增分微练3函数共零点问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数共零点问题，通过零点转化、构造函数、符号分析等方法，系统整合函数性质与不等式恒成立，培养逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |共零点转化|1,3,8|将不等式恒成立转化为函数同零点，利用零点对应建立参数关系|函数零点与不等式符号的关联，一次/二次/三次函数零点分布逻辑| |构造函数法|2,5|构造单调函数（如x+lnx），利用单调性判断零点唯一性|函数单调性与零点存在性的推导，对数函数与多项式函数的性质融合| |符号分析与恒成立|6,7|根据定义域分段分析函数符号，结合“M函数对”定义判断不等式方向|函数定义域、单调性与不等式恒成立的逻辑链条，分类讨论思想应用| |导数应用|10|通过导数转化为含参数不等式恒成立，利用零点对应求参数值|导数与函数单调性的关系，导数工具解决函数增减性问题的推理过程|

增分微练3　函数共零点问题 (时间:45分钟) 1.若不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.ab2=9 B.a2b=9,a<0 C.b2=9a D.b=9a2,a<0 2.已知x,y满足x+ln x+2=0,ln(1-y)-y+3=0,则x+y的值为(e是自然对数的底数) (　 ) A.-e B.1 C. D.-e4 3.已知a,b∈R,且ab≠0,若当x≥0时,关于x的不等式(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,则必有 (　 ) A.a>0 B.a<0 C.b<0 D.b>0 4.对任意x∈R,不等式sincos(ax+b)≤0恒成立,则sin(a+b)和sin(a-b)的值分别为　　　　.  5.[2025·长郡中学月考] 设函数f(x)=(x2+ax+b)ln x,若f(x)≥0恒成立,则a的最小值为 (　 ) A.-2 B.-1 C.2 D.1 6.(多选题)记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I,若存在x0∈I,使得对任意x∈I,不等式[f(x)-g(x)](x-x0)≥0恒成立,则称f(x),g(x)构成“M函数对”.下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有 (　 ) A.f(x)=ln x,g(x)= B.f(x)=ex,g(x)=ex C.f(x)=x3,g(x)=x2 D.f(x)=x+,g(x)=3 7.(多选题)已知不等式(ln x-a)(x-a)(x-b)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则下列结论正确的是 (　 ) A.a≤0 B.a≥1 C.b∈(0,1] D.b>1 8.(多选题)已知b>0,若对任意的x∈(0,+∞),不等式ax3+3x2-abx-3b≤0恒成立,则 (　 ) A.a<0 B.a2b=3 C.a2+4b的最小值为12 D.a2+ab+3a+b的最小值为6-6 9.已知f(x)=(|x|+a2-1)·ln |x+a|,若f(x)≥0在其定义域上恒成立,则a的值为　　　　.  10.已知函数f(x)=(x+m)ex-x2-(m+1)x在R上单调递增,则实数m的值为　　　　.  参考答案 增分微练3　函数共零点问题 1.B　[解析] 当x→+∞时,x2-b→+∞,而不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以当x→+∞时,ax+3→-∞,即a<0,可知f(x)=ax+3,g(x)=x2-b在(0,+∞)上具有相同的零点x=-,所以-b=0,即a2b=9,故选B. 2.B　[解析] 设1-y=t,则y=1-t,则ln(1-y)-y+3=ln t+t+2=0,又f(x)=x+ln x+2在(0,+∞)上单调递增,所以由f(x)=f(t)=0得x=t,故y=1-t=1-x,所以x+y=1.故选B. 3.C　[解析] 设f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)(a,b∈R,且ab≠0),因为当x≥0时,f(x)≥0恒成立,所以有以下两种情况:①f(x)的三个零点a,b,2a+b均在(-∞,0)内,则a<0,b<0;②f(x)有一个不变号零点在[0,+∞)内,因为b≠2a+b,所以或(舍去),得综上所述,必有b<0. 4.-,　[解析] 由题知y=sin与y=cos(ax+b)的图象关于x轴对称,则cos(ax+b)=-sin=sin=cos=cos,所以a=π,不妨取b=,进而得sin(a+b)=-,sin(a-b)=. 5.B　[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由0<x<1得ln x<0,由x=1得ln x=0,由x>1得ln x>0,要使f(x)≥0,则对于二次函数y=x2+ax+b,当0<x<1时,y≤0,当x>1时,y≥0,所以x=1为该二次函数的一个零点,易得b=-a-1,则y=x2+ax-(a+1)=(x-1)[x+(a+1)],又其图象开口向上,所以只需-(a+1)≤0,即a+1≥0,解得a≥-1,故a的最小值为-1.故选B. 6.AC　[解析] 根据题意得,若存在x0∈I,使得对任意x∈I,当x≥x0时,f(x)≥g(x),当x≤x0时,f(x)≤g(x),则称f(x),g(x)构成“M函数对”.对于A,f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则I=(0,+∞),作出f(x)和g(x)在I上的大致图象如图①,由图可知,A选项的两个函数能构成“M函数对”;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,则I=R,f'(x)=ex,g'(x)=e,当f'(x)=g'(x)时,可得ex=e,解得x=1,当x=1时,f(1)=e=g(1),则f(x)与g(x)的图象相切于点(1,1),作出f(x)和g(x)在I上的大致图象如图②,由图可知,不存在x0,使得当x≤x0时,f(x)≤g(x),B选项的两个函数不能构成“M函数对”;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,则I=R,作出f(x)和g(x)在I上的大致图象如图③,由图可知,C选项的两个函数能构成“M函数对”;对于D,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域为[0,+∞),则I=(0,+∞),f'(x)=1-=,当x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=2,g(1)=3,作出f(x)和g(x)在I上的大致图象如图④,由图可知,g(x)的图象与f(x)的图象在I上有两个交点,D选项的两个函数不能构成“M函数对”.故选AC. 7.AC　[解析] 原问题等价于不等式(x-ea)(x-a)(x-b)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,又ea≠a,所以ea=b,且a≤0,所以b∈(0,1].故选AC. 8.ACD　[解析] 由ax3+3x2-abx-3b≤0,得ax(x2-b)+3(x2-b)≤0,所以(ax+3)(x2-b)≤0,因为b>0,所以当0<x<时,x2-b<0,当x>时,x2-b>0,又对任意的x∈(0,+∞),不等式ax3+3x2-abx-3b≤0恒成立,所以当0<x<时,ax+3≥0,当x>时,ax+3≤0,所以x=为函数y=ax+3的零点,且a<0,所以a+3=0,可得a2b=9,故A正确,B错误.因为a+3=0,所以a=,所以a2+4b=+4b≥2=12,当且仅当=4b,即b=时,等号成立,所以a2+4b的最小值为12,故C正确.a2+ab+3a+b=+b+3+b=b+-3,令t=+,因为+≥2=2,当且仅当=,即b=3时,等号成立,所以t≥2,由t=+,得t2==b++6,所以b+=t2-6,所以b+-3=t2-3t-6.因为函数y=t2-3t-6的图象的对称轴为直线t=,所以当t∈[2,+∞)时,y随t的增大而增大,所以当t=2时,y=t2-3t-6取得最小值,最小值为(2)2-6-6=6-6,所以a2+ab+3a+b的最小值为6-6,故D正确,故选ACD. 9.0　[解析] 因为y=ln|x+a|有两个变号零点-a-1,-a+1,所以根据题意得y=|x|+a2-1也有两个变号零点-a-1,-a+1,故 解得a=0. 10.-1　[解析] 由题意得f'(x)=(x+m+1)ex-x-(m+1)≥0在R上恒成立,即(x+m+1)(ex-1)≥0在R上恒成立,则函数y=ex-1的零点0也是函数y=x+m+1的零点,所以m+1=0,解得m=-1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $