12.1 分式培优 提升训练 2026-2027学年 冀教版八年级数学上册

**基本信息** 这份分式同步练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖分式概念、运算及应用，梯度合理，助力新授课知识内化与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|最简分式、分式值变化、基本变形|选择题1-5、填空题9-10，直接考查概念辨析与基础运算，培养抽象能力| |能力提升|分式值为0/无意义条件、约分、规律探究|选择题6-8、填空题11-12、解答题13-15，结合运算与简单推理，发展运算能力| |综合拓展|和谐分式、假分式化归、跨知识点应用|解答题16-18，通过新定义与规律探究，提升推理意识与数学语言表达能力|

12.1分式培优提升训练 一、选择题 a+2 a-b 4a 1 1.分式a+3'a2-b'12(a-b)'x-2中，不是最简分式有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 x+y 2.将分式y中的x,y都乘2，则分式的值() 1 A.缩小为原来的2 B.不变 C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍 3.下列变形正确的是() 4乡湖 B.D=b-3 a_a-3 xx(x-2) a a'b C.yy(y-2) D.6a6(a≠0) -1 4.若式子x+1无意义，则x的值为() A.±1 B.1 C.-1 D.0 x-2 5.若分式x-2的值为0，则x应满足的条件是(） A.x=-2 B.x=2 C.x≠-2 D.x≠2 6已如。-是-如+2-30.则总12位方) 3b+2d-1 1 1 A.6 B.3 C. 2 D.3 t 1 1 6.已知a+i,a1-9. 43= ,,1-a(n为正整数，且1≠0，-l 1-a2,…, a1a2'a3…a2025 ),则用含t的式子表示 的结果为() A.1 B.i c.-1 D.-t+1 8.已知：M=x+2 N=4x 2， r+2,设y三+N时，若r是正整数，求y的正整数值为 () A.12或14 B.15或13 C.12或15 D.12或13 二、填空题 6 9.若整数m使1+m为正整数，则心的值为 x2-4 10.若分式x-2的值为0，则x的值为一 11.己知4 4a,21-a 1 1 5, 一a4二1二a3,.,以此类推，则a2o25的值为 a21-a, 0.3x-1 12.不改变分式0.2x+2的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为一· 三、解答题 13.约分 2abx (1)ac ax+bx (②)a-b 3a2+6ab+3b2 (3)a2-b2 14.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个 分式为“和谐分式”.如： x+1_x-1+2x-1,2 7142 x-1x-1x-1x-1 x-1 a2-2a+3_(a-l)+2 a-1 a-1 =a-1+2 a-1, x+1a2-2a+3 则一和a1都是“和谐分式”· (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： 、 (填序号)： x+2x-4x+2y2+1 ①x；②4：③x+1;④y2 x2-6x-2 (2)将“和谐分式”x-3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x2-6x-2 (3)当x取什么整数时，“和谐分式”x-3的值为整数？ 15.用数学的眼光观察 ①等式： (+=+2+=-2+日 1 ②若+4，求代数式x+的值. 解：因为1所y4,所以天士4，所山 x 1 xx 用数学的思维思考并表达： (1)填空： a+{a- 1)2 2若a+a =20 0,求a-a的值： x 1 x (3)已知x2-3x+12,求x+2x2+1的值. 3 1 16.我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：2=1+2·在分式中，对 于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例 22x 如：-2，x+:当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例 如：，2·类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如 x+1-0+2-=+2-1+2 一十 x-1x-1x-1x-11fx-1 ￥_2-4+4_x-2x+2)+4=x+2+4 x-2x-2 x-2 -2 (1)请根据以上信息，任写一个真分式： x-1 (②)将分式x-2化为整式与真分式的和的形式： 3x2-1 (3)如果分式x+1的值为整数，求x的整数值. 4 3x-6 17.(1)当x取什么值时，分式2x+i的值为0： 2x+1 (2)当x取什么值时，分式x的值为正； x-2 (3)当x取什么值时，分式x2的值为负. 18.(1)观察下列命题完成填空： 1,14 11 ①若。+方a+b,则有a=b或ab, 1.26 12 ②若。+a+b,则有a=b或ab' .1.38 13 ③若。+6a+b,则有a=b或ab, 1410 14 ④若。+方a+b,则有a=b或a6, … 1,2025（) 按规律猜想：若aba+b(括号内为_)，则有a=b或一： m n k m n (2)若把(1)中命题改为：“若a+ba+b,则有a=b或ab”仍然成立，猜想 ,n,k应满足的等量关系式为一，并证明该命题成立： m (3)对于(2)中的L,,k(mnk≠0)，若满足m2=n2+k2,求n的值。 J 参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C 二、填空题 9.0,1,2,5 10.-2 1 1.-4 3x-10 12.2x+20 三、解答题 2abx_ax·2b_2b 13.【解】(1) acx2 a·cxcx ax+bx (a+b)x (2)a2-b-(a+b)(a-ba-b 3a2+6ab+3b23(a+b}3a+3b (3)a2-b (a+b)(a-b)a-b x+2=+2=1+2 14.【解】(1)解：①x=xx x-4-4--1: ②4=444 x+2-+lt1=1+ ③x+1x+1x+1Tx+1 6 y2+1y2,1 1 @+1+， ∴.①③④是“和谐分式”· 故答案为：①③④ x2-6x-2 (2)解：x-3 =x2-6x+9-11 x-3 =(x-3)}2-11 x-3 =x-311 x-3x-3, =x-3-11 x-3: 故答案为：x-3-1山 x-3· -6x=2=x-3- (3)解：x-3 x-3的值为整数， 11 :当x为整数时，x-3的值也要为整数， 当x-3=±1或x-3=11时，分式的值为整数， ∴.x=4或x=2或x=14或x=-8, x2-6x-2 即当x的值为4或2或14或-8时，“和谐分式”x-3的值为整数. B.m =2+*2-日 =4, 7 故答案为：4： .12 a+ =20 (2)解：a 《 1 a+2+7=20 1 a+-18, +a京=18-2=16 1 a-=4 a 1 (3)解：x2-3x+12’ 2-3x+1=2, 1 .x+二=5 =52 2 +2+2+, 由x2 1 :+2+京=23+2=25 x2 1 x4+2x2+125 16.【解】(1)解：当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” 3 ∴分式x-2是真分式， 8 3 故答案为：x-2(答案不唯一)； x-1 (2)解：x-2 =x-2+1 x-2 1*1 x-2: 3x2-1 (3)解：x+1 3x2-3+2 =x+1 3(x2-1+2 x+1 3(x+1)(x-1)+2 x+1 =3(x-1)+2 +1 ,分式的值为整数，x为整数， .x+1=±1或x+1=±2， 解得x=0或x=-2或x=1或x=-3, 3x2-1 当x=0或x=-2或x=1或x=-3时，分式+的值为整数。 17.【解】解：(1)由3x-6=0,得x=2, 当x=2时，2x+1≠0： 3x-6 “当x=2时，分式2x+i的值为0： 2x+1 (2)由分式2的值为正，得2x+1与x2同号， x≠0， 0 .x2>0, .2x+1>0, 解行：月 x-2 (3)由分式x2的值为负，得x-2与x2异号， .x≠0， .x2>0, .x-2<0, 解得：x<2, 114 18.【解】解：(1)对于a6a+b,等式右边分母为a+b,分子4=1+1+2： 126 对于。+方a+6,等式右边分母为a+b,分子6=1+2+3： 1,38 对于。+6a+6,等式右边分母为a+b,分子8=1+3+4： 1,410 对于a6a+b,等式右边分母为a+b?分子10=1+4+5： …。 +”_1+n+(n+ 若 a b a+b 1,20251+2025+2026_4052 12025 故a+b a+b a+b, 则有a=b或a=b 12025 故答案为：4052，ab 1,n_1+n+(n+1)_2×1+2n (2)证明：由(1)可知a'ba+b a+b, k=2m+2n=2(m+n) 猜想： 10 m,n。k ab-a+b m n bm+an k ·a+6= ab a+b' ..(a+b)(an+bm)=kab .'a'n abm+abn+b'm=kab, na'+(m+n-k)ab+mb2=0 ma+(m+n-2m-2n)ab+mb0 .na-(m+n)ab+mb=0 :.(a-b)(na-mb)-O 则a-b=0或na-mb=0, m n 即a=b或ab (3)k=2(m+川且m2=㎡2+2 将k=2(m+川）代入m=n+中， 得到：m=n2+4(m+n} m2=n2+4(m2+2mn+n2） m2=n2+4m2+8mn+4n2 整理得：3m2+8mn+5n2=0 即(3m+5m)(m+n)=0 ∴.3m+5n=0或m+n=0. 11 当3m+5m=0时，3m=-5n,则n=-3 当+=0时，m三为员= 分1 12