第2章 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解法解一元二次方程，通过基础巩固、技能提升、综合应用三层设计，构建从原理理解到解法优化的完整知识链，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|因式分解原理及单一方法（提公因式、公式法）|直接应用零积性质解方程，如提公因式法基础题，强化概念理解| |技能层|十字相乘法及含参方程|含参方程求解与根的关系分析，提升符号运算与推理能力| |综合层|四种解法选择与实际应用|结合几何、定义新运算等情境（如三角形边长问题），发展模型意识与应用能力|

2026－2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 ▌课时目标 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理，能运用“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的零积性质将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。 2. 掌握用提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法对一元二次方程左边进行因式分解，并能根据方程特征选择最优解法，提高解题效率。 3. 能综合比较直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用场景，形成完整的解法体系，并能针对含参方程合理选择解法。 ▌课时目录 知识点01：因式分解法解一元二次方程的原理 知识点02：用提公因式法进行因式分解解一元二次方程 知识点03：用公式法进行因式分解解一元二次方程 知识点04：用十字相乘法进行因式分解解一元二次方程 知识点05：四种解法的选择与优化 ▌知识点01：因式分解法解一元二次方程的原理 因式分解法的理论依据是“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的零积性质。将一元二次方程通过因式分解化为A·B＝0的形式，则A＝0或B＝0，从而将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。 例如：方程x²－3x＝0可因式分解为x(x－3)＝0，则x＝0或x－3＝0，解得x₁＝0，x₂＝3。注意：使用因式分解法的前提是方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积。若原方程不是这种形式，需先移项使右边为0，再因式分解。 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 2．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知代数式和的值互为相反数，求的值． 【答案】， 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 因式分解，得， 即或， 解得，． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． ▌知识点02：用提公因式法进行因式分解解一元二次方程 当方程左边各项含有公共因式时，可提取公因式进行因式分解。步骤： 1. 移项使方程右边为0； 2. 提取公因式，将方程化为“公因式×另一个因式＝0”的形式； 3. 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； 4. 分别求解。 例如：解方程3x²－6x＝0→提取公因式3x得3x(x－2)＝0→3x＝0或x－2＝0→x₁＝0，x₂＝2。又如：解方程(x－1)(x＋2)＝x－1→移项得(x－1)(x＋2)－(x－1)＝0→提取公因式(x－1)得(x－1)[(x＋2)－1]＝0，即(x－1)(x＋1)＝0→x－1＝0或x＋1＝0→x₁＝1，x₂＝－1。易错点：两边直接约去公因式（如3x²＝6x两边约去x得3x＝6），会导致漏解x＝0，必须移项后提取公因式。 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用因式分解法解方程： 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， 或， ． 7．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）用因式分解法解方程： 【答案】，； 【详解】解：， ， 或， ∴，； 8．（25-26九年级上·北京东城·期中）用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． ▌知识点03：用公式法进行因式分解解一元二次方程 利用乘法公式对左边进行因式分解，主要包括平方差公式和完全平方公式。 1. 平方差公式：a²－b²＝(a＋b)(a－b)，适用于形如“平方项减平方项”的方程。例如：解方程x²－9＝0→(x＋3)(x－3)＝0→x₁＝3，x₂＝－3。 2. 完全平方公式：a²±2ab＋b²＝(a±b)²，适用于形如"平方项±2倍乘积＋平方项"的方程。例如：解方程x²－6x＋9＝0→(x－3)²＝0→x₁＝x₂＝3。又如：解方程4x²－12x＋9＝0→(2x－3)²＝0→x₁＝x₂＝1.5。使用公式法时需先识别方程是否符合公式的结构特征。 9．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 11．（25-26八年级下·北京·期末）用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 12．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小芳在解关于的方程时采用了下面的方法： 解： ． 因为，① 所以．② ，得． 两边平方，得， ． 经检验，是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知，则________． (2)若，求的值． (3)实数满足，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题可以仿照题干，先利用平方差公式转化，然后将两式相加后再除以2求解，最后检验即可． 【详解】（1）解： ， ∵ ∴； （2）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． （3）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 整理得， 解得，． ， ∴舍去 ． ▌知识点04：用十字相乘法进行因式分解解一元二次方程 对于形如x²＋px＋q＝0（二次项系数为1）的方程，若能找到两个数m、n满足m＋n＝p且mn＝q，则x²＋px＋q＝(x＋m)(x＋n)，从而实现因式分解。 例如：解方程x²＋5x＋6＝0，需找两数满足和为5、积为6，即2和3，故原式＝(x＋2)(x＋3)＝0→x₁＝－2，x₂＝－3。 对于二次项系数不为1的方程ax²＋bx＋c＝0，需使用广义十字相乘法：将a分解为a₁·a₂，c分解为c₁·c₂，使a₁c₂＋a₂c₁＝b，则ax²＋bx＋c＝(a₁x＋c₁)(a₂x＋c₂)。例如：解方程2x²－7x＋3＝0，2＝2×1，3＝(－1)×(－3)，且2×(－3)＋1×(－1)＝－7，故原式＝(2x－1)(x－3)＝0→x₁＝0.5，x₂＝3。 十字相乘法是速度最快的因式分解方法，但适用范围有限，需通过练习熟练掌握。 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）用因式分解法解方程：： (1)； (2)． 【答案】(1)是原分式方程的根 (2)， 【分析】（1）先因式分解分母，找最简公分母去分母，最后检验增根即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：两边同时乘得， 解得， 检验：把代入得， ∴是原分式方程的根． （2）解：因式分解得， ∴或， 解得，． 14．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）用因式分解法解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期末）用因式分解法解方程：： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，. （2）解：， ， 或， 解得，. 16．（25-26八年级下·山东淄博·期末）用因式分解法解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． ▌知识点05：四种解法的选择与优化 四种解法的适用场景： 3. 直接开平方法：适用于左边是完全平方式、右边是非负常数的方程，如(x－2)²＝9，速度最快； 4. 因式分解法：适用于能较容易分解为两个一次因式乘积的方程，如x²－5x＋6＝0，速度较快； 5. 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，但计算量大，适用于无法用前两种方法求解的方程； 6. 配方法：适用于推导求根公式和理解方程本质，日常解题较少使用，但在解决代数式最值问题时很有用。 1. 选择原则：优先尝试直接开平方法和因式分解法，若不易分解再用公式法，配方法一般用于特定目的。 例如：解方程x²－4x＋3＝0，用十字相乘法得(x－1)(x－3)＝0最简便；解方程2x²－4x－1＝0，不易分解，用公式法；解方程(x＋1)²＝4，用直接开平方法最简便。 17．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． 18．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 19．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 配方，得， 即， 所以， 解得，． （2）解：， 移项，得， 分解因式，得， 则，或， 解得，． 20．（25-26九年级上·广东茂名·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得， ，，， ， ， 则， （2）解： ， 或， 所以，． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出、方程根的判别式，再得出，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 二、填空题 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 7．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】由题意推出为等腰直角三角形，结合用勾股定理求出，过点作，垂足为，设，，其中，，，通过同角的余角相等证，故，，推出，，在中由勾股方程解得，在中由勾股定理解出和，利用矩形对角线中点性质得为的中位线，得出的长，从而可得出． 【详解】解：由题意得， ， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ，解得， 如图，过点作，垂足为， ， 设，，其中，，， 四边形是矩形，对角线，相交于与点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 化简得， 因式分解得， ，， ， ， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 点和点分别为，的中点， 为的中位线， ， ， ． 三、解答题 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）变形后使用直接开平方法求解， （2）无法因式分解，使用求根公式法求解， （3）整理为一般形式后使用因式分解法求解． 【详解】（1）解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． （2）解：对于方程， 可得，，， ∴， ∴， 解得，． （3）解： ∴， 因式分解得， 可得或， 解得，． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 【分析】（1）根据定义，两个代数式乘积需等于9，据此分别计算即可判断； （2）根据定义，整理得到，则，求得； （3）根据定义，整理得到，求得，得到，再利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； （2）解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； （3）解：略 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第二章一元二次方程 2一元二次方程的解法 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 课时目标 理解因式分解法解一元二次方程的原理，能运用“若b=0,则a=0或b=0”的零 积性质将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。 2. 掌握用提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法对一元二次方程左边 进行因式分解，并能根据方程特征选择最优解法，提高解题效率。 3. 能综合比较直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用场景，形成完整的解 法体系，并能针对含参方程合理选择解法。 课时目录 知识点01：因式分解法解一元二次方程的原理 知识点02：用提公因式法进行因式分解解一元二次方程 知识点03：用公式法进行因式分解解一元二次方程 知识点04：用十字相乘法进行因式分解解一元二次方程 118 知识点05：四种解法的选择与优化 知识点01：因式分解法解一元二次方程的原理 因式分解法的理论依据是“若ab=0,则α=0或b=0”的零积性质。将一元二次方程通过 因式分解化为AB=0的形式，则A=0或B=0,从而将一元二次方程降次为两个一元一 次方程求解。 例如：方程x2一3x=0可因式分解为x(x一3)=0，则x=0或x一3=0，解得x1=0,2=3。 注意：使用因式分解法的前提是方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积。 若原方程不是这种形式，需先移项使右边为0，再因式分解。 1.（25-26八年级下浙江杭州期末)已知关子*的一元二次方程x-5x-a)=0 两个根分别是5和 1,则a的值为 2.(25-26八年级全国暑假作业)若方程2026-2025×2027x-1= 的较大根为”，方程 x2-2026x-2027=0 0的较小根为力，则 (a+b)2027= 3.(25-26八年级下·安徽蚌埠期末)已知代数式x2+6x和x+6的值互为相反数，求x的值. 4.(25-26八年级下江苏南京·期末)已知关于x的一元二次方程 x2-（m+3)x+m+2=0 (I)求证：无论m取何值，方程总有实数根： (2)若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值. 知识点02：用提公因式法进行因式分解解一元二次方程 当方程左边各项含有公共因式时，可提取公因式进行因式分解。步骤： 移项使方程右边为0： 提取公因式，将方程化为“公因式×另一个因式=0”的形式： 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； 分别求解。 例如：解方程3x2一6x=0→提取公因式3x得3xx一2)=0→3x=0或x一2=0x1=0,x2= 2。又如：解方程(x一1)x十2)=x一1→移项得(x一1)x十2)-(x一1)=0→提取公因式(x一1)得 2/8 (x一1)[x+2)-1]=0,即x-1)x+1)=0→x一1=0或x+1=0→x1=1,x2=-1。易错点： 两边直接约去公因式（如3x2=6r两边约去x得3x=6),会导致漏解x=0,必须移项后提 取公因式。 5.(25-26八年级下浙江杭州期末)已知一个一元二次方程的二次项系数为1，两个根分别为-1,2，则 这个方程为(). A.(x+1(x-2)=0 B.(x-1(x-2)=0 c.(x+1)(x+2)=0 D.（x-1)(x+2)=0 x2-16=（x-4)(2x-1) 6.(25-26八年级下·陕西西安·期末)用因式分解法解方程： 7(25-26八年级下辽宁盘锦期末)用因式分解法解方程：(x-5)+4(x-5)=0 5x(3x+2)=6x+4 8.(25-26九年级上·北京东城期中)用因式分解法解方程： 【知识点03：用公式法进行因式分解解一元二次方程 利用乘法公式对左边进行因式分解，主要包括平方差公式和完全平方公式。 平方差公式：a-b=(a十b(a一b),适用于形如“平方项减平方项”的方程。例如：解方 程x2一9=0→(x+3)(x一3)=0→x1=3,x2=一3。 完全平方公式：±2b+b=(吐b)?,适用于形如"平方项±2倍乘积+平方项"的方程。例 如：解方程x2-6x十9=0→(x一3)2=0→x1=x2=3。又如：解方程4x2一12x十9=0→(2x一3)2 =0→x=x2=1.5。使用公式法时需先识别方程是否符合公式的结构特征。 9.(25-26八年级下·安徽宣城期末)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根， 且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x+x=0的两 个根是=0x=-1 则方程产+x=0是“邻根方程”，关于‘的方程-(m-2r-2m=0（m是 常数)是“邻根方程”，则m的值是 10.(25-26八年级下山东泰安期末)若=5+2 则代数式-4红+3的值为 Ⅱ.（25-26八年级下北京期末)用因式分解法解方程：2(+x-(:+x)-3=0 3/8 12,（25,26八年级下浙江台州期末)小芳在解关于”的方程5-+7-=4。 时采用了下面的方法： 解：(5-+7-x)(i5-x-7-司 所以5--7-=2.@ =(15-x-(7-x)月 2,得15-x=3 (①+②)÷2 =(15-x)-(7-x) 两边平方，得15-x=9, x=6 =8 因为5-x+7-x=4 经检验，x=6是原方程的解. ① 请你学习小芳的方法，解决下列问题： ①尼知+8++3=5，则+8-+3 2若+3+-9=25，求“的值. 6)实数m满足V2m+2m-3+V2-10m-3=2m,求m的值. 知识点04：用十字相乘法进行因式分解解一元二次方程 对于形如x2十px十q=0（二次项系数为1)的方程，若能找到两个数、n满足十n=p且 wn=q,则x2十px十q=(十mx十)，从而实现因式分解。 例如：解方程x2+5x十6=0，需找两数满足和为5、积为6，即2和3，故原式=(x+2)x十 3)=0→x1=-2,x2=-3。 对于二次项系数不为1的方程2十bx十c=0,需使用广义十字相乘法：将a分解为2， c分解为c1c2,使ac2十kc1=b,则r2十br十c=(ax十c)(a2x十c2)。例如：解方程2x2-7x +3=0,2=2×1,3=(-1)×(-3),且2×(-3)+1×(-1)=-7，故原式=(2x-1)-3)= 0→x1=0.5,x2=3。 十字相乘法是速度最快的因式分解方法，但适用范围有限，需通过练习熟练掌握。 13.(25-26八年级下·陕西咸阳期末)用因式分解法解方程：： 2,3x1 (1)x+i1-xx-1 、3x2-x-4=0 (2)1 418 14.(25-26八年级下·安徽安庆期末)用因式分解法解方程：x2-2x=3. 15.(25-26八年级下福建厦门期末)用因式分解法解方程：： a2-4r=0 g)r+6x+5=0 16.(25-26八年级下·山东淄博期末)用因式分解法解方程： (1)x2+12x+27=0 2(2x-1)=2(2x-1) 知识点05：四种解法的选择与优化 四种解法的适用场景： 直接开平方法：适用于左边是完全平方式、右边是非负常数的方程，如(x一2P=9,速度最 快； 因式分解法：适用于能较容易分解为两个一次因式乘积的方程，如x2一5x十6=0，速度较 快； 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，但计算量大，适用于无法用前两种方法求解 的方程 配方法：适用于推导求根公式和理解方程本质，日常解题较少使用，但在解决代数式最值 问题时很有用。 选择原则：优先尝试直接开平方法和因式分解法，若不易分解再用公式法，配方法一般用 于特定目的。 例如：解方程x2一4x+3=0,用十字相乘法得(x一1)x一3)=0最简便：解方程2x2一4x一1 =0,不易分解，用公式法：解方程(x十1)？=4，用直接开平方法最简便。 17.(25-26八年级下陕西西安期末)解下列一元二次方程： 4①r-2x-8=0 22x-6r-1=0 18.(25-26八年级下·福建福州期末)解方程： 518 ar-25=0 x(x-3)=4(3-x) (2 19.(25-26八年级下浙江宁波·期末)解方程： 2-2x=1 ； @(2x-3)=2(2x-3) 20.(25-26九年级上广东茂名期末)解方程： +x=1 2r-6r+8=0 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下山东淄博期未)己知一元二次方程2(x+7)-10(x+7)=0的两根为0、6，且a>b, 则a+2b=() A.-13 B.-9 C.4 D.-3 2.(2526八年级下安微池州期末)若方程(m-)+4-2=0是关于的一元二次方程，则m的值 是() A.-1 B.1 C.±1 D.-2 3.(25-26八年级下·安徽合肥期末)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a-b+c=0,且有两个相 等的实数根，则下列结论正确的是() A.a-2c=0 B.2a-b=0 C.b+2c=0 D.a+2c=0 4.(25-26八年级下·江苏宿迁：期末)已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 x2-14x+48=0 的一个根，则此三角形的周长为() 618 A.13 B.14 C.15 D.13或15 5.(25-26八年级下浙江宁波期末)定义运算：a※b=a2-2ab,例如a=-1,b=2时， (-)※2=(--2×()×2=5.若关于x的方程※2=m有两个不相等的实数根，则m的取值范国是 () A.m>-4 B.m<-4 C.m>-1 D.m<-1 二、填空题 6.(2526八年级下山东烟台期末)若=引是一元二次方程 (a-2)x2-4x+a2=0 的一个根，则“的值为 7.（25-26八年级下山东泰安期末)若关于*的一元二次方程-(2k+1)x+=0 两个不相等的实数 根，则k的取值范围为 8.(25-26八年级下浙江绍兴期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于与点O,以C为圆 心，CO长为半径作弧，交CB于点E,连接OE,过点E作OE的垂线交AB于点F,EF=OE.若 0F=2W5 则4F的长是 D 三、解答题 9.(25-26八年级下山东泰安期末)解方程： a4(-1=9 22r-5x-1=0 6)3r+24=22x 10。（25:26八年级下江苏泰州期末)规定：两个含有二次根式的代数式a+m6,c+mN ，满足 718 (a+mb)(e+n园)=p,且a,b,c,d,m,n,p是有理数，则称a+m5与c+mNi是关于p的 “和谐二次根式”，如6+v28-2)=5,则称3+5与3-5是关于5的“和谐二次根式” (I)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是 (填序号)； 035与5，②5与5，③+2与i-2 ②若35+1与3-5 是关于12的“和谐二次根式”，求t的值： ⊙)若两个含有=次根式的代数式3+v2与0-2是关于7的“和谐二次根式”，试判断5=3+V5与 X2=a-v26 能否是关于x的一元二次方程-+k+1=0的两个根，并说明理由。 818