1.2.2《有理数及其大小比较》第2课时 数轴 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦“数轴”核心知识点，从小学有刻度直线表示0和正数引入，系统梳理数轴定义（三要素：原点、正方向、单位长度）、画法步骤（一画二定三选四标），以及数轴上点与有理数的对应关系（正有理数在正半轴、负有理数在负半轴、0在原点），构建从概念认识到应用的完整学习支架。 该资料采用两日分模块预习设计（Day1概念与三要素、Day2表示数与应用），结合温度计等生活实例培养抽象能力与几何直观，通过数形结合思想帮助学生用数学思维理解数与形的联系，真题训练覆盖选择、填空、解答，课中辅助教师授课，课后助学生查漏补缺，强化知识应用。

人教版数学七年级上册 第一章 有理数 第 2 节 有理数及其大小比较 第2课时：数轴 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・概念认识 & 三要素模块）】 ✅ 达成目标：理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，能正确画出数轴 通读课本 P8-P9 数轴概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记数轴的定义和三要素（原点、正方向、单位长度），理解每个要素的作用。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确说出数轴的三要素，能判断一条直线是不是数轴。 【Day2 预习任务（建议 30min・表示数 & 应用模块）】 ✅ 达成目标：能在数轴上表示有理数，能读出数轴上点表示的数，理解数轴上的点与有理数的对应关系 通读课本 P9-P10 例题、练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 熟练掌握用数轴上的点表示有理数的方法，理解正数、负数、0在数轴上的位置。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能画出规范的数轴并在上面表示数，能根据数轴上的点读出对应的数。 一、核心知识点梳理 知识点 1：数轴的引入 在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题。 引入负数后，我们可以用一条直线上的点来表示所有的有理数（正数、0、负数）。 例如：在一条东西向的马路旁，以汽车站牌为基准，向东为正方向，用正数表示汽车站牌东侧的位置，用负数表示汽车站牌西侧的位置。 💡生活实例：温度计可以看作表示正数、0和负数的直线，它和数轴有共同的特点。 知识点 2：数轴的定义 规定了__原点__、__正方向__和__单位长度__的直线叫做数轴（number axis）。 数轴的三要素： （1）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）。原点是数轴的"基准点"，是正数和负数的分界。 （2）正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。正方向用箭头表示。 （3）单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…。 ⚠️易错提醒：数轴的三要素缺一不可，缺少任何一个都不是完整的数轴。单位长度要统一，不能有的地方长、有的地方短。 知识点 3：数轴的画法 画数轴的步骤（一画二定三选四标）： ①画直线：画一条水平的直线（通常画水平的，也可以画竖直的）。 ②定原点：在直线上适当位置选取一点作为 原点 ，用"0"标出。 ③选正方向：通常规定向 右 为正方向，在直线的右端画上箭头。 ④标单位长度：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右依次标1，2，3，…；从原点向左依次标-1，-2，-3，…。 ⚠️易错提醒：单位长度的大小可以根据需要选取，但同一条数轴上的单位长度必须统一。原点的位置也可以根据需要选取。 知识点 4：数轴上的点与有理数的关系 有理数可以用数轴上的点表示： ①正有理数：用数轴 正半轴（原点右边） 上的点表示； ②负有理数：用数轴 负半轴（原点左边） 上的点表示； ③0：用原点表示。 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的 唯一 点。 ⚠️易错提醒：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（以后会学到无理数）。 知识点 5：数轴上点与原点的距离 一般地，设a是一个正数，则： ①数轴上表示数a的点在数轴的 正 半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度； ②表示数-a的点在数轴的 负 半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度。 数轴上与原点的距离是a个单位长度的点有__2__个，分别在原点的两侧，表示的数是 a和-a 。 ⚠️易错提醒：与原点距离为a的点有两个，不要漏掉其中任何一个！一个在原点左边，一个在原点右边。 知识点 6：数轴的正半轴和负半轴 原点将数轴（原点除外）分成两部分： ①正半轴：正方向一侧的部分叫做数轴的正半轴，上面的点表示 正数 ； ②负半轴：负方向一侧的部分叫做数轴的负半轴，上面的点表示 负数 。 原点既不在正半轴上，也不在负半轴上，它是正半轴和负半轴的分界点。 ⚠️易错提醒：原点不属于正半轴，也不属于负半轴。正半轴上的点都表示正数，负半轴上的点都表示负数。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：画数轴时漏掉三要素中的一个或多个。数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度，缺一不可。 易错点2：单位长度不统一。同一条数轴上，每个单位长度的大小必须一致，不能有的大有的小。 易错点3：数轴上负数的标注顺序错误。从原点向左，依次应该是-1，-2，-3，…，越往左数越小，不要标反了。 易错点4：认为数轴上的点只能表示有理数。数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数（以后会学），只是我们现在先学有理数。 易错点5：与原点距离为a的点只有一个。实际上有两个，分别在原点两侧，表示a和-a。 易错点6：正方向只能向右。正方向通常规定向右，但也可以规定向上或其他方向，只要统一就行。 二、基本概念定义 数轴：规定了__原点__、正方向和__单位长度__的直线叫做数轴。 原点：在数轴上，表示数__0__的点叫做原点，它是正数和负数的分界点。 正方向：数轴上规定的一个方向为正方向，通常规定水平数轴向__右__的方向为正方向。 单位长度：数轴上选取的适当长度作为单位长度，同一条数轴上单位长度必须__统一__。 正半轴：数轴上原点__右__侧的部分叫做正半轴，上面的点表示正数。 三、数学思想方法 1. 数形结合思想（核心思想） 数轴是数形结合的重要工具，它将抽象的数（有理数）与直观的形（直线上的点）结合起来，使数的概念更加直观形象。通过数轴，我们可以用图形来理解数的性质和关系，这就是数形结合思想。数形结合是初中数学最重要的思想方法之一。 2. 转化思想 将实际问题中的位置关系（如东西方向的距离）转化为数轴上的点来表示，将实际问题转化为数学问题，体现了转化思想。通过转化，我们可以用数学方法解决实际问题。 3. 类比思想 从小学学过的用刻度表示正数，类比到用数轴表示所有有理数（包括负数），体现了类比思想。通过类比已有知识来学习新知识，是数学学习的重要方法。 4. 分类讨论思想 数轴上的点可以分为三类：原点（表示0）、正半轴上的点（表示正数）、负半轴上的点（表示负数）。这种分类体现了分类讨论思想。在解决与原点距离相关的问题时，也要分左右两种情况讨论。 5. 对应思想 每个有理数都对应数轴上的一个点，数轴上的每个点也都对应一个数（以后会学），这种一一对应的关系体现了对应思想。对应思想是函数思想的基础，在数学中有着广泛的应用。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·湖南期中）下列各图中，表示数轴正确的是（　　　） A. 一条直线，标有0，没有箭头 B. 一条直线，标有0和箭头，单位长度统一 C. 一条直线，有箭头，没有原点 D. 一条直线，标有0和箭头，单位长度不统一 【答案】 B 【解析】 本题考查数轴的三要素。数轴必须同时具备原点、正方向（箭头）和单位长度，且单位长度要统一。 【解答】 解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，且单位长度要统一。 A. 缺少正方向（箭头），不是数轴； B. 有原点、正方向和统一的单位长度，是数轴； C. 缺少原点，不是数轴； D. 单位长度不统一，不是数轴。 故选：B。 2.（2024·青岛版七年级）数轴是规定了（　　　）的一条直线。 A. 原点和正方向 B. 单位长度 C. 原点和单位长度 D. 原点、正方向和单位长度 【答案】 D 【解析】 本题考查数轴的定义。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。 【解答】 解：根据数轴的定义，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。 三要素缺一不可。 故选：D。 3.（2024·河南中考真题）如图，数轴上点P表示的数可能是（　　　） A. -1.5 B. -0.5 C. 0.5 D. 1.5 【答案】 B 【解析】 本题考查数轴上点表示的数。点P在原点左侧，表示负数，距离原点0.5个单位长度。 【解答】 解：点P在原点的左边，表示的数是负数； 点P距离原点0.5个单位长度，所以表示的数是-0.5。 故选：B。 4.（2024-2025学年·北师大版七年级）下列说法中正确的是（　　　） A. 数轴上的单位长度必须相等 B. 规定直线上向左的方向为正方向是错误的 C. 数轴上的原点只能在中间位置 D. 数轴是一条射线 【答案】 A 【解析】 本题考查数轴的相关概念。数轴的单位长度必须统一；正方向可以任意选取，通常向右；原点位置可以根据需要选取；数轴是直线，不是射线。 【解答】 解：A. 数轴上的单位长度必须相等（统一），正确； B. 正方向可以任意选取，规定向左为正方向也可以，只是通常规定向右，故本选项错误； C. 原点的位置可以根据需要选取，不一定在中间，故本选项错误； D. 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，不是射线，故本选项错误。 故选：A。 5.（2025-2026学年·人教版同步）下列说法正确的是（　　　） A. 同一数轴中的单位长度不需要统一 B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 D. 有些有理数不能在数轴上表示出来 【答案】 C 【解析】 本题考查有理数与数轴上点的关系。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，且每个有理数对应唯一的点。 【解答】 解：A. 同一数轴中的单位长度必须统一，故本选项错误； B. 数轴上每个点表示唯一的数，两个不同的点表示不同的数，故本选项错误； C. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，正确； D. 所有的有理数都可以在数轴上表示出来，故本选项错误。 故选：C。 6.（2025·山东青岛期末）数轴上原点左边的点表示的是（　　　） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 整数 【答案】 B 【解析】 本题考查数轴上点的位置与数的正负关系。原点左边的点在负半轴上，表示负数；原点右边的点在正半轴上，表示正数；原点表示0。 【解答】 解：数轴上，原点左边的点在负半轴上，表示负数； 原点右边的点在正半轴上，表示正数； 原点表示0。 故选：B。 7.（2025-2026学年·江苏月考）在数轴上，与原点距离为3个单位长度的点表示的数是（　　　） A. 3 B. -3 C. 3或-3 D. 6 【答案】 C 【解析】 本题考查数轴上与原点距离为a的点。与原点距离为a个单位长度的点有两个，分别在原点的两侧，表示的数是a和-a。 【解答】 解：在数轴上，与原点距离为3个单位长度的点有两个： 一个在原点右侧，表示的数是3； 一个在原点左侧，表示的数是-3。 所以表示的数是3或-3。 故选：C。 8.（2025·扬州广陵期末）数轴上点A表示-2，将点A向右移动5个单位长度后，点A表示的数是（　　　） A. 3 B. -7 C. 7 D. -3 【答案】 A 【解析】 本题考查数轴上点的移动。点向右移动，数变大；点向左移动，数变小。即"右加左减"。 【解答】 解：点A表示-2，向右移动5个单位长度， 则点A表示的数为：-2 + 5 = 3。 （向右移动，数变大，用加法） 故选：A。 9.（2024-2025学年·广西百色期末）下列数轴画法正确的是（　　　） A. 一条直线，标有-1, 0, 1, 2，没有箭头 B. 一条直线，有箭头，标有0, 1, 2，单位长度统一 C. 一条直线，有箭头，标有-2, -1, 1, 2，没有0 D. 一条直线，有箭头，标有0, 1, 3，单位长度不统一 【答案】 B 【解析】 本题考查数轴的画法。数轴必须有原点、正方向和统一的单位长度。 【解答】 解：A. 缺少正方向（箭头），错误； B. 有原点、正方向和统一的单位长度，正确； C. 缺少原点（没有0），错误； D. 单位长度不统一（0到1是1个单位，1到3是2个单位），错误。 故选：B。 10.（2025-2026学年·浙江杭州月考）下列说法中，正确的个数是（　　　） ①数轴是一条直线； ②数轴上的原点表示0； ③数轴上的单位长度可以根据需要选取； ④数轴上只能表示整数和分数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 C 【解析】 本题考查数轴的相关概念。逐一判断每个说法的正确性。 【解答】 解：①数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，所以数轴是一条直线，正确； ②数轴上的原点表示数0，正确； ③数轴上的单位长度可以根据需要选取，只要统一就行，正确； ④数轴上不仅可以表示有理数（整数和分数），还可以表示无理数（以后会学），故④错误。 所以正确的有①②③，共3个。 故选：C。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）数轴的三要素是___原点___、___正方向___和___单位长度___。 【答案】 原点；正方向；单位长度 【解析】 本题考查数轴的三要素。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，这三个要素缺一不可。 【解答】 解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。 故答案为：原点；正方向；单位长度。 12.（2025-2026学年·广东越秀期末）数轴上，表示+4的点在原点的__右____侧，距离原点___4___个单位长度；表示-2.5的点在原点的___左___侧，距离原点___2.5___个单位长度。 【答案】 右；4；左；2.5 【解析】 本题考查数轴上点的位置。正数在原点右侧，负数在原点左侧，距离原点的距离就是这个数的大小（不考虑符号）。 【解答】 解：正数在原点的右侧，所以表示+4的点在原点的右侧，距离原点4个单位长度； 负数在原点的左侧，所以表示-2.5的点在原点的左侧，距离原点2.5个单位长度。 故答案为：右；4；左；2.5。 13.（2024-2025学年·贵州遵义期末）在数轴上，与原点距离为5个单位长度的点有__2____个，它们表示的数分别是__5____和___-5___。 【答案】 2；5；-5 【解析】 本题考查数轴上与原点距离为a的点。与原点距离为a个单位长度的点有两个，分别在原点两侧，表示a和-a。 【解答】 解：在数轴上，与原点距离为5个单位长度的点有2个： 一个在原点右侧，表示的数是5； 一个在原点左侧，表示的数是-5。 故答案为：2；5；-5。 14.（2025·江苏徐州期中）点A是数轴上的一个点，将点A先向左移动6个单位长度，再向右移动10个单位长度，终点恰好是原点，则点A表示的数是__-4____。 【答案】 -4 【解析】 本题考查数轴上点的移动。可以用倒推法：从原点出发，先向左移动10个单位，再向右移动6个单位，就回到点A的位置。或者设点A表示的数为x，列方程求解。 【解答】 解：设点A表示的数为x。 点A先向左移动6个单位长度，表示的数变为：x - 6； 再向右移动10个单位长度，表示的数变为：(x - 6) + 10 = x + 4； 终点恰好是原点，即 x + 4 = 0，解得 x = -4。 所以点A表示的数是-4。 故答案为：-4。 15.（2024-2025学年·河北秦皇岛期末）数轴上，表示整数的点叫做整点。在数轴上，从-3到3（包括-3和3）之间的整点有___7___个。 【答案】 7 【解析】 本题考查数轴上的整点。从-3到3之间的整数包括：-3，-2，-1，0，1，2，3。 【解答】 解：从-3到3（包括-3和3）之间的整数有： -3，-2，-1，0，1，2，3，共7个。 所以整点有7个。 故答案为：7。 16.（2025-2026学年·四川南充期中）在数轴上，点M表示的数是-2，将它先向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__-3____。 【答案】 -3 【解析】 本题考查数轴上点的移动。向右移动加，向左移动减。 【解答】 解：点M表示的数是-2， 先向右移动4个单位长度：-2 + 4 = 2； 再向左移动5个单位长度：2 - 5 = -3。 所以点N表示的数是-3。 故答案为：-3。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）画出数轴，并在数轴上表示下列各数： 3，-4，0.5，0，-，-1 【答案】 数轴略。3在原点右侧3个单位，-4在原点左侧4个单位，0.5在原点右侧0.5个单位，0在原点，-（即-2.5）在原点左侧2.5个单位，-1在原点左侧1个单位。 【解析】 本题考查画数轴和用数轴上的点表示数。先画出规范的数轴（三要素齐全），然后根据每个数的正负和大小确定点的位置。 【解答】解：如图所示： 18.（2024-2025学年·广东梅州期末）分别写出数轴上点A、B、C、D表示的数： 【答案】 点A表示2，点B表示-4，点C表示-2.5，点D表示0.5。 【解析】 本题考查根据数轴上的点读出对应的数。原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，距离原点几个单位就是几。 【解答】 解：点A在原点右侧，距离原点2个单位长度，表示的数是2； 点B在原点左侧，距离原点4个单位长度，表示的数是-4； 点C在原点左侧，距离原点2.5个单位长度，表示的数是-2.5； 点D在原点右侧，距离原点0.5个单位长度，表示的数是0.5。 19.（2024-2025学年·福建莆田期中）下列各图中所画的数轴是否正确？如果不正确，指出错在哪里。 （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1）不正确，缺少正方向（箭头）； （2）正确； （3）不正确，单位长度不统一； （4）不正确，缺少原点（没有0）。 【解析】 本题考查数轴的三要素。数轴必须同时具备原点、正方向和单位长度，且单位长度要统一。 【解答】 解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，且单位长度要统一。 （1）不正确。错误：缺少正方向（没有箭头）。 （2）正确。具备原点、正方向和统一的单位长度。 （3）不正确。错误：单位长度不统一（-2到0的距离和0到1的距离不一样）。 （4）不正确。错误：缺少原点（没有标0）。 20.（2025-2026学年·湖北武汉期末）一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度。 （1）终点表示的数是多少？ （2）如果这个点先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数是多少？ 【答案】 （1）终点表示的数是-2； （2）终点表示的数是2。 【解析】 本题考查数轴上点的移动。向右移动加，向左移动减。从原点开始，即从0开始。 【解答】 解：（1）从原点（表示0）开始， 先向右移动3个单位长度：0 + 3 = 3； 再向左移动5个单位长度：3 - 5 = -2。 所以终点表示的数是-2。 （2）从原点（表示0）开始， 先向左移动4个单位长度：0 - 4 = -4； 再向右移动6个单位长度：-4 + 6 = 2。 所以终点表示的数是2。 21.（2024-2025学年·江苏苏州月考）在数轴上，点A表示的数是-3。 （1）与点A距离为2个单位长度的点表示的数是多少？ （2）如果点B表示的数是5，那么点A和点B之间的距离是多少个单位长度？ 【答案】 （1）表示的数是-1或-5； （2）点A和点B之间的距离是8个单位长度。 【解析】 本题考查数轴上两点之间的距离。与一个点距离为a的点有两个，分别在该点的左右两侧；两点之间的距离等于右边的数减去左边的数。 【解答】 解：（1）与点A（表示-3）距离为2个单位长度的点有两个： 一个在点A右侧：-3 + 2 = -1； 一个在点A左侧：-3 - 2 = -5。 所以表示的数是-1或-5。 （2）点A表示-3，点B表示5， 两点之间的距离 = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8（个单位长度）。 （右边的数减去左边的数） 22.（2025-2026学年·陕西安康期中）小明家、学校、书店在同一条东西走向的大街上。小明家在学校西边500米处，书店在学校东边300米处。如果以学校为基准，向东为正方向，用数轴表示这三个地点的位置。 （1）画出数轴，在数轴上标出小明家、学校、书店的位置； （2）小明从家出发，先到学校，再到书店，一共走了多少米？ 【答案】 （1）数轴略。学校在原点（0），小明家在-500处，书店在+300处； （2）一共走了800米。 【解析】 本题考查数轴的实际应用。以学校为原点，向东为正方向，1个单位长度代表100米（或1米，根据需要选取）。小明家在西边，用负数表示；书店在东边，用正数表示。 【解答】 解：（1）画数轴： （2）小明从家到学校的距离：500米； 从学校到书店的距离：300米； 一共走了：500 + 300 = 800（米）。 答：小明一共走了800米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版数学七年级上册 第一章 有理数 第 2 节 有理数及其大小比较 第2课时：数轴 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・概念认识 & 三要素模块）】 ✅ 达成目标：理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，能正确画出数轴 通读课本 P8-P9 数轴概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-2」的挖空填写。 熟记数轴的定义和三要素（原点、正方向、单位长度），理解每个要素的作用。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能准确说出数轴的三要素，能判断一条直线是不是数轴。 【Day2 预习任务（建议 30min・表示数 & 应用模块）】 ✅ 达成目标：能在数轴上表示有理数，能读出数轴上点表示的数，理解数轴上的点与有理数的对应关系 通读课本 P9-P10 例题、练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 3-5」剩余挖空填写。 熟练掌握用数轴上的点表示有理数的方法，理解正数、负数、0在数轴上的位置。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能画出规范的数轴并在上面表示数，能根据数轴上的点读出对应的数。 一、核心知识点梳理 知识点 1：数轴的引入 在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题。 引入负数后，我们可以用一条直线上的点来表示所有的有理数（正数、0、负数）。 例如：在一条东西向的马路旁，以汽车站牌为基准，向东为正方向，用正数表示汽车站牌东侧的位置，用负数表示汽车站牌西侧的位置。 💡生活实例：温度计可以看作表示正数、0和负数的直线，它和数轴有共同的特点。 知识点 2：数轴的定义 规定了____、____和____的直线叫做数轴（number axis）。 数轴的三要素： （1）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）。原点是数轴的"基准点"，是正数和负数的分界。 （2）正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。正方向用箭头表示。 （3）单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…。 ⚠️易错提醒：数轴的三要素缺一不可，缺少任何一个都不是完整的数轴。单位长度要统一，不能有的地方长、有的地方短。 知识点 3：数轴的画法 画数轴的步骤（一画二定三选四标）： ①画直线：画一条水平的直线（通常画水平的，也可以画竖直的）。 ②定原点：在直线上适当位置选取一点作为 ，用"0"标出。 ③选正方向：通常规定向 为正方向，在直线的右端画上箭头。 ④标单位长度：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右依次标1，2，3，…；从原点向左依次标-1，-2，-3，…。 ⚠️易错提醒：单位长度的大小可以根据需要选取，但同一条数轴上的单位长度必须统一。原点的位置也可以根据需要选取。 知识点 4：数轴上的点与有理数的关系 有理数可以用数轴上的点表示： ①正有理数：用数轴 上的点表示； ②负有理数：用数轴 上的点表示； ③0：用原点表示。 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的 点。 ⚠️易错提醒：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（以后会学到无理数）。 知识点 5：数轴上点与原点的距离 一般地，设a是一个正数，则： ①数轴上表示数a的点在数轴的 半轴上，与原点的距离是 个单位长度； ②表示数-a的点在数轴的 半轴上，与原点的距离是 个单位长度。 数轴上与原点的距离是a个单位长度的点有____个，分别在原点的两侧，表示的数是 。 ⚠️易错提醒：与原点距离为a的点有两个，不要漏掉其中任何一个！一个在原点左边，一个在原点右边。 知识点 6：数轴的正半轴和负半轴 原点将数轴（原点除外）分成两部分： ①正半轴：正方向一侧的部分叫做数轴的正半轴，上面的点表示 ； ②负半轴：负方向一侧的部分叫做数轴的负半轴，上面的点表示 。 原点既不在正半轴上，也不在负半轴上，它是正半轴和负半轴的分界点。 ⚠️易错提醒：原点不属于正半轴，也不属于负半轴。正半轴上的点都表示正数，负半轴上的点都表示负数。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：画数轴时漏掉三要素中的一个或多个。数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度，缺一不可。 易错点2：单位长度不统一。同一条数轴上，每个单位长度的大小必须一致，不能有的大有的小。 易错点3：数轴上负数的标注顺序错误。从原点向左，依次应该是-1，-2，-3，…，越往左数越小，不要标反了。 易错点4：认为数轴上的点只能表示有理数。数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数（以后会学），只是我们现在先学有理数。 易错点5：与原点距离为a的点只有一个。实际上有两个，分别在原点两侧，表示a和-a。 易错点6：正方向只能向右。正方向通常规定向右，但也可以规定向上或其他方向，只要统一就行。 二、基本概念定义 数轴：规定了____、正方向和____的直线叫做数轴。 原点：在数轴上，表示数____的点叫做原点，它是正数和负数的分界点。 正方向：数轴上规定的一个方向为正方向，通常规定水平数轴向____的方向为正方向。 单位长度：数轴上选取的适当长度作为单位长度，同一条数轴上单位长度必须____。 正半轴：数轴上原点____侧的部分叫做正半轴，上面的点表示正数。 三、数学思想方法 1. 数形结合思想（核心思想） 数轴是数形结合的重要工具，它将抽象的数（有理数）与直观的形（直线上的点）结合起来，使数的概念更加直观形象。通过数轴，我们可以用图形来理解数的性质和关系，这就是数形结合思想。数形结合是初中数学最重要的思想方法之一。 2. 转化思想 将实际问题中的位置关系（如东西方向的距离）转化为数轴上的点来表示，将实际问题转化为数学问题，体现了转化思想。通过转化，我们可以用数学方法解决实际问题。 3. 类比思想 从小学学过的用刻度表示正数，类比到用数轴表示所有有理数（包括负数），体现了类比思想。通过类比已有知识来学习新知识，是数学学习的重要方法。 4. 分类讨论思想 数轴上的点可以分为三类：原点（表示0）、正半轴上的点（表示正数）、负半轴上的点（表示负数）。这种分类体现了分类讨论思想。在解决与原点距离相关的问题时，也要分左右两种情况讨论。 5. 对应思想 每个有理数都对应数轴上的一个点，数轴上的每个点也都对应一个数（以后会学），这种一一对应的关系体现了对应思想。对应思想是函数思想的基础，在数学中有着广泛的应用。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·湖南期中）下列各图中，表示数轴正确的是（　　　） A. 一条直线，标有0，没有箭头 B. 一条直线，标有0和箭头，单位长度统一 C. 一条直线，有箭头，没有原点 D. 一条直线，标有0和箭头，单位长度不统一 2.（2024·青岛版七年级）数轴是规定了（　　　）的一条直线。 A. 原点和正方向 B. 单位长度 C. 原点和单位长度 D. 原点、正方向和单位长度 3.（2024·河南中考真题）如图，数轴上点P表示的数可能是（　　　） A. -1.5 B. -0.5 C. 0.5 D. 1.5 4.（2024-2025学年·北师大版七年级）下列说法中正确的是（　　　） A. 数轴上的单位长度必须相等 B. 规定直线上向左的方向为正方向是错误的 C. 数轴上的原点只能在中间位置 D. 数轴是一条射线 5.（2025-2026学年·人教版同步）下列说法正确的是（　　　） A. 同一数轴中的单位长度不需要统一 B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 D. 有些有理数不能在数轴上表示出来 6.（2025·山东青岛期末）数轴上原点左边的点表示的是（　　　） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 整数 7.（2025-2026学年·江苏月考）在数轴上，与原点距离为3个单位长度的点表示的数是（　　　） A. 3 B. -3 C. 3或-3 D. 6 8.（2025·扬州广陵期末）数轴上点A表示-2，将点A向右移动5个单位长度后，点A表示的数是（　　　） A. 3 B. -7 C. 7 D. -3 9.（2024-2025学年·广西百色期末）下列数轴画法正确的是（　　　） A. 一条直线，标有-1, 0, 1, 2，没有箭头 B. 一条直线，有箭头，标有0, 1, 2，单位长度统一 C. 一条直线，有箭头，标有-2, -1, 1, 2，没有0 D. 一条直线，有箭头，标有0, 1, 3，单位长度不统一 10.（2025-2026学年·浙江杭州月考）下列说法中，正确的个数是（　　　） ①数轴是一条直线； ②数轴上的原点表示0； ③数轴上的单位长度可以根据需要选取； ④数轴上只能表示整数和分数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）数轴的三要素是______、______和______。 12.（2025-2026学年·广东越秀期末）数轴上，表示+4的点在原点的______侧，距离原点______个单位长度；表示-2.5的点在原点的______侧，距离原点______个单位长度。 13.（2024-2025学年·贵州遵义期末）在数轴上，与原点距离为5个单位长度的点有______个，它们表示的数分别是______和______。 14.（2025·江苏徐州期中）点A是数轴上的一个点，将点A先向左移动6个单位长度，再向右移动10个单位长度，终点恰好是原点，则点A表示的数是______。 15.（2024-2025学年·河北秦皇岛期末）数轴上，表示整数的点叫做整点。在数轴上，从-3到3（包括-3和3）之间的整点有______个。 16.（2025-2026学年·四川南充期中）在数轴上，点M表示的数是-2，将它先向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是______。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）画出数轴，并在数轴上表示下列各数： 3，-4，0.5，0，-，-1 18.（2024-2025学年·广东梅州期末）分别写出数轴上点A、B、C、D表示的数： 19.（2024-2025学年·福建莆田期中）下列各图中所画的数轴是否正确？如果不正确，指出错在哪里。 （1） （2） （3） （4） 20.（2025-2026学年·湖北武汉期末）一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度。 （1）终点表示的数是多少？ （2）如果这个点先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数是多少？ 21.（2024-2025学年·江苏苏州月考）在数轴上，点A表示的数是-3。 （1）与点A距离为2个单位长度的点表示的数是多少？ （2）如果点B表示的数是5，那么点A和点B之间的距离是多少个单位长度？ 22.（2025-2026学年·陕西安康期中）小明家、学校、书店在同一条东西走向的大街上。小明家在学校西边500米处，书店在学校东边300米处。如果以学校为基准，向东为正方向，用数轴表示这三个地点的位置。 （1）画出数轴，在数轴上标出小明家、学校、书店的位置； （2）小明从家出发，先到学校，再到书店，一共走了多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $