1.2 有理数及其大小比较 考点变式培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数及其大小比较核心知识点，系统梳理有理数的定义与分类、数轴三要素及应用、相反数与绝对值的概念性质，构建从概念到应用的连贯学习支架，助力学生逐步掌握有理数大小比较的方法。 资料以21个题型为核心，每个题型配例题与变式实现举一反三，通过数轴规律探究、实际问题应用等设计，培养学生抽象能力与几何直观，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题1.2 有理数及其大小比较（举一反三讲义） （新教材人教版） 3 5 7 9 12 14 16 18 21 23 26 28 31 33 35 38 39 41 43 47 49 知识点一：有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【题型1 有理数的定义】 【例1】下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 【变式1-1】下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 【变式1-2】下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负分数、整数、非负有理数、有理数的定义以及有理数的大小．根据定义逐一判断各说法的正误． 【详解】解：① 是负分数，正确； ② 不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故原说法错误； ④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和，故原说法错误； ⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误； ⑥ 是有限小数，是有理数，故原说法错误． ∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共个； 故选B 【变式1-3】下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 【题型2 “0”的意义】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．海拔表示没有海拔 B．有绝对值最大的有理数 C．整式是四次单项式 D．从莆田到厦门的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 【答案】D 【分析】本题考查海拔概念、有理数绝对值、单项式次数及反比例关系的判断，需根据初中数学知识逐一分析选项，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、海拔表示海平面基准，并非“没有海拔”，故A错误； B、有理数的绝对值可无限增大（如整数无限大），无最大值，故B错误； C、单项式中，变量的指数为3，次数为3（为常数），不是四次，故C错误； D、路程一定时，时间与平均速度满足，故成反比例关系，故D正确； 故选：D． 【变式2-1】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【变式2-2】下列说法正确的有（     ） ①一个数不是正数就是负数；②海拔表示比海平面低； ③负分数不是有理数；④零是最小的数； ⑤零是整数，也是正数；⑥是最大的负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用正数和负数的定义判断即可. 【详解】解：0既不是正数也不是负数，①错误； 海拔表示比海平面低，②正确； 负分数是有理数，③错误； 负数比零小，④错误； 零是整数，不是正数，⑤错误； 是最大的负整数，⑥错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了对有理数有关内容的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，解题的关键是掌握正数和负数的定义以及注意0的特殊性． 【变式2-3】下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 【题型3 有理数的分类】 【例3】下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类．需要先对题目中给出的数进行化简，再根据非正有理数(即负有理数和0)的定义来判断这些数中非正有理数的个数． 【详解】解：是非正有理数； ，是负有理数，非正； ，是正有理数，不符合； 是无理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是负有理数，非正； 是有限小数，是有理数，且为负数，非正． 符合的非正有理数有：0、、、，共4个． 故选：C． 【变式3-1】在，，，，中，负有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的概念，根据负有理数的定义，需满足两个条件：负数且为有理数，逐一判断各数即可，掌握负有理数的概念是解题的关键． 【详解】解：是负有理数，符合题意； 是正有理数，不符合题意； 既不是正数，也不是负数，不符合题意； 是负有理数，符合题意； 是负有理数，符合题意； 综上可知，符合条件的数有，，，共个， 故选：． 【变式3-2】所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数分类，正确把握相关定义是解题关键．直接利用负分数的定义分析得出答案． 【详解】解：阴影部分表示负分数，选项中只有C符合题意． 故选：C． 【变式3-3】有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正整数，熟练掌握正整数的定义是解题的关键． 根据正整数的定义进行判断即可． 【详解】解：正整数需满足正数以及整数， 是负数不符合题意； 0既不是正数也不是负数，不符合题意； 1是正整数； 不是整数，不符合题意； 故正整数有1个． 故选：A． 【题型4 带“非”字的有理数】 【例4】下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 【变式4-1】下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【变式4-2】下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵非负数是指大于等于的数， ∴在给出的数，，，，，，，中，非负数为，，，，，共个． 【变式4-3】在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 知识点二：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【题型5 数轴的三要素及画法】 【例5】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【变式5-1】下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 【变式5-2】已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 【变式5-3】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【答案】D 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．故可知：D正确. 故选D. 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 【例6】在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：求一条长度为的线段最多能覆盖的整数点个数，分两种情况： 情况一：当线段的两个端点与数轴上的整数点重合时，设线段左端点对应整数为，则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点为，，，，，总个数为 ； 情况二：当线段的两个端点不与数轴上的整数点重合时，设线段左端点位于整数为和之间，则右端点位于整数为和之间，此时覆盖的整数点为，，，，总个数为； 所以，对比两种情况的覆盖个数，，因此最多能覆盖个整数点． 【变式6-1】数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 【变式6-2】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 【变式6-3】在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 【题型7 利用数轴比较两个有理数的大小】 【例7】已知有理数a，b，c在数轴上如图所示，则（    ） A．2a B．b C． D． 【答案】B 【分析】这道题考查了数轴上有理数的大小比较与绝对值的化简，解题关键是根据数轴确定的大小关系，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号进行化简． 根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数进行化简计算即可． 【详解】由有理数a，b，c在数轴上的位置可得，，则， 故选：B． 【变式7-1】有理数，在数轴上的对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点左侧 B．原点一定在点右侧 C．原点一定更靠近点 D．原点一定更靠近点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，有理数的加法，由数轴可得，再结合得出，或，且，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∵， ∴，或，且， ∴原点一定在中点左侧，更靠近点， 故选：C． 【变式7-2】如图所示，已知点在数轴上表示的数为，则下列各式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，有理数的乘方，由数轴可得，再根据有理数的乘方法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：D． 【变式7-3】已知有理数满足，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括和），下面有三个结论：①a的值可以是；②；③，所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】此题考查有理数与数轴上点的对应关系，比较有理数的大小，由条件且a与之间只有两个整数（不包括端点），推导出a的取值范围为，此时之间的整数必为0和1，从而验证各结论 【详解】∵，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括端点）， ∴ （若，则之间整数多于两个），且（若，则之间整数少于两个）， 即 当时，，之间整数为0和1，符合条件，故①正确； ∵ 之间整数恒为0和1， ∴ ，故②正确； ，故③正确； ∴ ①②③均正确， 故选：A 【题型8 数轴上两点之间的距离】 【例8】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 【变式8-2】点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题与两点间距离的计算，解题的关键是利用折叠的对称性，结合的条件分情况讨论点的位置． 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 【变式8-3】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐， ∴数轴上1个单位长度表示， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：D． 【题型9 数轴上点的平移（动点问题）】 【例9】如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，依次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， ， 数轴上的数2025所对应的点将与圆周上的字母B重合， 故选：B． 【变式9-1】点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【详解】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 【变式9-2】已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 【变式9-3】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【题型10 数轴上找原点】 【例10】有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 【变式10-1】如图，数轴上三个数从左到右依次是：．只用圆规在数轴上画出表示数的点．下列选项中，作图痕迹正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图，数轴，整式加减等知识点，能够正确运用数轴上的点来表示一个有理数是解答本题的关键． 由于有理数与之间的距离为2，则以所在的点为圆心，与的距离为半径画弧，与数轴上所在的点的右侧的交点即为原点．再根据和互为相反数，即关于原点对称即可求解． 【详解】解：∵， ∴以所在的点为圆心，与的距离为半径画弧，与数轴上所在的点的右侧的交点即为原点， ∵和互为相反数，两者关于原点对称， ∴以原点为圆心，到原点的距离为半径画弧，与数轴的交点中，与关于原点对称的点即为， 故选项C符合题意， 故选：C． 【变式10-2】如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的乘法与加法运算的含义，分四种情况讨论即可. 【详解】解：当原点在点时， ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上所述，此原点应是在或点． 故选：D． 【变式10-3】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是确定题中三个数的正负． 根据数轴上点的与原点的距离即可求解． 【详解】解：由题意可知：． 因为且， 所以，，， 即原点的位置在点A与点B之间且更靠近点B， 则原点的位置在点C与点B之间． 故选：C． 【题型11 数轴上整点覆盖问题】 【例11】如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 【变式11-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 【变式11-2】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【变式11-3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【详解】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 【题型12 数轴上的规律探究】 【例12】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式12-1】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式12-2】如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 【变式12-3】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 知识点三：相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 【题型13 相反数的定义】 【例13】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，可知的相反数是. 【详解】解：的相反数是. 【变式13-1】若数轴上，点表示，点与的距离是3，点与点表示的数互为相反数，则点表示(    ) A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点距离，相反数的定义，有理数的加减运算．先根据点的位置和与点的距离求出点的可能值，再根据相反数的定义求出点的可能值． 【详解】解：点表示，点与点的距离为， 点表示的数为或， 点与点表示的数互为相反数， 当点为时，点为；当点为时，点为， 点表示的数为或， 故选：D． 【变式13-2】如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查正方体相对两个面上的数字，相反数定义，代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 根据正方体表面展开图的特征判断“相对”的面，再结合相反数定义求出相应的，的值，最后代入中计算，即可解题． 【详解】解：由正方体的展开图可知，相对面上的数字为，相对面上的数字为， 因为，与其相对面上的数字互为相反数， 所以， 所以； 故选：A． 【变式13-3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 【题型14 化简多重符号】 【例14】下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，通过计算每个选项中的两个数值，根据相反数的定义判断是否互为相反数即可求解． 【详解】相反数的定义是两数只有符号不同，和为0， A、，，3与互为相反数，符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，不是相反数，不符合题意； D、，，不是相反数，不符合题意； 故选：A． 【变式14-1】下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查相反数、有理数的乘方，化简多重符号． 根据相反数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，，互为相反数，符合题意； B．，，不互为相反数，不符合题意； C．，，不互为相反数，不符合题意； D．，，不互为相反数，不符合题意． 故选：A． 【变式14-2】下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：与 ，互为相反数 与互为相反数， 与，互为相反数 与，互为相反数 与，相等，不互为相反数． 综上所述，共有4对数，互为相反数， 故选：C． 【变式14-3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义与多重符号的化简，掌握相关知识是解题的关键．先分别进行化简，再进行判断即可． 【详解】解：①由于，故与不互为相反数； ②由于，故与互为相反数； ③由于，，故与互为相反数； ④由于，，故与互为相反数； 综上，互为相反数的有②③④，共3组． 故选：C． 【题型15 相反数的应用】 【例15】数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 【变式15-1】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 【变式15-2】若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得． 故选：A 【变式15-3】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得， A、∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； B、∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； D、根据题意，得， ∴， ∴， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 知识点四：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【题型16 绝对值的几何意义】 【例16】下列说法中，正确的有（     ） ①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的两个数互为相反数；③数轴上表示互为相反数的两个点与原点的距离相等；④若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此可判断①②④，根据绝对值的几何意义和相反数的定义可判断③． 【详解】解：①0的相反数是0，原说法错误； ②符号相反的两个数不一定互为相反数，例如和2的符号相反，但是它们不是相反数，原说法错误； ③数轴上表示互为相反数的两个点与原点的距离相等，原说法正确； ④0的相反数是0，故互为相反数的两个数不一定异号，原说法错误； 综上所述，正确的只有③，共1个． 【变式16-1】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 【变式16-2】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 【变式16-3】如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 【题型17 求一个数的绝对值】 【例17】检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 【变式17-1】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 【变式17-2】2025的相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和绝对值的定义，解题的关键是依次根据相反数、绝对值的定义进行计算． 先求出2025的相反数，再计算该相反数的绝对值，得到结果． 【详解】解∶2025的相反数为， 又， 故选C． 【变式17-2】已知，的相反数是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，求代数式的值，掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键．由绝对值的性质知为或；由相反数的定义知为，分别计算的值即可． 【详解】解：，的相反数是， 或，， 当时，； 当时，， 的值为或． 故选：D． 【变式17-3】下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题的关键． 根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可． 【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确； 对于②：0既不是正数也不是负数，∴②正确； 对于③：0的相反数是0，∴③正确； 对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0和正数），不一定是正数，∴④不正确； ∴不正确的有①和④，共2个， 故选：B． 【题型18 绝对值非负性】 【例18】下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 【变式18-1】已知，则的值等于（　　） A．1 B． C．4049 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方的非负性、代数式求值等知识点，掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求得x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【变式18-2】如果，那么的值是（   ） A．32 B．3 C． D．76 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握当几个非负数的和为零时，则每个非负数均为零，然后代入求值． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而求出a、b、c的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式18-3】若，则3a+b的值为____． 【答案】13 【分析】本题主要考查了非负数的性质．根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，直接代入求值. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入原式可得3a+b=13 故答案为： 13 【题型19 绝对值的其他应用】 【例19】如图，一条街道旁有A，B，C三幢居民楼，A，B两幢楼之间相距200米，B，C两幢楼之间相距400米．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表： 楼号 A B C 大桶水数/桶 55 50 38 该经销商计划在这条街道上的某一处设置大桶水供应点，若要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在（   ） A．B楼与C楼之间 B．A楼与B楼之间 C．B楼 D．A楼 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的应用，整式的加减运算，设大桶水供应点设置在数对应的点处，这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和为：，再进一步分析即可． 【详解】解：如图，记为数轴的原点，表示数，则，， ∴表示，表示， 设大桶水供应点设置在数对应的点处， ∴这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和为： ， 当时， ， 当时， ， 此时， 当时， ， 当时， ∴ ， 此时， 当时， ， 综上：当时，的值最小， ∴要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在楼． 故选：C 【变式19-1】若，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据绝对值性质和，的条件求出x，y值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ，异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式19-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键． 根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可． 【详解】由数轴知，，故①正确； 由于，所以，故②不正确； 由于，取的符号，所以，故③不正确； 由于，所以，故④不正确； 因为，所以，又因为，所以，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 【变式19-3】有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 知识点五：有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 【题型20 有理数的大小比较】 【例20】下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】只需计算出各选项中数的绝对值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是． 【变式20-1】下列有理数中最小的数是（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】利用有理数比较大小的基本规则即可求出结果． 【详解】解：∵有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小. ∴四个数中，，，，只需比较与的大小， ∵，，， ∴， 因此可得四个数的大小关系为 ， ∴最小的数是． 【变式20-2】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 【变式20-3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 【题型21 有理数大小比较的实际应用】 【例21】科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)13 (2)147万件 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较表格中的数据即可确定分拣包裹数量最多的一天和最少的一天，再进行相减即可求解最多的一天比最少的一天多分拣多少； （2）先计算原计划天的分拣量，再将表格数据相加得到的和再与原计划天的分拣量相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴周六的分拣量高出原计划7万件，最多；周日的分拣量低于原计划6万件，最少； ∴最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹； （2）解：（万件） 答：该仓库本周实际一共分拣147万件包裹． 【变式21-1】小明和小红在做运算游戏，他们分别从一摞混合三角形和正方形的卡片中抽取四张，游戏规定：从数字5开始运算，三角形表示减卡片上的数字，正方形表示加卡片上的数字，按抽到的卡片顺序依次计算，结果大者获胜．抽取结果如图： (1)小明的算式为： _________ (2)通过计算说明小明和小红谁获胜． 【答案】(1) (2)小红获胜，说明见解析 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的规定列式即可； （2）根据题中的规定计算出两人的得分，比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：； （2）解：小明： ， 小红： 因为， 所以小红获胜． 【变式21-2】手机移动支付给生活带来了便利．如图是周六小红去那考河公园游玩当日的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）请你解决如下问题（假设她初始余额为0元）： (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)按照账单求出小红微信零钱最终显示余额应是多少？ (3)小红回家后想起来，她删了一条蛋糕店的交易记录，微信零钱最终显示余额为元，请帮她计算出在蛋糕店的支出金额． 【答案】(1)截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为元； (2)最终显示余额应是元； (3)小红在蛋糕店的支出金额为元． 【分析】本题考查了有理数的混合运算及正负数的应用，解题的关键是根据正数和负数表示的意义来解答． （1）根据负数为支出，再对负数的绝对值进行比较，绝对值大的支出费用就大； （2）用200减去钱数即可， （3）用（2）的结果与元相减，即得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为元； （2）解：（元）， 答：最终显示余额应是元； （3）解：（元）． 答：小红在蛋糕店的支出金额为元． 【变式21-3】景德镇陶瓷的造型丰富多变，从日常生活用品到陈设艺术品，都有其独特的韵味．同时，陶瓷上的装饰也极具艺术价值，如青花、五彩、粉彩等，使得每件陶瓷都成为了一件艺术品．某工厂计划每天生产50个景德镇陶瓷花瓶，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某一周的生产情况（增产记为正，减产记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)产量最多的一天是星期_________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个花瓶？ (3)该工厂实行每周计件工资制，每生产一个花瓶可得20元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖励6元；少生产一个扣3元，则该工厂的工人这周的工资总额是多少？ 【答案】(1)四 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产20个花瓶 (3)该工厂的工人这周的工资总额是7260元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较每天的增减量，即可求解； （2）根据题意可知产量最多的一天是星期四，产量最少的一天是星期五，据此列式求解即可； （3）求出这7天的总产量，再计算出总额以及超额完成的奖励，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴产量最多的一天是星期四 故答案为：四； （2）（个）， 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产20个花瓶； （3）总增减量是：（个）， 实际总产量是：（个）， 工资总额：（元）． 故该工厂的工人这周的工资总额是7260元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 有理数及其大小比较（举一反三讲义） （新教材人教版） 3 5 7 9 12 14 16 18 21 23 26 28 31 33 35 38 39 41 43 47 49 知识点一：有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【题型1 有理数的定义】 【例1】下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-3】下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 “0”的意义】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．海拔表示没有海拔 B．有绝对值最大的有理数 C．整式是四次单项式 D．从莆田到厦门的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 【变式2-1】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】下列说法正确的有（     ） ①一个数不是正数就是负数；②海拔表示比海平面低； ③负分数不是有理数；④零是最小的数； ⑤零是整数，也是正数；⑥是最大的负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【题型3 有理数的分类】 【例3】下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】在，，，，中，负有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 【变式3-3】有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 带“非”字的有理数】 【例4】下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点二：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【题型5 数轴的三要素及画法】 【例5】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【变式5-3】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 【例6】在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 【变式6-1】数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【题型7 利用数轴比较两个有理数的大小】 【例7】已知有理数a，b，c在数轴上如图所示，则（    ） A．2a B．b C． D． 【变式7-1】有理数，在数轴上的对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点左侧 B．原点一定在点右侧 C．原点一定更靠近点 D．原点一定更靠近点 【变式7-2】如图所示，已知点在数轴上表示的数为，则下列各式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知有理数满足，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括和），下面有三个结论：①a的值可以是；②；③，所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【题型8 数轴上两点之间的距离】 【例8】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8-3】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【题型9 数轴上点的平移（动点问题）】 【例9】如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【变式9-1】点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【变式9-2】已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【题型10 数轴上找原点】 【例10】有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【变式10-1】如图，数轴上三个数从左到右依次是：．只用圆规在数轴上画出表示数的点．下列选项中，作图痕迹正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式10-3】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 【题型11 数轴上整点覆盖问题】 【例11】如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【变式11-2】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式11-3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【题型12 数轴上的规律探究】 【例12】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式12-1】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【变式12-2】如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【变式12-3】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 知识点三：相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 【题型13 相反数的定义】 【例13】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 【变式13-3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【题型14 化简多重符号】 【例14】下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式14-1】下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式14-2】下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【变式14-3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【题型15 相反数的应用】 【例15】数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【变式15-1】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式15-3】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点四：绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4.绝对值的重要结论： （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【题型16 绝对值的几何意义】 【例16】下列说法中，正确的有（     ） ①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的两个数互为相反数；③数轴上表示互为相反数的两个点与原点的距离相等；④若有理数a，b互为相反数，则它们一定异号． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式16-1】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【变式16-3】如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【题型17 求一个数的绝对值】 【例17】检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【变式17-2】2025的相反数的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 【变式17-2】已知，的相反数是，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式17-3】下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型18 绝对值非负性】 【例18】下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【变式18-1】已知，则的值等于（　　） A．1 B． C．4049 D． 【变式18-2】如果，那么的值是（   ） A．32 B．3 C． D．76 【变式18-3】若，则3a+b的值为____． 【题型19 绝对值的其他应用】 【例19】如图，一条街道旁有A，B，C三幢居民楼，A，B两幢楼之间相距200米，B，C两幢楼之间相距400米．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表： 楼号 A B C 大桶水数/桶 55 50 38 该经销商计划在这条街道上的某一处设置大桶水供应点，若要使得这三幢楼内的居民取水（每次取一桶水）所走路程之和最小，选择的地点应在（   ） A．B楼与C楼之间 B．A楼与B楼之间 C．B楼 D．A楼 【变式19-1】若，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式19-3】有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点五：有理数的大小比较 1.定义：比较两个或多个有理数数值大小的过程。 2.运算法则（核心口诀）： · 正数 > 0 > 负数（正数永远大于负数，0大于所有负数小于所有正数）。 · 两个正数：绝对值大的数大（如 5 > 3）。 · 两个负数：绝对值大的反而小（如 -5 < -3，因为 |-5| > |-3|）。 3.常用比较方法（三种武器）： · 数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（最直观，适用于多个数排序） · 绝对值法：同号两数比较时，正数看绝对值（大即大），负数看绝对值（大即小）。 · 求差法（作差法）：计算 a - b。 若 a - b > 0，则 a > b； 若 a - b = 0，则 a = b； 若 a - b < 0，则 a < b。（适用于含字母或复杂式子比较） 4.易错提醒（避坑指南）： · 比较时先定符号（正负），再比数值（绝对值）。 · 遇到分数或小数，先统一形式（通分或化小数）再比较。 · 多个数比较时，建议先标在数轴上，再从左到右写顺序，不易漏不重。 【题型20 有理数的大小比较】 【例20】下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【变式20-1】下列有理数中最小的数是（   ） A． B．0 C． D．5 【变式20-2】若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式20-3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型21 有理数大小比较的实际应用】 【例21】科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【变式21-1】小明和小红在做运算游戏，他们分别从一摞混合三角形和正方形的卡片中抽取四张，游戏规定：从数字5开始运算，三角形表示减卡片上的数字，正方形表示加卡片上的数字，按抽到的卡片顺序依次计算，结果大者获胜．抽取结果如图： (1)小明的算式为： _________ (2)通过计算说明小明和小红谁获胜． 【变式21-2】手机移动支付给生活带来了便利．如图是周六小红去那考河公园游玩当日的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）请你解决如下问题（假设她初始余额为0元）： (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)按照账单求出小红微信零钱最终显示余额应是多少？ (3)小红回家后想起来，她删了一条蛋糕店的交易记录，微信零钱最终显示余额为元，请帮她计算出在蛋糕店的支出金额． 【变式21-3】景德镇陶瓷的造型丰富多变，从日常生活用品到陈设艺术品，都有其独特的韵味．同时，陶瓷上的装饰也极具艺术价值，如青花、五彩、粉彩等，使得每件陶瓷都成为了一件艺术品．某工厂计划每天生产50个景德镇陶瓷花瓶，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某一周的生产情况（增产记为正，减产记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)产量最多的一天是星期_________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个花瓶？ (3)该工厂实行每周计件工资制，每生产一个花瓶可得20元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖励6元；少生产一个扣3元，则该工厂的工人这周的工资总额是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $