函数与导数：已知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与导数的双向应用，通过精选例题与变式构建正向（求含参单调性）与逆向（已知单调性求参数）问题链，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知函数单调性求参数范围|4例+4变式|选择、填空为主，涉及区间单调性、不单调等情境|以导数与单调性关系为核心，通过不等式恒成立转化参数范围，体现逆向推理| |求含参函数的单调性|3例+3变式|解答题为主，含切线、零点等综合问题|基于导数分类讨论单调性，构建“求导-定零点-分区间-判符号”的正向逻辑链|

函数与导数：已知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 函数与导数：已知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 考点目录 已知函数单调性求参数范围 求含参函数的单调性 考点一 已知函数单调性求参数范围 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 例2．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 例3．（2026·山东聊城·一模）若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【答案】 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 对求导得，， 于是，所以， 于是， 所以的极小值为． 例4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】 【分析】 先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可. 【详解】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 变式1．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 变式2．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 变式3．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 变式4．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 考点二 求含参函数的单调性 例1．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）略. 例2．（2026·陕西渭南·三模）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3)1 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足求的值. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，探究函数的单调性. （3）设，结合二次求导，求出函数的最小值为，问题转化为，求的最小值，再设，分析函数单调性，解不等式即可得的最小值. 【详解】（1）当时，，. 由解得，. 由， 所以，解得：. （2）由，所以. 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）由，可得，即. 设，，则，. 设，，则恒成立，所以在上单调递增. 又，， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以. 由，可得：. 设，，则. 由解得；由解得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 所以存在，使得. 所以不等式的解集为. 所以实数的最小值为1. 例3．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2) 【分析】（1）利用导数与函数的单调性的关系，分和两种情况讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与有两个交点，先求出的单调区间，进而求作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）令，得到，即， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，且，的图象如图所示， 因为有两个零点，则与有两个交点， 所以，即， 所以的取值范围为. 变式1．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有2个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (3)． 【分析】（1）代入求导得切点处的函数值与导数值，用点斜式直接写出切线方程. （2）先求导，按正负分类讨论导数符号，进而确定函数单调区间. （3）先排除情况，易得一个零点，依据零点间距小于1分区间结合端点函数值与极值点位置，求出取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 又，. 因此曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，恒成立，因此在上单调递减； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）知，当时，在上单调递减，仅1个零点，不符合题意， 故． 当时，． 令，，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以． 要使有2个不同的零点，则，所以，即且． 注意到对任意，恒成立，则0为的一个零点，不妨设， 要使，则，且， 令，则，解得，所以． 当时，根据单调性可知，极小值点，且， 解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且， 解得， 综上，的取值范围是． 变式2．（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导，通过讨论的范围，得到和，即可得到函数的单调区间； （2）根据（1）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， ，则由得，． （ⅰ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． （ⅱ）当时，则，此时，所以在单调递减． （ⅲ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． 综上所述， 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增． （2）（ⅰ）若，则，由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． ∴当时，取得最小值，最小值为．   ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即． 当时，，，故， 所以，故在有一个零点．   设，，时，单调递增， 所以，即当时，， 故， 所以，因此在有一个零点．   （ⅱ）若，，由（1）知，至多有一个零点； （ⅲ）若，由（1）知，至多有一个零点； （ⅳ）若，，由（1）知，至多有一个零点； 综上，的取值范围为. 变式3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减，在上递增. (2) 【分析】（1）求出的定义域，求出，利用基本不等式得到，故分别按照和这两种情况讨论求解，当时，令，即，求出此方程的两个根，；利用韦达定理得到，解出和的解，从而得到的单调性. （2）设有三个零点，，，而.求出得到，，满足，，，求出的单调性，求出，，故由零点存在性定理得到当时，必存在三个不同实数，，，且，使得，从而得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. （2）设有三个零点，，，而. 当且时，由，得到：； 故，，又因为， 故，，满足，，， 所以有两个不等实根， 即在有两个不同的实数根，，， 则，得到，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 取，所以， 由，设，， 设函数的导函数为， 则， 则在上递减，故，故在上递减. 故，故， 而，， 取时，， 故由零点存在性定理可知， 当时，必存在三个不同实数，，， 且，使得.故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：己知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 函数与导数：已知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 考点目录 已知函数单调性求参数范围 求含参函数的单调性 (2026·陕西西安：模拟预测)己知函数厂(x)=Qe f(x)_f()<o 例考点 白始函数单调性求参数范围 一x,若对任意的0<<x,都有石 ,则 实数a的取值范围是() A -0e B.（-o,e] a.) D.+w 例2.（25-26高三上云南曲靖阶段检测)己知函数/)=sir+- 为增函数，则的取值范围是() A.[0,+∞) B.（0,0] c(∞，刂 D.L,+∞) 例3。(226山东聊城一模)若f)=r-c血在0,1)上单调递减，在+)上单调递增，则/（的极小值为. 例4.（2026：山东济南模拟预测)已知函数/儿)=c-ar- 是R上的单调递增函数，则“的值为一 变式1.(2026江西九江模拟预测)已知函数f()e-(在区间Q,+)上单调递增，则实数“的取值范围是 () y 函数与导数：己知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 a〔g.[尼* C.（-∞，0] D.[0,+o) 函数与导数：己知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 f(x)=e*-(a+1)Inx 变式2.(25-26高二下河北邢台期中)已知函数 在区间从，)上单调递增，则“的取值范国是 () A(←o,e-】B.(4e-刂c.(o,e-) D.（o,4e-1 变式3.(2026河北保定一模)己知函数f()=0血+e在区间L+切）上单调递指，则a的取值范围为 变式4.(2025江苏苏州三模)若fx)=(血x+a在山，e]上不单调，则实数a的取值范围是 函数与导数：己知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 考点二 求含参函数的单调性 例1.(2026海南三亚一模)已知函数（冈=ar+ln+1(aeR),8()=x(e+) ①)讨论函数)的单调性： ②若=8（的图像在=0处的切线与=（的图像相切，求实数“的值： (3)当a=1时，证明：对任意的 e(0,+w).f(<g四恒成立. 例2.（2026陕西滑南三模)已知函数/)=e-am ①当0=1时，南线=刊的一条切线方程为=+b,求实数P的值， (2)求函 f()的单调区间： (B)若对任意x>0,()+ar-na恒成立，求实数。的最小值。 a 函数与导数：己知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 例3.(2026陕西减阳三模)已知函数f(x)=2nx+a-1. (1)讨 f(的单调性： (2)若 (的有两个零点，求“的取值范围 变式1，(2026~安徽模拟预测)已知函数()=e“-2x-1,a∈R )当a=2时，求曲线'=/（在点0,0》处的切线方程： (②讨论函数/（的单调性： ⑧)若函数f有2个不同的零点，，且5<1，求“的取值范国。 函数与导数：己知函数单调性求参数范围、求含参函数的单调性专项训练 变式2.(2026-山东青岛模拟预测)已知函数/()=ae+(2-a)e-x(a∈R) ()当a<0时，讨论 f() 的单调性； ②若因)有两个零点，求“的取值范围. 变式3。(2026安藏合肥模报预菊测)已知西数f()=xan,其中aER )讨论f的单调性： ②芳儿闪有三个零点，。，5，且<5<，求实数a的取值范围 6