2.2 一元二次方程的解法- 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

2.2  一元二次方程的解法

一、选择题：

1.方程的解是(    )

A.     B. ，   C. ，   D. 没有实数根

2.一元二次方程配方后可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

3.用公式法解方程所得的解正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.解下列方程：最适当的解法是(    )

A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B. 因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C. 直接开平方法，公式法，因式分解法
D. 直接开平方法，公式法，因式分解法

5.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

6.已知方程的两个根分别是和，则可分解为  (    )

A.  B.  C.  D.

7.（新定义运算）对于实数、，定义运算“”如下：，例如：若，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8.若实数，满足，则关于的方程根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

9.（作差比较法）已知，为任意实数，则，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.当          时，代数式的值与代数式的值相等．

12.若，为实数，且满足，则代数式的值为          ．

13.（新定义运算）在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为:a☆b=+,a★b=,则方程2☆=★10的解为          .

14.当          ，          时，代数式取最小值          ．

15.（新定义运算）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则          ．

三、解答题：

17.不解方程，判断下列方程的根的情况：．  ．

 

 

18.解方程：，，，．

你用了哪些方法求解中的方程

 

 

19.已知关于的一元二次方程．若方程有一个根为，求实数的值．

当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根请用配方法解方程，并求出的周长．

 

 

20.用整体换元法解特殊的一元二次方程．

【例】解方程：．

解：设，则原方程可化为，解得，．

当时，，解得；当时，，解得．

所以原方程的解为，．上述解法称为“整体换元法”．

请运用“整体换元法”解方程：；

已知，求的值．

 

 

21.如果关于的一元二次方程有两个实数根为，，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的“倒根方程”．

已知两个方程：方程          填“是”或“不是”方程的“倒根方程”．

请求出一元二次方程的“倒根方程”．

 

22.已知关于的一元二次方程．求证：无论取任何非零实数，该方程总有实数根

若平行四边形的两边，的长是已知方程的两个实数根，当为何值时，平行四边形是菱形求此菱形的边长．

 

 

23.定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”．

判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由．

已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．

 

 

 

 

24.（拔高题）一元二次方程的几何解法：在数学史上，我国及其他一些国家的古代数学家研究过一元二次方程的几何解法．

例：用几何解法求方程即的正根．
 

方法Ⅰ三国时期数学家赵爽用个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形如图根据图的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根为          ．

方法Ⅱ阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形如图，利用“割”“拼”“补”的方式构造边长为的正方形如图，

根据图的构造，用不同的方式表示大正方形的面积，可以得到新的方程：          ，解得正根为          ．