专题04 分式与分式方程的实际应用问题9大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 聚焦分式与分式方程实际应用，以题型分类为框架，构建从基础运算到综合问题的递进式训练体系，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-28题|涵盖分式加减乘除应用、方程建模，聚焦行程/工程/经济等高频场景|从代数运算到实际问题抽象，形成"运算-建模-求解-检验"完整逻辑链| |综合拓展|29-42题|结合新定义、跨场景综合题，突出参数化表达与分类讨论|深化分式方程与函数、不等式的联系，培养数学抽象与推理能力|

专题04 分式与分式方程的实际应用问题 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程的实际应用问题 题型一、分式加减的应用 题型二、分式乘除的应用 题型三、列分式方程 题型四、分式方程的行程问题（高频） 题型五、分式方程的工程问题（高频） 题型六、分式方程的经济问题（高频） 题型七、分式方程和差倍分问题 题型八、分式方程的其他实际问题 题型九、分式方程的新定义应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程的实际应用问题 ◆题型1 分式加减的应用 1．受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． (1)分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． (2)若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 【答案】(1)调价前行驶路程为千米，调价后行驶路程为千米 (2)调价后每月所需总费用更高，嘉嘉爸爸的观点不正确 【分析】（1）先根据“加油量总价单价”求出加油量，再乘以每升汽油行驶路程得到总路程； （2）先根据总路程求出所需汽油总量，再乘以单价得到每月总花费，通过比较大小判断观点是否正确，用到不等式的基本性质比较大小． 【详解】（1）解：已知汽油原价为元/升，总花费200元，可得调价前加油量为升， 已知每升汽油行驶千米， 因此总行驶路程为千米； 上调后价格为元/升，总花费200元，可得调价后加油量为升， 因此总行驶路程为千米； （2）解：已知每月总路程为千米，可得每月需要汽油升， 调价前每月总费用为：元， 调价后每月总费用为：元， 已知，，， 因此， 可得， 即调价后每月花费更高， 因此嘉嘉的爸爸的观点不正确． 2．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 【答案】(1)， (2)“丰收2号”小麦的单位面积产量高， 理由：，     ，     由图丙可得     .     所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 【分析】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为    故答案为：，； （2）略 3．甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以a（千米/时）的速度行走，另一半路程以b（千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a（千米/时）的速度行走，另一半时间以b（千米/时）的速度行走，其中． (1)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (2)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (3)请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)乙先到达户外拓展中心；理由见解析 【分析】本题考查列代数式，分式的值大小比较，分式混合运算的应用，根据路程、速度、时间之间的关系列出式子是解题的关键． （1）根据时间=路程÷速度，甲有一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走，可表示出；根据路程=速度×时间，乙有一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，可得，即可表示出； （2）根据速度＝路程÷时间即可表示出，； （3）运用求差法比较与的大小即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴． （2）解：， ． （3）解：∵， 又，a、b为正数， ∴，， ∴，即， ∴， ∴乙先到达户外拓展中心． 4．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）； （2）； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3）略 ◆题型2 分式乘除的应用 5．某小区为了进一步美化环境，物业计划安排绿化施工队在小区里的一块空地上种植棵树，若甲队单独完成，则需要天，若乙队单独完成，则需要的时间比甲队的2倍多1天，则甲队平均每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由． 【答案】甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如见解析 【分析】此题考查了分式的乘除运算，解题的关键是读懂题意列出式子．由题意可知，甲队平均每天植树的棵数为，乙队平均每天植树的棵数为，再作商比较即可． 【详解】解：甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如下： 由题意可知，甲队平均每天植树的棵数为，乙队平均每天植树的棵数为， 则， ， ， ， 甲队平均每天植树的棵数不是乙队的3倍． 6．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【答案】(1)， (2)甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为 【分析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键． （1）根据路程速度和时间，列出方程即可求解； （2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为，结合路程速度和时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，； （2）， ． 所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为． 7．某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、． (1)比较甲、乙两块草坪面积的大小； (2)求甲、乙两块草坪的面积的比． 【答案】(1) (2)甲、乙两块草坪的面积的比为 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，完全平方公式，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． （1）根据题意分别表示出、，然后作差求解即可； （2）列式根据分式的性质化简即可． 【详解】（1），； ， ， ， ； （2）． 所以甲、乙两块草坪的面积的比为． 8．如图①、②所示，A品种小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，B品种小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)哪种小麦的单位面积产量高? (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 【答案】(1)品种小麦的单位面积产量高 (2)品种小麦的单位面积产量是品种小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）解：品种小麦的试验田面积是，则单位面积产量是， 品种小麦的试验田面积是，则单位面积产量是， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴品种小麦的单位面积产量高； （2） ， 即：品种小麦的单位面积产量是品种小麦的单位面积产量的倍． ◆题型3 列分式方程 9．中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原计划每日行 ，根据时间路程速度，结合实际比原计划提前1日到达的等量关系，列出分式方程即可． 【详解】解：设运输这批公粮原计划每日行 ，则实际每日行 ， 可得原计划所需天数为，实际所需天数为， ∵实际比原计划提前1日到达，即原计划天数比实际天数多， ∴． 10．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据工作时间等于工作总量除以工作效率，以及比原计划提前15天完成任务，列出分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天改造管网米，由题意，得： ； 故选D． 11．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是__________________． 【答案】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 12．列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 (2)a的值为5 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【详解】（1）解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． （2）解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． ◆题型4 分式方程的行程问题 13．长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 【答案】(1)佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟 (2)珍珍先到达园博园 【分析】（1）本题属于行程问题，利用两人同时到达即行驶时间相等的等量关系建立分式方程求解，需注意单位统一及分式方程的检验． （2）本题通过因式分解化简两人的速度表达式，设路程为正数，计算两人行驶时间的差，结合的条件判断差的正负，从而确定谁的行驶时间更短，进而判断谁先到达． 【详解】（1）解： 将路程单位统一，， ， 设珍珍的速度为米/分钟，则佳佳的速度为米/分钟 根据两人行驶时间相等，列方程 得 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则佳佳的速度为米/分钟， 答：佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟． （2）解： 设博物馆到园博园东门的路程为，其中 珍珍的骑车速度为千米/时， 珍珍的行驶时间 ， 佳佳的行驶时间 ， ， 因为，， 所以，， ， 因此，即 ， 答：珍珍先到达园博园． 14．如图，已知三地在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地． (1)设甲的速度为，完成下表； 路程 速度 时间 甲 ________ 乙 ________ ________ (2)求甲、乙的速度； (3)若甲、乙的速度比是，其他条件不变，结果谁先到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)甲用的时间比乙长，即乙先到达目的地，见解析 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，分式运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式，填表即可求解； （）根据题意列方程得，然后解方程并检验即可； （）设甲的速度为，乙的速度为，则，所以，从而求解． 【详解】（1）解：设甲的速度为，完成下表； 路程 速度 时间 甲 乙 故答案为：，，； （2）解：根据题意列方程，得， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴，， 答：甲的速度为，乙的速度为； （3）解：乙先到达； 理由：设甲的速度为，乙的速度为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴甲用的时间比乙长，即乙先到达目的地． 15．某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为元，后又临时增加名同学，同时团费变为了元，实际的人均费用是原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米/时． 【答案】(1)该学习小组实际参观博物馆的同学有人 (2)他们参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． （1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，根据“实际的人均费用只为原来的人均费用的”列方程求解即可； （2）设他们参观“特色数字化体验”部分的平均速度为千米/时，则参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，根据整个参观学习过程共小时，即可列方程求解． 【详解】（1）解：设该学习小组实际参观博物馆的同学有人. 根据题意得， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该学习小组实际参观博物馆的同学有人； （2）解：设他们参观“特色数字化体验”部分的平均速度为千米/时， 根据题意得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， （千米/时）. 答：他们参观“经典讲解”部分的平均速度为千米时． 16．【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 (1)设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． (2)请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． 【答案】(1)①；②, (2)16千米/时 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验．（1）①设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，可得出答案；②用代数式分别表示出骑车学生总共用的时间及乘汽车的学生总共用的时间分别为；，； （2）根据题意可得等量关系：骑自行车同学所用时间-乘汽车同学所用时间=30分钟，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：①设骑车学生的速度为x千米/小时， 根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，得出汽车的速度为千米/小时， 故答案为：； ②根据题意，可得骑车学生总共用的时间为小时， 乘汽车的学生总共用的时间为小时． 故答案为：，； （2）解： 由题意得：， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， ∴原方程的解为． 答：骑车同学的速度为16千米/小时． ◆题型5 分式方程的工程问题 17．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ 【答案】6 【分析】根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】解：设原计划完成这批零件的时间是天， 由题意得， 解得， 检验：是原分式方程的解且符合实际意义， 答：原计划完成这批零件的时间是6天． 18．某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 【答案】(1) (2) (3)方案③最节省费用 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为； （2）解：由题意，列方程得，，           化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴． （3）解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用． 19．我省是小麦种植大省，某地为保证农户冬小麦种植工作平稳完成，当地政府组织农户对720亩小麦田统一播种，原计划租用一台中型播种机完成播种任务，但是因天气原因需提前3天完成，政府最终租用一台大型播种机播种，这台大型播种机的播种效率为中型播种机播种效率的1.5倍，且刚好按时完成． (1)大型播种机一天可播种多少亩小麦田？ (2)当地政府计划对本区域内另一处2400亩小麦田也进行统一播种，若使用同款大型播种机，计划在6天内完成播种．问政府至少需要租用多少台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务？ 【答案】(1)大型播种机一天可播种120亩小麦田 (2)政府至少需要租4台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务 【分析】本题考查了列分式方程和不等式解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设中型播种机一天播种亩小麦田，则大型播种机一天播种亩小麦田，根据题意列分式方程，并求解检验即可； （2）设政府需要租台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）（1）解：设中型播种机一天播种亩小麦田，则大型播种机一天播种亩小麦田． 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答：大型播种机一天可播种120亩小麦田． （2）解：设政府需要租台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务． 依题意得 解得． 为整数， 的最小值为4． 答：政府至少需要租4台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务． 20．为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的倍，用这条自动分拣流水线分拣件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时． (1)这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)新年将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条该型号的自动分拣流水线？ 【答案】(1)这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹． (2)至少应再购买条该型号的自动分拣流水线． 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用； （1）设一名工人每小时能分拣件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设再购买该型号的自动分拣流水线条， 列出不等式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设一名工人每小时能分拣件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹， 由题意得，解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹． （2）解：设再购买该型号的自动分拣流水线条，由题意得 解得 ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：至少应再购买2条该型号的自动分拣流水线． ◆题型6 分式方程的经济问题 21．知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． (1)求，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 【答案】(1)种图书每本进价是元，种图书每本进价是元 (2)至多购进种图书本 【分析】（1）设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元，根据“用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本”列方程求解即可； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据“销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元”列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴种图书每本进价是元，种图书每本进价是元； （2）解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大整数为， ∴至多购进种图书本． 22．【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 【答案】(1)用1500元购进种机器人玩具数量为个，购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个 (2)至少购进A种机器人玩具40个 【分析】（1）根据题意可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列出分式方程并求出x的值，再检验是否符合题意，即可求解； （2）设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意列出一元一次不等式，求出a的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列方程，得 ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个． （2）解：设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意，得， 解得， 答：至少购进A种机器人玩具40个． 23．绫绢扇是中国传统手工艺品四大名扇之一，起源于商周时期．该扇以绫、绢等轻薄丝织物为扇面，配以竹、木等材质的框架和彩带沿边的工艺制作，形制丰富，常被当作承载传统文化的伴手礼，成为连接古今审美、展现中式雅致生活的载体． 某文创店销售甲、乙两种绫绢扇，下面是小刚和小明的对话： 根据上述对话，解决下列问题： (1)求甲、乙两种绫绢扇的单价； (2)某学校准备在该文创店购买甲、乙两种绫绢扇共把，花费不超过元，求该校最多可以购买多少把乙种绫绢扇？ 【答案】(1)甲种绫绢扇的单价是元，乙种绫绢扇的单价是元 (2)学校最多可以购进乙种绫绢扇把 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设甲种绫绢扇的单价是元，则乙种绫绢扇的单价是元，根据花元购进甲种绫绢扇的数量是花元购进乙种绫绢扇数量的倍，列方程求解； （2）学校购进乙种绫绢扇把，则购进甲种绫绢扇把，根据 【详解】（1）解：设甲种绫绢扇的单价是元，则乙种绫绢扇的单价是元， 根据花元购进甲种绫绢扇的数量是花元购进乙种绫绢扇数量的倍， 得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲种续绢扇的单价是元，乙种绫绢扇的单价是元； （2）解：设学校购进乙种绫绢扇把，则购进甲种绫绢扇把， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的最大值为， 答：学校最多可以购进乙种绫绢扇把． 24．某电器商店会计在整理进货单时发现甲、乙两种电器的进货单被墨水污染．表格是残缺的进货单． 商品采购员回忆采购情况如下： 采购员小李；每台甲电器进价比每台乙电器进价高， 采购员小张：甲电器的采购数量比乙电器的采购数量多4台． 请你求出每台乙电器的进价，并帮助会计补全进货单． 商品名称 进价（元/台） 数量（台） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 【答案】乙电器的进价为400元/台，表格见解析． 补全进货单如下表． 商品名称 进价（元/台） 数量（台） 总金额（元） 甲 600 12 7200 乙 400 8 3200 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙商品的进价为x元/台，则甲商品的进价为元/台，根据数量＝总价÷单价结合甲电器的采购数量比乙电器的采购数量多4台，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入，，中即可得出结论． 【详解】解：设乙电器的进价为x元/台，则甲电器的进价为元/台， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， ∴（元/台）， （台），（台）． ◆题型7 分式方程和差倍分问题 25．在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 【答案】(1)甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 (2)新建乙种技术沼气池至少4个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨． （2）设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个． 26．“喜迎元旦，灯暖人心”实践活动策划方案如下： 实践背景 某学校计划在元旦期间采购彩纸和竹篾制作莲花灯送给社区老人． 信息 每包彩纸比每捆竹篾贵元，用元能买到的彩纸包数是用元能买到的竹篾捆数的倍． 任务 嘉琪设____■______，依题意，得方程．淇淇设彩纸每包元，依题意，得方程____▲______． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小莲花灯或制作个大莲花灯，并且制作个小莲花灯的天数和制作个大莲花灯的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小莲花灯的个数． (1)①任务中“■”处的内容为_____，“▲”处的内容为_____． ②彩纸每包_____元，竹篾每捆_____元． (2)解答任务中的问题． 【答案】(1)①用元买到的竹篾捆数为；②； (2)嘉琪每天可以制作小莲花灯个 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）①根据题意可得“■”处的内容为用元买到的竹篾捆数为；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （2）根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：①用元买到的竹篾捆数为；． ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 彩纸每包元，竹篾每捆元； （2）由题意列分式方程，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 嘉琪每天可以制作小莲花灯个． 27．利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于的分式方程； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本，利用等量关系：科普书单价=文学书单价×，即可得出关于的分式方程； （2）设购进科普书本，则购买本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 28．为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 【答案】(1)学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆 (2)九折 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程． （1）由题意：用4000元全部购进A种盆栽的数量比用4000元全部购进B种盆栽的数量少100盆，列出分式方程，解方程即可； （2）根据“学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设B种盆栽的单价为x元，则A种盆栽的单价为元，根据题意，A的数量比B少100盆，则： ， 解得， 故B的单价为20元，A的单价为40元； A的数量：盆，B的数量：盆； 答：学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆； （2）解：3月份A的数量为盆，B的数量为盆， 设A打d折，则A的单价为元，总费用为元， 根据总费用关系得：， 整理得：， 解得：， 所以，种盆栽打了九折． ◆题型8 分式方程的其他实际问题 29．将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1) 解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）略 （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 30．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车 燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50 油价：6.6元/ 电价：0.36元/ 续航里程： 续航里程： 备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离． (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】(1)元；元 (2)燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元 (3)超过3000 【分析】本题考查代数式表示，分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据最大燃料储备时所用总费用除以其续航里程，以及充满电时所用总费用除以其续航里程，列式表示即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，建立方程求解，进而算出这两款车的每千米行驶费用，即可解题； （3）设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，结合“年费用年行驶费用年其他费用”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 故答案为：元，元； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元， ， 解得， 经检验，使得， 是该方程的解， 燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； （3）解：设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过3000千米时，买新能源车的年费用更低． 31．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 32．班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；②每年行驶超过千米，买新能源车的年费用更低 【分析】（）用总电价除以续航里程列出代数式即可； （）①根据题意列出分式方程，解方程求出的值，进而即可求解；②设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可求解； 本题考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为； （2）解：①由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴，； 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； ②解：设每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． ◆题型9 分式方程的新定义应用 33．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 34．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【答案】(1)①③； (2)为“勤业式”，理由见解析； (3)x的值为0或1或． 【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴为“求真式”，故①符合题意， ∵ ∴为“勤业式”， 故②不符合题意， ∵， ∴即， ∴为“求真式”， 故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）解：为“勤业式”，理由如下： ∵， ∴， ∴为“勤业式”； （3）解：∵，，且x为整数， ∴ ∵为“至善式”， ∴的值为整数，即为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得或（舍去）或或， ∴x的值为0或1或． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 35．定义：若分式有意义，且满足，则称b是a的一个“优数”，并规定a的所有优数b的取值范围叫做a的“优数界”．例如：当时，由且，解得，所以3的“优数界”为． （1）当时，则的“优数界”为______． （2）已知分式方程的解为，若是m的一个“优数”，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】（1）根据定义，列出不等式组且，分情况解分式不等式； （2）先解分式方程，用含的式子表示，同时注意分母不为0；再根据“是的一个“优数”，结合优数定义列出不等式组，求解范围． 【详解】解：（1）由题意得： ， ：分子，分式值大于，说明分母； ：移项得， ， ， ， 已知，要使，则分子，即， 综上，的“优数界”为． （2）解分式方程， 两边同乘： ， 展开整理： ， ， ， 分式分母不为0：，即， ， ， 由“是的优数界”， 设，根据定义： ， ， 条件1：， ， （与分母限制一致）； 条件2：，代入： ， ， 即， 由①知与同号， 情况1：， ， ， 解②， ， ， 无解； 情况2：， ， ， ， ， ， 解得， 综上，． 36．新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．阅读以上材料，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则 ， ； (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 【答案】(1)，（顺序可互换） (2) (3) 【分析】（1）令两数之和等于，两数之积等于15即可； （2）根据定义得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形计算所求代数式； （3）先将原方程变形凑出十字分式方程的形式，得到，的表达式，代入所求式子约分化简得到结果． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”，可化为， ，．（顺序可互换） （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ，， ； （3）解：， ， ， ，且， ， ，， ，， ． 综合攻坚·知能拔高 1．某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员张阿姨和仓库保管员李师傅对采购情况回忆如下： 张阿姨：我记得甲商品每件进价是乙商品每件进价的倍； 李师傅：甲商品比乙商品的数量少20件． (1)请你求出乙商品的进价； (2)请帮他们补全进货单． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 4500 乙 3600 【答案】(1)乙商品的进价为元/件 (2) 补全进货单如下 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲                                     乙                                     【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据“甲商品比乙商品的数量少件”这一数量关系，建立关于进价的分式方程． （1）设乙商品的进价为未知数，用总金额除以进价表示两种商品的数量，根据数量差列方程求解； （2）利用（1）的结果，分别计算甲、乙商品的进价与数量，补全进货单． 【详解】（1）解：设乙商品的进价为元/件，则甲商品的进价为元/件， 根据题意得， 化简，得， ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙商品的进价为元/件． （2）解：甲商品的进价为（元/件）； 甲商品的数量为（件）； 乙商品的数量为（件）． 2．学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下： 分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？ 嘉嘉：；琪琪： 根据以上信息，解答下列问题： (1)选择题：嘉嘉同学所列方程中的表示________，琪琪同学所列方程中的表示________； A．甲队每天修路的长度；    B．乙队每天修路的长度； C．甲队修路400米所用的时间． (2)你喜欢________列的方程，解出你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)A，C； (2) 嘉嘉： ， 即， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲队每天修路的长度为40米． 故答案为：嘉嘉； 琪琪： ， 即 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天修路的长度为40米． 故答案为：琪琪． 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）根据分式方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉所列方程的等量关系为：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等， 则x表示甲队每天修的长度； 琪琪所列方程的等量关系为：乙队每天比甲队多修20米， 则y表示甲队修路400米所用的时间； 故答案为：A，C； （2）略 3．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买16个型号的纪念品． 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意“用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据“所花费用不超过6300元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买16个型号的纪念品． 4．为了深入开展“五育并举，书法进校园”，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔字帖和毛笔字帖作为奖品发给在比赛活动中获奖的学生，下表是购买的相关信息： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：1.2x元/本 购买数量： 本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量： 本． (1)请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）； (2)已知购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本，求钢笔字帖和毛笔字帖的单价分别是多少元？ (3)如果学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖共80本，求最多购买钢笔字帖多少本？ 【答案】(1) 解：补全表中的购买数量如下： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：元/本 购买数量：本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量：本． (2)毛笔字帖的单价是30元， 钢笔字帖的单价是25元 (3)该校最多购买钢笔字帖30本 【分析】本题考查了列代数式、分式方程的应用一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的数量关系是解题的关键． （1）根据数量等于钱数除以单价列代数式即可； （2）根据购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本列方程求解即可； （3）设该校购买钢笔字帖m本，则购买毛笔字帖本，根据学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，． 解得． 经检验，为原方程的解， 所以原方程的解为． 所以． 答：毛笔字帖的单价是30元， 钢笔字帖的单价是25元． （3）解：设该校购买钢笔字帖m本，则购买毛笔字帖本，由题意可得， ， 解得． 答：该校最多购买钢笔字帖30本． 5．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件； （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：． 6．野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； (2)至少购进B品牌100袋． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据“该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同”，列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进B品牌为m袋，A品牌为袋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得． 经检验：是原方程的解． （元）． 答：A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； （2）解：设购进B品牌为m袋，A品牌为袋， 由题意，得， 解得． 答：至少购进B品牌100袋． 7．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【答案】(1)这项工程的规定时间是30天 (2)甲、乙两队合作完成该工程需要18天 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意列方程即可解答； （2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是30天； （2）解：由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 由题意得，（天）， 答：甲、乙两队合作完成该工程需要18天． 8．中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 【答案】(1)乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元 (2)甲种月饼至少购进68盒 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元，列分式方程求解后检验即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元， 由题意得：， 解得：． 检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ． 答：乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元； （2）解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： 解得： 为整数 答：甲种月饼至少购进68盒． 9．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 10．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个. （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ， ∵为整数， ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 11．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】(1)乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 (2)甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况． （1）根据单价、质量、总价的关系填写表格； （2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价； （3）先分别表示出和，再分析的最大值． 【详解】（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； （2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； （3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 12．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 【答案】(1) (2)三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元 (3)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设三月A型号手机每台售价为元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解； （2）根据数量等于总价除以单价，结合三、四月份A型号手机的销售量相等，即可得出关于的分式方程，解方程后检验是否为增根得出答案； （3）根据总利润等于单台利润乘以销售数量，即可求出获得的总利润． 【详解】（1）解：设三月A型号手机每台售价为x元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元． （3）解：总利润为： ， ， 元． 答：若将这台手机全部售出共获得元利润． 13．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 14．中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 【答案】(1)的值为 (2)有三种方案：方案一：安排工人人，机器人人；方案二：安排工人人，机器人人；方案三：安排工人人，机器人人 【分析】本题考查分式方程和不等式组的应用； （1）根据“一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍”列关于a的分式方程解题即可； （2）设安排工人x人，根据题意列不等式组求出x的取值范围，根据整数解得到方案即可． 【详解】（1）解：根据题意列方程得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； 答：的值为． （2）解：设安排工人x人，则： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x可取，，， 故有三种方案： 方案一：安排工人人，机器人人； 方案二：安排工人人，机器人人； 方案三：安排工人人，机器人人． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式与分式方程的实际应用问题 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程的实际应用问题 题型一、分式加减的应用 题型二、分式乘除的应用 题型三、列分式方程 题型四、分式方程的行程问题（高频） 题型五、分式方程的工程问题（高频） 题型六、分式方程的经济问题（高频） 题型七、分式方程和差倍分问题 题型八、分式方程的其他实际问题 题型九、分式方程的新定义应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程的实际应用问题 ◆题型1 分式加减的应用 1．受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． (1)分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． (2)若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 2．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） (1)“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量 ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量 ． (2)哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 3．甲、乙两位同学同时从学校沿同一路线到离学校2千米的户外拓展中心参加活动．甲同学有一半路程以a（千米/时）的速度行走，另一半路程以b（千米/时）的速度行走；乙同学有一半时间以a（千米/时）的速度行走，另一半时间以b（千米/时）的速度行走，其中． (1)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的时间分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (2)设甲、乙两位同学从学校走到户外拓展中心的平均速度分别为，，用含a，b的式子分别表示，； (3)请你判断哪位同学先到达户外拓展中心？请说明理由． 4．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ ◆题型2 分式乘除的应用 5．某小区为了进一步美化环境，物业计划安排绿化施工队在小区里的一块空地上种植棵树，若甲队单独完成，则需要天，若乙队单独完成，则需要的时间比甲队的2倍多1天，则甲队平均每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由． 6．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 7．某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、． (1)比较甲、乙两块草坪面积的大小； (2)求甲、乙两块草坪的面积的比． 8．如图①、②所示，A品种小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，B品种小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)哪种小麦的单位面积产量高? (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? ◆题型3 列分式方程 9．中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 10．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 11．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是__________________． 12．列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． ◆题型4 分式方程的行程问题 13．长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 14．如图，已知三地在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地． (1)设甲的速度为，完成下表； 路程 速度 时间 甲 ________ 乙 ________ ________ (2)求甲、乙的速度； (3)若甲、乙的速度比是，其他条件不变，结果谁先到达目的地？请说明理由． 15．某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为元，后又临时增加名同学，同时团费变为了元，实际的人均费用是原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米/时． 16．【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 (1)设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． (2)请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． ◆题型5 分式方程的工程问题 17．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ 18．某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 19．我省是小麦种植大省，某地为保证农户冬小麦种植工作平稳完成，当地政府组织农户对720亩小麦田统一播种，原计划租用一台中型播种机完成播种任务，但是因天气原因需提前3天完成，政府最终租用一台大型播种机播种，这台大型播种机的播种效率为中型播种机播种效率的1.5倍，且刚好按时完成． (1)大型播种机一天可播种多少亩小麦田？ (2)当地政府计划对本区域内另一处2400亩小麦田也进行统一播种，若使用同款大型播种机，计划在6天内完成播种．问政府至少需要租用多少台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务？ 20．为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的倍，用这条自动分拣流水线分拣件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时． (1)这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)新年将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条该型号的自动分拣流水线？ ◆题型6 分式方程的经济问题 21．知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． (1)求，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 22．【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 23．绫绢扇是中国传统手工艺品四大名扇之一，起源于商周时期．该扇以绫、绢等轻薄丝织物为扇面，配以竹、木等材质的框架和彩带沿边的工艺制作，形制丰富，常被当作承载传统文化的伴手礼，成为连接古今审美、展现中式雅致生活的载体． 某文创店销售甲、乙两种绫绢扇，下面是小刚和小明的对话： 根据上述对话，解决下列问题： (1)求甲、乙两种绫绢扇的单价； (2)某学校准备在该文创店购买甲、乙两种绫绢扇共把，花费不超过元，求该校最多可以购买多少把乙种绫绢扇？ 24．某电器商店会计在整理进货单时发现甲、乙两种电器的进货单被墨水污染．表格是残缺的进货单． 商品采购员回忆采购情况如下： 采购员小李；每台甲电器进价比每台乙电器进价高， 采购员小张：甲电器的采购数量比乙电器的采购数量多4台． 请你求出每台乙电器的进价，并帮助会计补全进货单． 商品名称 进价（元/台） 数量（台） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 ◆题型7 分式方程和差倍分问题 25．在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 26．“喜迎元旦，灯暖人心”实践活动策划方案如下： 实践背景 某学校计划在元旦期间采购彩纸和竹篾制作莲花灯送给社区老人． 信息 每包彩纸比每捆竹篾贵元，用元能买到的彩纸包数是用元能买到的竹篾捆数的倍． 任务 嘉琪设____■______，依题意，得方程．淇淇设彩纸每包元，依题意，得方程____▲______． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小莲花灯或制作个大莲花灯，并且制作个小莲花灯的天数和制作个大莲花灯的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小莲花灯的个数． (1)①任务中“■”处的内容为_____，“▲”处的内容为_____． ②彩纸每包_____元，竹篾每捆_____元． (2)解答任务中的问题． 27．利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 28．为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ ◆题型8 分式方程的其他实际问题 29．将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 30．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车 燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50 油价：6.6元/ 电价：0.36元/ 续航里程： 续航里程： 备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离． (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用） 31．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 32．班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：____元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) ◆题型9 分式方程的新定义应用 33．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 34．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 35．定义：若分式有意义，且满足，则称b是a的一个“优数”，并规定a的所有优数b的取值范围叫做a的“优数界”．例如：当时，由且，解得，所以3的“优数界”为． （1）当时，则的“优数界”为______． （2）已知分式方程的解为，若是m的一个“优数”，则m的取值范围为______． 36．新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．阅读以上材料，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则 ， ； (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 综合攻坚·知能拔高 1．某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染． 商品采购员张阿姨和仓库保管员李师傅对采购情况回忆如下： 张阿姨：我记得甲商品每件进价是乙商品每件进价的倍； 李师傅：甲商品比乙商品的数量少20件． (1)请你求出乙商品的进价； (2)请帮他们补全进货单． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 4500 乙 3600 2．学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下： 分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？ 嘉嘉：；琪琪： 根据以上信息，解答下列问题： (1)选择题：嘉嘉同学所列方程中的表示________，琪琪同学所列方程中的表示________； A．甲队每天修路的长度；    B．乙队每天修路的长度； C．甲队修路400米所用的时间． (2)你喜欢________列的方程，解出你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 3．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 4．为了深入开展“五育并举，书法进校园”，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔字帖和毛笔字帖作为奖品发给在比赛活动中获奖的学生，下表是购买的相关信息： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：1.2x元/本 购买数量： 本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量： 本． (1)请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）； (2)已知购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本，求钢笔字帖和毛笔字帖的单价分别是多少元？ (3)如果学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖共80本，求最多购买钢笔字帖多少本？ 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：元/本 购买数量：本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量：本． 5．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 6．野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 7．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 8．中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 9．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 10．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 11．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 12．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元． (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 13．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 14．中国是世界上种茶、制茶和饮茶最早的国家，中国茶以其博大精深的文化内涵，滋养了几千年的历史．而贵州，是中国种茶、制茶和饮茶最早的地区之一，为发展农业新质生产力，某农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经观察和测试，一个工人每分钟采25片茶叶，一个机器人每分钟采30片茶叶． (1)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得到了提高，工人每分钟比之前多采片茶叶，机器人每分钟比之前多采片茶叶，这时，一个机器人采1200片茶叶所用的时间是一个工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求的值． (2)在（1）的条件下，某茶庄计划在采茶时安排工人和机器人共20个合采茶叶，且机器人的数量少于工人数量的2倍．要使每分钟合采茶叶的总片数不低于710片，有哪几种安排方案？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $