2.4 一元二次方程的应用 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，分8类情境（数字、循环等），每类含例题与4道巩固题，分层从基础建模到综合应用，培养数学模型意识与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题示范|单一情境建模|结合中考真题，如周瑜寿数问题，渗透数学抽象| |基础应用|典型问题直接应用|选择填空为主，如数字问题连续奇数平方和，强化运算能力| |综合拓展|复杂情境综合应用|含动态几何（动点面积）、行程问题（军舰巡航），提升推理与应用意识|

2.4 一元二次方程的应用 类型一 数字问题 【例1】（2026青岛期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【即时巩固】 1．三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 2．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ． 3.一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是________． 4.一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 类型二 循环问题 【例2】（2026凉山州中考）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【即时巩固】 1.（2026湖北中考）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 2.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 4.（2026安徽三模）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 类型三 传播问题 【例3】一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A. B. C. D. 【即时巩固】 1.（2026东营二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2026广西三模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3.冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 4.（2026山西一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 类型四 增长率问题 【例4】（2026山西中考）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【即时巩固】 1.（2026•钢城期末）南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 2.（2026佳木斯三模）某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 3.（2026•天桥期末）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 4.2025年3月份，我国自主研发的一款软件一经发布，便受到广泛关注．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了280万次．假设该软件这三天的下载量日平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 类型五 销售利润问题 【例5】（2026槐荫期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 件，每件利润元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价元，解答下列问题： （1）当每件衬衫降价5元，则每件利润___________元，平均每天可售出___________件； （2）若商场想平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元？ 【即时巩固】 1.（2026深圳模拟）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． （1）求帆布袋与染料的单价； （2）制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 2.（2026烟台中考）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量 （件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求 与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 3.（2026宁波期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． （1）若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； （2）为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 4.（2025东营中考）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 类型六 图形问题 【例6】（2026市中期末）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． （1）的长度可表示为__________米，并直接写出的取值范围； （2）若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【即时巩固】 1.（2026历城期末）如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 2.（2026市中期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）     A． B． C． D． 3.（2026通辽二模）春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4.（2026历城期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（________________________）=； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个正根为________________________； 【拓展应用】一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 类型七 动态几何问题 【例7】如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3或1.5 D. 3 【即时巩固】 1.如图所示，中，，， ，点P从A点开始沿向B点以 的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6 2.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 4.（2026历下期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 类型八 行程问题 【例8】（2026贵阳一模）如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． （1）为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ （2）在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 【即时巩固】 1.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 2.在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 3.九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 4.如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 一元二次方程的应用 类型一 数字问题 【例1】（2026青岛期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 根据题意可得． 故选：A． 【即时巩固】 1．三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 2．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 3.一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关键． 设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是；再根据这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大 列出方程求解即可． 【详解】解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， ∴十位上的数字为，百位上的数字为． 故答案为：． 4.一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 【答案】或 【分析】设个位数字为，则十位数字是．再建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是．根据题意可得： ， 整理得：． 分解得：，         解得：，． 答：原来的两位数是或． 类型二 循环问题 【例2】（2026凉山州中考）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解题思路是分析球队比赛的场次关系，结合每两队赛两场的条件推导方程． 【详解】解：∵共有 支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数 ∴总比赛场数为 ，已知总比赛场数为 场， ∴可列方程． 【即时巩固】 1.（2026湖北中考）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 2.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解握手问题中存在重复计算的情况，从而正确列出方程．据此解答即可． 【详解】解：∵设这次会议到会的人数为人 ∴每个人需要和除自己外的人握手 又∵每两人之间的握手会被重复计算一次 ∴总握手次数为 ∵已知一共握了66次手 ∴依题意可列方程 故选：A． 3.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 3.【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 4.（2026安徽三模）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 类型三 传播问题 【例3】一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 【即时巩固】 1.（2026东营二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 2.（2026广西三模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程． 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 3.冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患流感人数为1， ∴第一轮传染后，患流感人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴. 4.（2026山西一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 类型四 增长率问题 【例4】（2026山西中考）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 【即时巩固】 1.（2026•钢城期末）南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵初始本金为2000贯，平均每年增长率为， ∴第一年结束后的总资本为贯， ∴第二年结束后的总资本为第一年总资本乘以，即贯， 又已知两年后总资本为3200贯， ∴可列方程． 2.（2026佳木斯三模）某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，根据商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即每次降价的百分率为． 3.（2026•天桥期末）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系，是解题的关键．根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，列出方程即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列出方程为： ． 故答案为：． 4.2025年3月份，我国自主研发的一款软件一经发布，便受到广泛关注．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了280万次．假设该软件这三天的下载量日平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据日平均增长率x，分别计算三天的下载量：首日50万次，第二天万次，第三天万次，三天总和等于280万次，进行作答即可． 【详解】解：∵首日下载量：50万次， ∴第二天下载量：万次， 第三天下载量：万次， ∴三天累计下载量：万次． 类型五 销售利润问题 【例5】（2026槐荫期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 件，每件利润元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价元，解答下列问题： （1）当每件衬衫降价5元，则每件利润___________元，平均每天可售出___________件； （2）若商场想平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）， ； （2）每件衬衫应降价 元； 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和二次函数的最值问题，核心是根据“总利润 每件利润销售量”建立数学关系式． （1）直接利用“每件利润 原利润 降价金额”“销售量 原销售量每降价1元多售件数降价金额”计算即可； （2）根据总利润公式列一元二次方程求解，结合“扩大销售、尽快减少库存”的条件选择最优解； （3）将总利润表示为关于的二次函数，通过配方法转化为顶点式，利用二次函数性质求最值． 【小问1详解】 解：每件利润为元；平均每天可售出件； 故答案为：， ； 【小问2详解】 解：设每件衬衫降价元， 根据题意，得， 解得，， ∵要扩大销售尽快减少库存，降价越多销售量越大， ∴； 答：每件衬衫应降价 元． 【即时巩固】 1.（2026深圳模拟）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． （1）求帆布袋与染料的单价； （2）制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】（1）每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 （2）售价应定为 35 元 【解析】 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【小问1详解】 解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； 【小问2详解】 解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 2.（2026烟台中考）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量 （件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求 与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）该款文创产品每件的售价为35元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【小问1详解】 解：设 与的函数表达式为 ， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， . 3.（2026宁波期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． （1）若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； （2）为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 【答案】（1）这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． （2）该茶叶礼盒的售价应降价5元． 【解析】 【分析】（1）设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x，根据“该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒”列方程求解即可； （2）设该茶叶礼盒的售价应降价a元，根据“7月份这款礼盒的总利润达到4600元”列方程求解，再结合降价后的单盒利润不低于24元取合适的解即可． 【小问1详解】 解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该茶叶礼盒的售价应降价a元， 由题意得，， 化简，得， 解得，． 因为降价后的单盒利润不低于24元， 所以，即， 所以不合题意，舍去． 答：该茶叶礼盒的售价应降价5元． 4.（2025东营中考）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】（1） （2）60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 类型六 图形问题 【例6】（2026市中期末）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． （1）的长度可表示为__________米，并直接写出的取值范围； （2）若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【答案】（1）； 4分 （2）根据题意得：， 6分 整理得：， 解得：，， 8分 当时，，不符合题意，舍去；（或不在的取值范围内） 9分 答：的长度为16米． 10分 【即时巩固】 1.（2026历城期末）如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为，则根据题意所列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.根据各边之间的关系，可得出台布的长为（）cm，宽为（50+2）cm，利用台布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】∵垂下的长度为x cm， ∴台布的长为（）cm，宽为（50+2）cm. ∵台布的面积是桌面面积的2倍， ∴. 故选D. 2.（2026市中期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为根据该无盖纸盒的底面积为625 cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】∵剪去小正方形的边长为x cm, ∴该无盖纸盒的底面长为. 由题意，得. 故选D. 3.（2026通辽二模）春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 4.（2026历城期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（________________________）=； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个正根为________________________； 【拓展应用】一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】 【类比迁移】 【拓展应用】解：由已知设矩形的长为，宽为x，则大正方形的边长为. 由已知，得且a>0，∴a=2， ∴且x>0， ∴解得x=1. 【思维提升】6 类型七 动态几何问题 【例7】如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3或1.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 【即时巩固】 1.如图所示，中，，， ，点P从A点开始沿向B点以 的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵， ， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 2.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 3.如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 【答案】10 【解析】 【分析】由题中的运动规则，分两种情况讨论：当点未到达点时；当点到达点时（点与点重合）；第一种情况，先表示出，的长，再由勾股定理列方程求解；第二种情况，由直角三角形斜边比直角边长判定即可． 【详解】解：动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 同时动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 由于动点到达终点的运动时间比动点到达终点的运动时间短，分两种情况讨论： 当点未到达点时，设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，由勾股定理可得，即， 则， ， 解得或（没有运动，舍去）； 当点到达点时（点与点重合），设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，是斜边、是直角边，则，与矛盾， 此情况不存在使两点相距的值； 综上所述，运动秒后两点相距． 4.（2026历下期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 类型八 行程问题 【例8】（2026贵阳一模）如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． （1）为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ （2）在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 【答案】（1）军舰原来的速度是海里； （2）补给船航行了海里． 【解析】 【分析】（1）设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，先求出总路程，再根据题意列分式方程求解即可； （2）连接交中点于F，则是的中位线，可知海里，海里，，设相遇时补给船航行了海里，则海里，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里， 由题意可知海里，海里， 则总路程为（海里）， ∵军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴军舰原来的速度是海里； 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 则是的中位线， ∴海里，海里，， 设相遇时补给船航行了海里，即海里， ∵军舰航行的总路程是补给船的3倍， ∴军舰路程为海里， 则海里， ∴海里， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 当时，与重合，为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去， ∴补给船航行了海里． 【即时巩固】 1.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 2.在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 3.九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 4.如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】（1）或小时； （2）上午时． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； 【小问2详解】 解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $