2.2 一元二次方程的解法- 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 练习以一元二次方程解法为核心，分层设计从基础技能到综合应用，覆盖直接开平方法、配方法等解法，融入新定义运算、几何情境，培养运算能力与模型意识，适配新授课巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|解法辨析与直接应用|选择题1-4题考查解法选择，解答题18题系统训练四种解法，夯实运算能力| |提升层|新定义与几何应用|“凤凰方程”“倒根方程”等新定义题型（填空15、解答21），结合菱形周长（选择5），培养推理意识| |拓展层|跨学科与高阶思维|几何解法（解答24）融合历史数学方法，整体换元法（解答20）提升符号意识，发展创新思维|

2.2 一元二次方程的解法 一、选择题： 1.方程的解是(    ) A. B. ， C. ， D. 没有实数根 2.一元二次方程配方后可变形为(    ) A. B. C. D. 3.用公式法解方程所得的解正确的是(    ) A. B. C. D. 4.解下列方程：最适当的解法是(    ) A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C. 直接开平方法，公式法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 5.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为(    ) A. B. C. D. 或 6.已知方程的两个根分别是和，则可分解为  (    ) A. B. C. D. 7.（新定义运算）对于实数、，定义运算“”如下：，例如：若，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.若实数，满足，则关于的方程根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9.（作差比较法）已知，为任意实数，则，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 不能确定 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.当          时，代数式的值与代数式的值相等． 12.若，为实数，且满足，则代数式的值为          ． 13.（新定义运算）在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为:a☆b=+,a★b=,则方程2☆=★10的解为          . 14.当          ，          时，代数式取最小值          ． 15.（新定义运算）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则          ． 三、解答题： 17.不解方程，判断下列方程的根的情况：． ． 18.解方程：，，，． 你用了哪些方法求解中的方程 19.已知关于的一元二次方程．若方程有一个根为，求实数的值． 当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根请用配方法解方程，并求出的周长． 20.用整体换元法解特殊的一元二次方程． 【例】解方程：． 解：设，则原方程可化为，解得，． 当时，，解得；当时，，解得． 所以原方程的解为，．上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：； 已知，求的值． 21.如果关于的一元二次方程有两个实数根为，，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的“倒根方程”． 已知两个方程：方程          填“是”或“不是”方程的“倒根方程”． 请求出一元二次方程的“倒根方程”． 22.已知关于的一元二次方程．求证：无论取任何非零实数，该方程总有实数根 若平行四边形的两边，的长是已知方程的两个实数根，当为何值时，平行四边形是菱形求此菱形的边长． 23.定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． 判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由． 已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 24.（拔高题）一元二次方程的几何解法：在数学史上，我国及其他一些国家的古代数学家研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法Ⅰ三国时期数学家赵爽用个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形如图根据图的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根为          ． 方法Ⅱ阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形如图，利用“割”“拼”“补”的方式构造边长为的正方形如图， 根据图的构造，用不同的方式表示大正方形的面积，可以得到新的方程：          ，解得正根为          ． 实际上，对关于的方程，可以用方法Ⅰ、Ⅱ求出方程的正根若图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为，那么，此方程中的          ，求得方程的正根为          ． 类比图、图，请选择一种方法求方程的正根． 在图的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度 根据中的构图，可以得到新的方程：          ，解得正根为          ． 2.2 一元二次方程的解法 参考答案和解析 1. 2. 3. 4. 【解析】，没有一次项，适合用直接开平方法 ，一次项系数为奇数，适合用公式法 ，方程两边都有因式，适合用因式分解法 ，方程两边都有因式，适合用因式分解法． 故选D． 5. 6. 7. 8. 【解析】实数，满足，，，方程有两个不相等的实数根，故选B． 9. 【解析】 ， ， ， ， ，即． 故选C． 10.  11.  12.=1,=4 【解析】由题意,得2☆=+,★10=5x,2☆=★10,+=5x,整理,得-5x+4=0,移项,得-5x=-4,配方,得-5x+=-4+,即=,两边开平方,得x-=,=1,=. 13. 14. 【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，关键是熟练掌握：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．同时考查了学生的阅读理解能力．由是“凤凰”方程，可得，即，又因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，将代入，求出，再求出，则可求． 【解答】解：是“凤凰”方程， ，即． 又方程有两个相等的实数根， ， 将代入，得， 解得， ， ． 故答案为． 15.【小题】，方程有两个不相等的实数根． 【小题】，方程没有实数根． 16.【小题】解：解方程，得， 解方程，， 即，解得， 解方程，，解得， 解方程，，得， 所以，． 【小题】解：求解子题的方程用到的方法如下：直接开平方法，用于求解可整理为平方等于非负常数形式的方程；因式分解法，用于求解可分解为两个一次式乘积的方程；配方法或公式法，用于求解无法直接因式分解的方程。 17.【小题】方程有一个根为，，，或． 【小题】当时，方程为，配方，得，两边开平方，得，解得，． 当的底边长为时，该三角形的三边长为，其周长为 当的底边长为时，该三角形的三边长为，其周长为． 综上所述，的周长为或． 18.【小题】解：设，则原方程变形为，解得，当时，，解得；当时，，解得所以原方程的解为，． 【小题】将原方程两边都除以，得设，则原方程可化为，解得，，的值为或． 19.【小题】不是 【小题】方程的解为，． 的倒数为的倒数为， 以和为根的方程为， 整理，得，即一元二次方程的“倒根方程”为． 20.【小题】解：已知关于的一元二次方程， ， 无论取任何非零实数，该方程总有实数根． 【小题】平行四边形是菱形，， ，的长是已知方程的两个实数根， 方程有两个相等的实数根， ，， 一元二次方程为，解得， 此菱形边长为， 当时，平行四边形是菱形，此时菱形的边长为． 21.【小题】是理由如下：计算，得的一个根为，满足“黄金方程”的定义  【小题】． 22.【小题】 【小题】    若题图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的小正方形的面积为， ． 每个矩形的面积是，中间小正方形的面积是，得出大正方形的面积是， 大正方形的边长为，， 方程的正根为． 故答案为，． ，， 图中四个完全相同的矩形的边长如图，面积为． 根据中的图，得出新方程． 解得负根已舍去． 故答案为，．   【解析】  解：， ， 或舍去． 故答案为．  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $