7：一元二次不等式的求解及三个“二次”间的关系训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-关系-解法-应用”为逻辑主线，系统构建一元二次不等式解题体系，通过分类讨论与数形结合培养逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念梳理|2个核心概念|定义辨析+零点理解|从二次函数零点切入，建立概念与方程的关联| |解法体系|5步标准流程+3类参数讨论|化标准→判根→画图→写解集，分类讨论参数（系数/判别式/根大小）|从不含参数到含参数，体现由简到繁的认知进阶| |恒成立问题|3类场景解法|判别式法/分离参数法/变换主元法|结合函数值域与参数范围，体现数学建模与运算能力| |高考题型|9类高频题型|因式分解/韦达定理/转化思想|覆盖基础到综合，对应不同难度层次的解题策略|

知识点7：一元二次不等式的求解及三个“二次”间的关系 一、一元二次不等式的基本概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 其一般形式为： · （） · （） · （） · （） 2. 二次函数的零点 一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时自变量 的值，即二次函数的图象与 轴交点的横坐标，也称为二次函数的零点。 二、三个“二次”的关系 三个“二次”是指二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。在三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来解决。 判别式 与解集的关系 项目 二次函数 （）的图象 开口向上，与x轴有两个交点 开口向上，与x轴相切于一点 开口向上，与x轴无交点 一元二次方程 （）的根 有两个相异实根 （） 有两个相等实根 没有实数根 （）的解集 （）的解集 注意：当二次项系数 时，可先将不等式两边乘以 -1，转化为 的形式再求解。 三、一元二次不等式的解法 1. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1. 化标准：通过对不等式的变形，使不等号右侧为0，左侧的二次项系数为正。 1. 判别式：对不等号左侧因式分解，若不易分解，则计算其对应方程的判别式。 1. 求实根：求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有无实根。 1. 画草图：根据一元二次方程根的情况画出其对应的二次函数图象的草图。 1. 写解集：根据图象写出不等式的解集。 核心口诀：数形结合，先找根，再画图，最后看图找解集。 2. 解含参数的一元二次不等式 解含参数的不等式时，需根据运算的需要进行分类讨论： 1. 讨论二次项系数：当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数与0的大小关系，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式。 2. 讨论根的个数：当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系。 3. 讨论两根的大小：确定方程有两根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式。 四、一元二次不等式恒成立问题 1. 在上的恒成立问题 · 对一切 恒成立 · 对一切 恒成立 · 若 可以为0，需要分类讨论，优先考虑 的情形。 2. 在给定区间上的恒成立问题 · 转化为函数值域问题：若 在区间上的值域为 ，则： · 恒成立 ，即 · 恒成立 ，即 3. 给定参数范围求 范围的恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数。一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 五、分式不等式的解法 分式不等式可通过转化为整式不等式求解： · · · · 六、高考高频考点与题型 题型 核心方法 难度 不含参数的一元二次不等式求解 因式分解或公式法 基础 含参数的一元二次不等式求解 分类讨论（二次项系数、判别式、根的大小） 中档 三个“二次”之间的关系应用 利用根与系数的关系 中档 在R上的恒成立问题 判别式法 中档 在给定区间上的恒成立问题 分离参数法、最值法 中档偏难 给定参数范围的恒成立问题 变换主元法 较难 分式不等式求解 转化为整式不等式 中档 一元二次不等式的实际应用 建模 + 解不等式 中档 与集合、函数等知识交汇 综合应用 较难 七、易错提醒 1. 忽视二次项系数为0的情况：解含参不等式时，不能忘记讨论 的情形。 2. 不等号方向错误：两边同乘或除以负数时，不等号必须变号。 3. 恒成立问题忽略判别式条件：在上恒成立时，需同时满足 （或 ）且 。 4. 分式不等式分母忽略不为0：转化为整式不等式时，需注意分母不为0的条件。 5. 三个“二次”关系应用不熟练：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与轴的交点，可利用根与系数的关系求待定系数。 实战演练 一、单选题 1.设全集 ，集合 ，则 中元素个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2.若 ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 3.已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 4.已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 5.下列不等式中解集为的是（ ） A. B. C. D. 6.已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 7.已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 8.若关于 的不等式 的解集中恰有 4 个整数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式 的解集为 D. 不等式 的解集为 10.已知实数 满足 ，若关于 的不等式 的解集中有且仅有 3 个整数，则实数 的可能取值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 11.已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ） A. B. 不等式 的解集是 C. D. 不等式 的解集是 三、填空题 12.若 是关于 的一元二次不等式，则 的取值范围是 ______。 13.不等式 的解集是 ______。 14.设 ：实数 满足 （），：实数 满足 ，且 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 ______。 四、解答题 15.关于 的不等式 的解集为 。 （1）求 的值； （2）设函数 ，求 的最小值。 16.已知关于 的方程 。 （1）求证：不论 取何值，方程都有实数根； （2）若方程有两个整数根，求整数 的值。 17.已知函数 （）。 （1）若 的解集为 ，求实数 的值； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）若 且 ，求 的最小值。 18.已知：，（），若非 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 19.已知 ， 且 。 （1）求 的最小值； （2）若对于任意的 均有 恒成立，求实数 的取值范围。 参考答案 一、单选题 1. 答案：C 解析： 全集 ，共10个自然数。集合 ，则 ，元素个数为6。 2. 答案：D 解析： 由 得 。二次函数开口向上，不等式 的解集取两根之间，即 。 3. 答案：B 解析： 分式不等式 ，得 。二次不等式 ，得 。并集 。 4. 答案：C 解析： ，。交集 。 5. 答案：C 解析： 一元二次不等式解集为 的条件是 且 。 A：，，舍去； B：由 ，，则解集不为，不符合题意； C：，，，解集为 ； D：，，抛物线开口向上，不可能全体实数小于0。 6. 答案：C 解析： ，。 ，则 。 7. 答案：D 解析： 的解集为 ，说明 ，且两根为 。 由韦达定理： 代入 得 。 由于 ，两边除以 并变号得 。 解方程 ，得根 。 开口向上，解集为 ，对应选项D。 8. 答案：A 解析： ，因式分解得 。 解集中只有4个整数，抛物线必须开口向上，即 。两根为 。 由于 ，解集为 。 区间内恰有4个整数 ，故 。 得 。 二、多选题 9. 答案：AD 解析：对于选项A：由关于 的不等式 的解集为 ，可得 ，故A正确； 对于选项B：由题意可得 ， 故 ，，则 ，故B错误； 对于选项C：，由 ，故 ，即 ， 所以不等式 的解集为 ，故C错误； 对于选项D：， 由 ，则该不等式解集为 ，故D正确。 10. 答案：ACD 解析： 不等式 可化为 。 已知 ，则 。 代入选项验证： A：，满足条件，解集中有且仅有3个整数； C：，满足条件； D：，满足条件； B：，整数个数多于3个，排除。 11. 答案：AC 解析： 的解集为 ，则 ，且两根为 。 由韦达定理： A：，正确； B：，解集为 ，B错误； C：，正确； D： 代入系数，根不是 ，D错误。 三、填空题 12. 答案： 解析： 一元二次不等式要求二次项系数不为0，即 。 13. 答案： 或 解析： 解集为 或 。 14. 答案： 解析： 先明确的关系，再根据集合的包含关系求的取值范围. 因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件， 由，因为 < 0，所以； 由. 因为是的充分不必要条件，所以. 所以. 即实数的取值范围是. 四、解答题 15. 解： （1）由题意， 的解集为 ，则 ，且两根为 。 由韦达定理： 解得 。 （2）由（1）得 。 令 ，则 。 当 ，即 时，取最小值2。 16. 解： （1）方程 的判别式： 故不论 取何值，方程都有实数根。 （2）因式分解得 ，两根为 。 两根均为整数，则 为整数，故整数 。 17. 解： （1）由题意， 的解集为 ，则 ，且两根为 。 由韦达定理： 解得 。 （2）当 时，不等式为 。 ① 若 ，则 ； ② 若 ，： 当 时，，两根为 ，解集为 或 ； 当 时，，解集为 ； 当 时，，解集为 ； ③ 若 ，开口向下，解集为 。 （3）由 且 ，得 。 当且仅当 时取等号，最小值为 。 18. 解： ， 或 。 ，，得 或 。 是 的必要不充分条件，即 。 故实数 的取值范围为 。 19. 解： 由 两边除以 得 。 （1）由基本不等式： 当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为16。 （2）由基本不等式： 当且仅当 ，即 时取等号，此时 （需验证满足 ）。 的最小值为9。 恒成立 。 解不等式 ，得： 故实数 的取值范围为 。 学科网（北京）股份有限公司 $