2027届高三数学一轮复习阶段测试卷（范围： 函数与导数）

**基本信息** 以函数与导数核心知识为载体，通过定义辨析、性质应用、导数工具三大模块，系统构建"概念-性质-应用"逻辑链条，提炼定义法、分离常数法等实用解题方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念与性质|选择1-5、9、11，填空14，解答15-16|定义法判断函数类型，奇偶性与单调性综合分析|从幂函数定义出发，推导函数性质，应用于大小比较与对称问题| |导数应用|选择6-8、10，填空12-13，解答17-18|分离常数法求参数范围，导数工具研究极值与切线|以导数几何意义为基础，延伸至单调区间、极值点存在性及零点个数判断| |抽象函数与综合|选择7、19|构造函数法转化不等式，单调性定义证明|结合抽象函数性质，构建函数模型解决恒成立问题，体现数学建模素养|

2027高三一轮复习阶段测试卷 （范围： 函数与导数） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义域为的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（      ） A． B．若在上有最小值，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．函数的图象与直线的交点最多有1个 10．已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 11．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法错误的是（   ） A．在上单调递增 B．若，则的值域为 C． D．若，则的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若曲线上点的切线平行于直线，则点的横坐标是___________． 13．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 14．若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可) 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 16．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 17．函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)判断函数的零点个数． 18．已知三次函数，． (1)若在处取得极小值，求，； (2)若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 19．已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且. (1)求，并用表示； (2)证明是增函数； (3)对，，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B B A B D ABD BC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 2．B 【分析】根据函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】A：由知，在上递增，不符； B：由二次函数性质知，是偶函数，又在上单调递减，符合； C：由在上递增，在定义域上递增，故在上递增， 不符合； D：的定义域为，且，得函数是奇函数，不符. 3．D 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，由解析式可得在上单调递增，进而可得结论． 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即． 4．B 【分析】分别判断出、、的范围,比较大小即可. 【详解】由，即； 由，即， 所以. 5．B 【分析】由已知条件可得为偶函数，且周期为12，再结合周期和已知条件可求得结果． 【详解】的图象关于直线对称，， ， ， ∵ ， ，则为偶函数． 由 ，得， 由，得， 则，则， ，则，的周期为12． ，，则 ， 的图象关于点对称， ． ， ，则， ，． 6．A 【分析】依题可知时，恒成立，分离常数后得，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调性，从而求得函数最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】函数定义域，导数， 由题意可知当时，导数恒成立， 即，所以在时恒成立. 令函数， 则， 令函数，则导数， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以. 7．B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 8．D 【分析】利用导数法求得极值点，再根据函数在内存在极值建立关于的不等式求解即可. 【详解】的定义域为，， 令，可得：或（舍）， 由在其定义域内的一个子集内存在极值， 可得：，解得， 所以实数的取值范围为． 9．ABD 【分析】由奇函数的定义判断A；由奇函数的对称性判断B；由奇函数的单调性判断C，由函数的定义判断D. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，A正确； 因为奇函数的图象关于原点中心对称， 因为，若在上有最小值，则在上有最大值1，B正确； 因为奇函数在关于原点对的区间上具有相同的单调性， 因为，若在上为增函数，则在上为增函数，C不正确； 因为函数定义域内每一个自变量都有唯一的函数值与之对应，函数是定义在上的奇函数， 所以在函数的定义域内，函数的图象与直线有且仅有一个交点，故D正确． 故选：ABD. 10．BC 【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D． 【详解】对于B，由题， 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，故B正确； 对于A，由B可知的极大值，极小值， 因为在单调递增，且， 所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误； 对于C，令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向下移动个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为， 代入，可得， 整理得，即即 解方程得：或 则过点的切线方程有两条，D错误． 11．ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义，结合特殊值，判断AC，对于BD，首先判断函数的值域，再判断高斯函数的值域. 【详解】对于A：由题意，故A错； 对于B：， ，当时，；当时，， 所以的值域为，故B正确； 对于C：因为当时，，所以，故C错； 对于D：， 当时，；当时，， 所以的值域为，故D错. 12． 【详解】对函数求导得， 直线的斜率为，令，解得， 故点的横坐标为． 13． 【分析】由题意可知：存在，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为， 由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递增，则，可得， 所以实数的取值范围是. 14．（答案不唯一） 【分析】已知所给函数性质找出函数验证条件即可. 【详解】由得：， 令，则，所以函数为奇函数. 所以所求函数要满足： ①为奇函数；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 例如：. 由 ，满足①， 由， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故满足②③, 所以函数满足题意. 15．(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 16．(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 17．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）根据函数的零点定义，将函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，利用求导判断函数的单调性与极值，图象趋势情况，数形结合即可求得参数在不同取值情况下函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 由可得，由可得或， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由可得，依题意，函数的零点个数即函数与直线的交点个数. 因，当时，，当或时，， 则函数在上单调递增；在和上单调递减， 且当时，，当时，，， 故当或时，两函数有1个交点；当时，两函数有2个交点；当时，两函数有3个交点； 即当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据极小值的性质和定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，依题意，解得 ， 此时， 当或时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意； （2）若， 依题意，方程有两个根， 令，则方程有两个不同的正根， 则，解得，即的取值范围为. 19．(1)， (2)，且，则， 因为，所以，所以， 因为当时，，则，所以，所以 又因为时，，所以，所以， 所以，即， 所以是上的单调递增函数. (3) 【分析】（1）根据题意，对③式，令，即可求出；对③式，令即可得到关于的表达式； （2）根据题意，利用函数单调性的定义，对于任意，当时，证明即可； （3）根据题意，得到恒成立，令，由单调递增即可求解. 【详解】（1）对③式，令，，则，由于，解得， 对③式，令，则， 又因为，即，所以. （2）略. （3）由（2）知，是单调递增函数，所以最大值为， 所以对任意，恒成立，即， 令，由于在上单调递增，故需满足最小值， 设，其在上单调递增且，故由，解得， 所以实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $