2.4 一元二次方程的应用(1) 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进式设计，通过三级达标体系实现从基础应用到综合探究的知识巩固，培养几何直观、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|单一图形面积（矩形、正方形）、简单周长与面积关系|基础题占比62.5%，聚焦直接列方程，如矩形镶边、剪正方形制纸盒等情境| |B级能力提升|复杂图形（含多通道、隔栏）、实际限制条件（墙长、篱笆长度）|提升题占25%，引入阴影道路、中间隔栏等变式，强化方程建立与解的取舍| |C级综合拓展|多变量情境（含小门、面积最值）、跨知识整合（二次函数性质）|拓展题占12.5%，设计多小门围栏、面积能否达最值探究，发展批判性思维与创新意识|

第二章 一元二次方程 第四节 一元二次方程的应用(1) 今日复习 1.图形中的面积处理方法：平移集中法(如图). 2.图形的周长、面积问题：常借助勾股定理表示线段长度，再根据图形分析建立方程. 3名师点拨 1.与图形有关的列方程问题，一是通过画图分析寻找等量关系，二是找出未知量应满足的等量关系. 2.图形中有动点时，常构造直角三角形，用勾股定理建立方程. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(2026·编写)在一幅长为 70 cm、宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 4800 cm²，设金色纸边的宽为 xcm，那么x满足的方程是 . 2.(2026·编写)如图,长方形ABCD的周长是10cm，分别以AB，AD为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH.若正方形ABEF 和正方形 ADGH 的面积和为17 cm²,则长方形ABCD的面积是 . 3.(2026·编写)现要在一个长为40m、宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为864 m²，那么小道的宽度应是 . 4.(2022·青羊)如图，李大爷要建一个矩形羊圈.羊圈的一边利用长为12 米的住房墙，另外三边是用25 米长的彩钢围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为 米时，羊圈面积为 80平方米. 5.(2026·编写)如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是 18 cm² 的一个无盖长方体纸盒.设剪去的正方形的边长为 xcm，那么x满足的方程是 ( ) B.(8-2x)(5-2x)=18 C.40-2(8x+5x)=18 D.(8-2x)(5-2x)=9 6.(2023·天府新区)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少?设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是 ( ) B. C. D. 7.(2026·编写)将一块长方形桌布铺在长为3m、宽为2m 的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度.设桌布下垂的长度为 xm，则所列方程是 ( ) A.(2x+3)(2x+2)=2×3×2 B.2(x+3)(x+2)=3×2 C.(x+3)(x+2)=2×3×2 D.2(2x+3)(2x+2)=3×2 8.(2026·编写)如图,在长为30 m,宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m²，求道路的宽度.设道路的宽度为x(m)，则可列方程 ( ) A.(30-2x)(20-x)=468 B.(20-2x)(30-x)=468 C.30×20-2×30x-20x=468 D.(30-x)(20-x)=468 9.(2026·编写)如图1,将一张长20cm、宽10 cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒，纸盒的底面积为 48 cm².求该有盖纸盒的高. 10.(2025·东部新区)某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地 ABCD(AB<BC)，已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边BC上要留一扇2米宽的门，设AB 的长为x 米，矩形菜地的面积为y平方米. (1)请用含有x 的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)若该矩形菜地的面积为140 平方米，求AB的长. B级 能力提升 11.(2026·编写)如图,在长为32 米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分)，余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为 . 12.(2023·高新)如图，学校准备在图书馆后面的场地边建一个自行车棚，一边利用图书馆的后墙(墙长18米)，现有总长为24米的铁围栏，如果要围成面积为40平方米的自行车棚，那么 AB的长为 。 13.(2026·武侯)如图，某市近郊有一块长为60m、宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地.若塑胶场地总占地面积为2430m²，则通道的宽为 m. 14.(2026·编写)如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为15m，篱笆长为24m，设平行于墙的BC边长为xm. (1)若围成的花圃面积为 40 m²,求 BC的长. (2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50m²，请你判断能否围成花圃.如果能，求 BC的长；如果不能，请说明理由. C级综合拓展 15.(2023·杭州)如图,利用一面墙(墙长25米)，用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个 1 米的小门，设栅栏 BC 长为x米. (1)AB= 米(用含x的代数式表示). (2)若矩形围栏 ABCD 的面积为 210平方米，求栅栏 BC的长. (3)矩形围栏 ABCD 的面积是否有可能达到240平方米?若有可能，求出相应x的值；若不可能，请说明理由. 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1. x²+55x-500=0 2.4 cm² 3.2m 4.8 5. B6. B 7. A 8. A 9.【解】设纸盒的高为 xcm. 依题意，得 化简，得. 解得. 当x=2时,10-2x=6>0,符合题意; 当x=13时,10-2x=-16<0,不符合题意,舍去. 故该有盖纸盒的高是2cm. 10.【解】(1)由题意,可得y=x(32-2x+2), 整理，得 根据题意，得 解得9≤x<17. ∵AB<BC,∴x<32-2x+2,解得 故 且 (2)当y=140时,可得 解得 (舍去), 即AB的长为10米. B级(能力提升) 11.(32-x)(12-x)=300 12.4米 13.2 14.【解】(1)根据题意,得 则 =40, ∵20>15,∴x₁=20舍去. 故 BC的长为4m. (2)不能围成花圃. 理由：设BC的长为 xm，则AB的长为 根据题意，得24-3x·x=50, 方程可化为 ∴方程无实数解，∴不能围成花圃. C级(综合拓展) 15.【解】(1)由题知栅栏 BC长为x米. ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB=49+2-3x=(51-3x)米. (2)依题意,得(51-3x)x=210, 整理，得 解得 当x=7时,AB=51-3x=30>25,不合题意,舍去; 当x=10时,AB=51-3x=21,符合题意, ∴栅栏 BC的长为10米. (3)不可能.理由如下： 依题意,得(51-3x)x=240, 整理，得 ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $