得x=-2,y=5. ∴2|x-y|=2×|-2-5|=2×7=14. 10.(1)【解】∵点A表示的数是2+x,点 B 表示的数是8-x,且A,B两点的距离为10, ∴|2+x-(8-x)|=10, ∴2x-6=±10, 解得x=8或x=-2. (2)【解】∵|m|=3,|n|=5, ∴m=±3,n=±5. ∵m>n, ∴m=±3,n=-5. 当m=3,n=-5时,2m+n=6-5=1; 当m=-3,n=-5时,2m+n=-6-5=-11. 综上所述,2m+n的值为1或-11. (3)【解】∵|a-1|=4, ∴a-1=4或a-1=-4, 解得a=5或a=-3. ∵|-b|=|-7|, ∴|-b|=7, ∴b=±7. 当a=5,b=7时,|a+b|=|5+7|=|12|=12,a+b=5+7=12,不符合题意; 当a=5,b=-7时,|a+b|=|5-7|=|-2|=2,a+b=5-7=-2,即|a+b|≠a+b,符合题意,则a-b=5-(-7)=12; 当a=-3,b=7时,|a+b|=|-3+7|=|4|=4,a+b=-3+7=4,不符合题意; 当a=-3,b=-7时,|a+b|=|-3-7|=|-10|=10,a+b=-3-7=-10,即|a+b|≠a+b,符合题意,则a-b=(-3)-(-7)=4. 综上所述，a-b的值为12或4. B级(能力提升) 11.(1)3 (2)-2c 12.(1)9(2)1或 13.(1)192 (2)x≤5 14.【解】(1)|x-2|=3表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3， ∴2+3=5或2-3=-1, 即x为-1或5.故答案为-1或5. (2)|x-1|+|x+2|+|x+5|表示x到1,-2,-5的距离之和， ∴当x=-2时,|x-1|+|x+2|+|x+5|的值最小， ∴|-2-1|+|-2+2|+|-2+5|=3+0+3=6,即|x-1|+|x+2|+|x+5|的最小值为6. C级(综合拓展) 15.【解】(1)由题意,得AB=|-4-6|=10,线段AB的中点C为 故答案为10,1. (2)∵t秒后,点 P 表示的数为6-3t,点Q表示的数为-4+t, ∴PQ=|(6-3t)-(-4+t)|=|10-4t|. 又∵PQ=2,∴|10-4t|=2, 解得t=2或3. (3)不发生变化.理由如下： ∵点M为PA 的中点,点 N为PB 的中点, ∴点 M表示的数为 点 N表示的数为 学科网（北京）股份有限公司 $