陕西西安高级中学2026届高三考前自测数学试题

西安高级中学2026届模考数学试题（三)参考答案 2 6 7 8 10 C C D C D D D D ABC ACD 11 AC 12.（-16,16) 13.5 2 ,+00 14.L3 a=5 b=3 15.【详解】(1)由题意知2c=8,，2a+2c=18,c2+b2=a2,解得c=4 ,故轨迹方程为： x2,y2 =1 259 e=c=4 离心率a5」 (2)由1)得焦点(-4,0)，B(4,0,设直线AB的方程为x=m+4,A(,),B(,片) △ABS的面积可拆分为△AF5与△BF5的面积之和，即 a4s=2FF卧lh-以=44- m21 y2+ 8m.9 将x=心y+4代入椭圆方程，消去x得 259 y 25 =0 25 .由韦达定理得 72m 81 y+y2=- 9m2+25, y2=- 9m2+25, 则 yy2+y-4y2 72m 2 324 90Wm2+1 9m2+25 9m2+259m2+25 360Wm2+1 S△ABR 9m2+25.令=Vm+1(t≥1），则m2=2-1, SAB所 360t 360t360 9(e-1+2592+169r+16 t. 16=24 +16z291- 9t 16t= 4 9t 由基本不等式得 V元t ,当且仅当t即3时取等号，满足之1 360 =15 此时 4B所≤24 ,即△ABF面积的最大值为15. 4 4 t=- m2+1=3 m=士 吟 由3得 3,解得 3，代入直线方程整理得 3y-4=0 1 tand+= tan'a 16.【详解】(1)己知 cosan,两边平方得： cosa,.由三角恒等式cos'am cosa +sin'a=1+tan'a, cos"a, ,代入得：tana1-tana,=l.因此{tana,}是公差为1的等差数列，首 ma=am'骨-(=3 项 由等差数列通项公式得：tan'a,=3+(n-l)×1=n+2(n∈N")】 sina,tand,cosa,= tana。_= Vn+2 n∈ (2)由 0 tan2an=n+2,得： 1+tan'a,n+3 n+2 345m+2 因此乘积 IIsind -I 3V6m+3 3 Vm+3, 31 31 由题设Vm+39,两边平方得m+381,解得m=240 17. (1)因为BB1BG,BB1AB,AB∩BG=B,AB,BCC平面ABC, 所以BB1平面AB,C,又BB,C平面BB,CC,所以平面AB,C1平面BB,CC: B (2)(i)由(I)知平面AB,G1平面BB,CC,交线为BG,过A作A01BC于0，连接OB, 则A0⊥平面BB,CC,因此∠AB0就是AB与平面BB,CC所成的角， 由BB1AB,△ABB为直角三角形，得AB=AB-BB=4-(:又CCllBB,BB上平面 AB,G,所以CC1平面AB,G,因为ACC平面B,C,所以CC1AC,故4C2=AC+CC, 得4C2=AC2-P=3-2, 且B,G=BC=V万，当t=1时，AB,=V5,AC=N2,在△AB,G中由余弦定理： C0S2BAC=4B+ACi-BCi-3+2-7=1 2AB·AC 26 6,得 △AB,C面积： ci-sin/B.AC 1 62 saG40402-S 又 ,得BCV7 5 sim0=40-互-V35 因此直线AB与平面所成角日满足： AB214」 ()三棱柱侧棱BB上平面AB,C,因此体积：'=SA8G·BB, c0s∠B4G=4B+AC2-BC2_4-2+3-2-7 在△AB,C中由余弦定理： 2AB·AC2W4-t2V3-2V4-2.3-2 得 Saag24 4Csin∠B4C=x4-FxV3-F× V-72+12 V-72+12 V4-2.v3-2 2 ,所以 V-S6R=T+12_Pr+12 V7m(-72+12) 7t2+12-7t2 37 2 2 2W7 27 7.当且仅 42 3V7 t= 当72=-712+12，即V7时等号成立，因此体积的最大值为7· CosC=a+b-c2 18.【详解】(1)因为2b+c-2 acosC=0,且 2ab, b+c=2acosC=2axa+bi-ci_a2+b2-c 则 2ab b, 即2b2+bc=a2+b2-c2, 得b2+c2-a2=-bc, cosA=+c2-a2、1 2bc 2 A= 2π 因为A∈(0，)，所以4=3. D A=2n (2)由(1)得，3，因为∠BAD=3∠CAD,所 ∠CAD=π ∠BAD=2-∠CAD=2π-= 所以 362, 法①：如图在△ACD中，由余弦定理可得： CD=D+AC-24D-ACCO4D4C=3+16-25x4x5=7 2 即CD=V7, √厅5 CD AD 1 sinC sinc=3 在△ACD中由正弦定理sin∠DAC sinC,即2 ，所 27, 0<C<π cosC=v1-sin2C=5 因 ,故 27, 在△ABC中， sinB=sin(4+C)-sindcosC+cos4sinc=52 2*2722W7-7. 法②：同解法0CD=V万， 4 CD AC 1sin∠ADC 在△ACD中由正弦定理sin∠DAC sin∠ADC,即2 2 sin∠ADC= 所以 √7 cos∠ADC=-5-V2 77, ∠ADC=ZBAD+ZB=B+2,即cOsB+27,S sinB=V②7 又因为 > 法③：同上CD=V7, 在直角△ABD中，BD=VC2+3,所以Q=Ve2+3+V万， 由(1)间知a2=b+c2+bc,所以 Ne2+3+7j=c2+4c+16 即c2+2V7Ne2+3+10=c2+4c+16,得V7VC2+3=2c+3,即c2-4c+4=0, 所以c=2,BD=V万，sinB=0-V2 BD7」 4-2n ∠CAD=T 法④：由(1)知3，则 6, 因为S△MBc=S△MBD+S△AcD, 1 ×4csin x3c+x4x 3sin 2π1、 所以2 32 2 6, 即 2c+V5 ,解得C=2, 所以a2=b2+c2+bc=16+4+8=28,即a=2V7, 274 a b V3 sinB 在△ABC中，由正弦定理sinA sinB,即2 ng=3v21 解得 77 19. we和4=1/e2foxe月.m-,/0=1, 11 x+1 故(x>-1 解得，-1<x≤0，综上，4=（1,0] (2)必要性：若函数f()为偶函数，D=R,则对任意的x∈R,有f()=f(-), 对上式两边同时求导，可得：()=-'()，故函数y=∫()是奇函数，D=R,若 f()f'(-）,则f'()≤-f',即f'()≥f,进而有(-)≥(0），即-xe4, 故对任意1∈R,B,=x-x∈4}，故必要性成立：不充分性：不妨取f()=2x+1,∫'()=2 此时4=B,=R,满足慰设，但函数()=2x+1显然不是偶函数，故充分性不成立 综上，“对任意tER,B,={x-x∈A}”是“y=f()为偶函数”的必要不充分条件. (3)由对任意4,6∈R且4<4，都有A,∈A,可得：对任意4,4∈且4<4，都有 ∫()之∫'()，即函数y=f()在xeR上是不减函数，即()≥0恒成立，由 f6)=e-r2-2x- ,可得：f()=e-2-2,设h()=/()=c-ar-2,则 h'(x)=e*-2ax 用四20对R恒成文，即2ae对xeR▣成，合8阿分.x法0， g'()er-) 2x2 故函数8()在x∈(0,0)和(0,1)是减函数，在（山，+o)是增函数， 大致图像如图， 80=, (i)当x=0时，不等式可化为01，此时a∈R, as er (i)当>0时，不等式可化为2x =g(x) 此时 ()e) ase 故“2； a e (》当x<0时，不等式可化为a≥2=8() 此时8(x)e(-0,0),故a≥0： e 综上，实数a的取值范围是2 西安高级中学2026届模考数学试题（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．作答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（ ） A． B． C． D． 2．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小正周期为，若存在，，，使得成立，则实数的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知事件，，的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 6．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆上两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．对于函数，，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值． 8．由二项式定理可知，，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9．某研究机构为调查“高中生睡眠质量与经常使用电子设备是否有关”，分别去两个学校调查．甲校随机抽取300名学生，乙校随机抽取600名学生，分别得到以下数据： 甲校（300人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 60 40 100 不经常使用电子设备 140 60 200 合计 200 100 300 乙校（600人） 睡眠好 睡眠差 合计 经常使用电子设备 120 80 200 不经常使用电子设备 280 120 400 合计 400 200 600 记由甲校、乙校上述数据计算的卡方统计量分别为，．下列说法正确的有（ ） A．甲乙两校样本中经常使用电子设备的学生比例均为 B．甲乙两校样本经常使用电子设备的学生中睡眠差的比例均为 C．相比甲校数据，乙校数据更容易得出“睡眠质量与使用电子设备有关”的结论 D．若将甲、乙两校合并为一个容量为900人的样本，则合并后的卡方统计量 10．在平面直角坐标系中，已知双曲线（，）左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（ ） A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的倍 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 11．在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A．若，，则对任意，都存在，使得 B．若，，且对任意，都有，则的最大值是 C．若，，使得集合中有有限个元素 D．若，当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数有三个零点，则实数的取值范围为________． 13．某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为________． 14．若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15．（13分）2026年是中华全国总工会创立的101周年，学校组织学生参观基层工匠的工作，学生们在参观一个加工厂时发现，一个师傅在木板上钉了两个钉子，钉子间距为8，师傅用一个长18的绳子连成绳圈，将两个钉子套在绳圈内，用一根墨笔从绳圈内顶住绳子使得绳子始终紧绷并画线．以两个钉子的连线为轴、连线中点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求轨迹方程并求离心率； （2）左、右焦点分别为、，过的直线交于、（在上方），求最大值并给出的直线方程． 16．（15分）设数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数的值． 17．（15分）如图，三棱柱中，，． （1）求证：平面平面； （2）若，，，； （i）当，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）当为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值． 18．（17分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若为边上一点，，，，求． 19．（17分）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $