陕西省2026届高考适应性检测(三)数学试题

姓名 准考证号 座位号 密★考试启用前 2026年高考适应性检测（三） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1．已知集合，，则中的元素个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．某校举办了一次数学素养测评，旨在检验学生的逻辑思维与应用能力，以下是随机抽取的10名学生的成绩（满分100分）：65，71，83，86，87，88，91，92，94，98，则这10名学生数学成绩的第70百分位数为（ ） A．92 B．91.5 C．91 D．89.5 4．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 5．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，的对边分别为，，，，点为边的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 8．设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（ ） A B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9．已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（ ） A．该圆台的母线长为4 B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为 D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：交双曲线于，两点，则（ ） A． B． C．的最小值为-5 D．若，则点到轴距离的最大值为 11．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A．的取值范围为 B．存在实数，使得，，成等差数列 C．的取值范围为 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数的图象关于直线对称，则实数的值为_____________． 13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 14．在正方形中，，，分别为边，的中点，分别沿，，将，，折起，使点，，重合于点，形成四面体，则以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交形成的交线的长度为_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分） 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 16．（本小题15分） 已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17．（本小题15分） 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． （1）证明：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 18．（本小题17分） 已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 19．（本小题17分） 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （1）求丙获得第四名的概率； （2）求甲获得冠军的概率； （3）求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 密★考试启用前 2026年高考适应性检测（三） 数学参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】D 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求） 9．【答案】ACD 10．【答案】AC 11．【答案】ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【答案】 13．【答案】169 14．【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（1）函数的定义域为，， 2分） 因为，则令，得，令，得，令，得， 4分） 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 6分） （2）令，可得， 8分） 令，因为，所以，则在单调递减， 10分） 因为对任意的，恒成立，所以， 11分） 即，所以的最大值为． 13分） 16．（1）由题意知，所以， 2分） 当时，，作差得， 4分） 所以，即，，，，符合上式，所以数列的通项公式为． （6分） （2）由（1）知，则， 所以， （8分） ； （10分） 当为偶数时，， （12分） 当为奇数时，， （14分） 综上，当为偶数时，，当为奇数时，． （15分） 17．（1）因为为中点，且，所以，即， （2分） 又，，，平面，所以平面． （4分） 又平面，所以． （6分） （2）因为，所以．又，，所以，所以，则． （7分） 由（1）知平面，所以，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系， （9分） 则，，，由，，，平面，得平面， 所以与平面所成角为，所以，解得，，所以， （11分） 则，，所以，，． 设平面的一个法向量为，由得， 可取， 设平面的一个法向量为，由得， 可取， （13分） 设二面角为． ，， 所以二面角的正弦值为． （15分） 18．（1）连接，则，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，， （2分） 所以，，所以曲线的方程为． （4分） （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程得，则有，， （6分） 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，所以， （8分） ， 所以，所以，又因为为任意实数，所以． （10分） 当直线的斜率为0时，，符合题意，综上所述，． （11分） （ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以， （13分） 因为，所以，由，得，解得， （15分） 不妨设，则，． 所以的面积． （17分） 19．（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败， （1分） 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件为，丙进入败区后与甲对阵为事件，丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区获败为事件，则 ． （3分） （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为，甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：情况1：三场全胜，； （5分） 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜，； （7分） 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， （9分） 所以，即甲获得冠军的概率为． （10分） （3）记乙参与对阵的比赛场数为随机变量，乙在第场比赛中获胜为，乙对阵甲为事件，乙参与对阵的比赛场数恰为3可分为三种情况： 情况1：乙连胜两场，第三场进入决赛不用考虑胜败，概率为； （12分） 情况2：乙第一场胜第二场败第三场败，概率为 ； （14分） 情况3：乙第一场败第二场胜第三场败，概率为 ； （16分） 所以．所以乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $