甘肃兰州市第五十九中学2025～2026学年第二学期期中考试高二数学

**基本信息** 兰州五十九中2025-2026学年高二数学期中试卷，以函数导数、立体几何、概率统计为核心，通过日晷文化情境（第4题）、切线综合问题（第16题）等设计，考查数学眼光下的空间观念与数学思维中的逻辑推理，适配高二学段中期能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数切线（1）、导数应用（3）、立体几何（4）|日晷纬度问题（4）融合传统文化与空间几何| |多选题|3/18|函数单调性（9）、概率分布（10）、正方体性质（11）|正方体截面判断（11）考查空间想象| |填空题|3/15|函数零点（12）、期望计算（13）、体积比（14）|体积比最值（14）体现创新应用| |解答题|5/72|概率分布（15）、导数切线（16）、二面角（17）、函数零点（18）、轨迹与体积（19）|导数切线综合（16）、二面角计算（17）突出逻辑推理与数学语言表达|

兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期中考试 答案 1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.ACD 10.ABD 11.ABD 12. 13.　 14. 15.(1)由题意知X的可能值是0,1,2, 甲袋中有2个红球、2个白球, 因此从甲袋中摸出的两球均为红色的概率为,1红1白的概率为,两球均为白色的概率是, 乙袋中有1个红球、3个白球, 因此从乙袋中摸出的两球均为红色的概率为0,1红1白的概率为,两球均为白色的概率是, 又摸出的球是从甲袋摸出的概率是,从乙袋摸出的概率是, 所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, 则X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×. (2)由(1)知摸出的两球1红1白的概率是P1=,1红1白两球是从乙袋中摸出的概率是P2=, 所以在摸出的2个球是1红1白,这2个球来自乙袋的概率P=. 16.(1)由题意知, f(-1)=-1-(-1)=0, f '(x)=3x2-1, 则f '(-1)=3-1=2, 则曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1), 即y=2x+2, 设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x, 则g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3. (2)f '(x)=3x2-1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)·(x-x1),整理得y=(3-1)x-2, 设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2,则切线方程为y-(+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-+a, 则, 令h(x)=,则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)·(x-1),令h'(x)>0,解得-<x<0或x>1, 令h'(x)<0,解得x<-或0<x<1, 则x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如表: x - 0 (0,1) 1 (1, +∞) h'(x) - 0 + 0 - 0 + h(x) ↘ ↗ ↘ -1 ↗ 则h(x)的值域为[-1,+∞),故a的取值范围为[-1,+∞). 17.(1)证明:因为AD=,AC=2,且∠CAD=30°, 所以由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°=22+()2-2×2×=1,即CD=1, 所以AD2+CD2=AC2,即AD⊥CD,又AD⊥DB, 且BD∩CD=D,BD,CD⊂平面BCD,所以AD⊥平面BCD, 又BC=2,BD=,则CD2+BD2=BC2,即BD⊥CD, 以D为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(0,0,),B(,0,0),C(0,1,0),M, P, 因为AQ=3QC,所以(0,1,-)=,则Q,所以, 因为AD⊥平面BCD,所以=(0,0,)为平面BCD的一个法向量,因为=0,所以, 又PQ⊄平面BCD,则PQ∥平面BCD. (2)由(1)可知,,, 设平面APC的法向量为m=(x,y,z), 则令z=2,则x=3,y=2, 则平面APC的一个法向量为m=(3,2,2), 设平面PCM的法向量为n=(a,b,c), 则令a=1,则b=,c=2, 则平面PCM的一个法向量为n=(1,,2), 设二面角A-PC-M的平面角为θ,显然θ为锐角, 则cos θ=|cos<m,n>|=. 所以二面角A-PC-M的余弦值为. 18.(1)当a=0时,函数f(x)=-2ex-x, f(0)=-2, 又f '(x)=-2ex-1,则f '(0)=-2-1=-3. 所以曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=-3x-2. (2)由题意知, f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(2ex+1)(aex-1),显然2ex+1>0恒成立, ①若a≤0,则f '(x)<0,此时f(x)在(-∞,+∞)上单调递减; ②若a>0,令f '(x)=0,解得x=-ln a. 当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0,当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0. 所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. 综上,当a≤0时, f(x)在(-∞,+∞)上单调递减; 当a>0时, f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. (3)若a≤0,由(2)知, f(x)至多有一个零点,不符合题意; 若a>0,由(2)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,为f(-ln a)=1-+ln a. 设g(x)=1-+ln x,则g'(x)=>0, 故g(x)=1-+ln x在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, (i)当a∈[1,+∞)时, f(-ln a)=1-+ln a≥0,此时f(x)没有两个零点; (ii)当a∈(0,1)时, f(-ln a)=1-+ln a<0, 又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0, 故f(x)在(-∞,-ln a)上有一个零点; 当x>ln时,由ex>,即aex>3,得aex-3>0,则aex+a-3>0, 故ex(aex+a-3)>0,即ae2x+aex-3ex>0,又易知ex>x, 则ae2x+aex-3ex+ex-x>0,即ae2x+(a-2)ex-x>0, 因此f(x)在(-ln a,+∞)上也有一个零点. 综上,若f(x)有两个零点,则实数a的取值范围为(0,1). 19.(1)作BH⊥PE交PE于H,因为平面PAE⊥平面PBE,且平面PAE∩平面PBE=PE,BH⊂平面PBE, 所以BH⊥平面PAE,又因为AE⊂平面PAE,所以BH⊥AE, 因为PB⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,所以PB⊥AE, 因为BH⊥AE,PB⊥AE,PB,BH⊂平面PBE,PB∩BH=B, 所以AE⊥平面PBE, 又因为BE⊂平面PBE,所以AE⊥BE. 分别以直线BA,BC,BP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图1, 　　 则B(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0), 设E(x,y,0),因为AE⊥BE,所以=0,又=(x-2,y,0),=(x,y,0),所以(x-2)·x+y·y=0, 即(x-1)2+y2=1,如图2,设AB的中点为N,则N(1,0), 又因为∠ABE∈,所以∠ANE∈, 因此E的轨迹为圆弧QE,其长度为. (2)由(1)知,=(2,0,-2),=(x-2,y,0), 设平面PAE的法向量为n=(a,b,c), 则 令a=y,则b=2-x,c=y,n=(y,2-x,y), 易知=(0,2,0)为平面PAB的一个法向量, 设二面角E-PA-B的平面角为θ, 则cos θ=, 则,(提示:结合(x-1)2+y2=1求解) 解得x=2,y=0(舍去)或x=1,y=±1,则E(1,1,0)或E(1,-1,0), 则点E到平面PBC的距离为1, 从而可得三棱锥E-PCB的体积VE-PCB=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=ex,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线斜率为 A.-1　　　　B.-　　　　D.1 2.设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A. 3.已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 A.e2　　　　B.e　　　　C.e-1　　　　D.e-2 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为 A.20°　　　　B.40°　　　　C.50°　　　　D.90° 5.如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E是底面圆周上异于A,B的一点,若AB=4,当三棱锥D-ABE体积最大时,点C到平面BDE的距离为 A.2　　　　B.2 6.已知函数f(x)=ln在[1,+∞)上单调递增,则m的取值范围为 A.(-5,0]　　　 　B.(-∞,1] C.[0,1]　　　　D.(-5,1] 7.已知随机变量X的分布列如表所示: X -1 0 1 P m n 若P(X≤0)=,且2X+Y=1,则D(Y)= A. 8.已知当x>0时,exln x-xln x≥a恒成立,则实数a的取值范围为 A.(-∞,1]　　　　B.(1,e2] C.(-∞,2]　　　　D.[e,+∞) 二、多选题（每题6分，共18分） 9.已知函数f(x)=aex-x+a2(a∈R),则 A.当a≤0时, f(x)是R上的减函数 B.当a>0时,x=ln a是f(x)的极小值点 C.当a=e时, f(x)取到最小值e2+2 D.当a>0时, f(x)>2ln a+恒成立 10.盒中有3个球,其中1个红球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,E(ξ)、D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差,则下列结论正确的是 A.P(ξ=0)=　　　　B.E(ξ)=1 C.E(3ξ+1)=3　　　　D.D(3ξ+1)=6 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E是线段AB上靠近B点的三等分点,F是A1D1中点,则 A.该正方体外接球的表面积为27π B.直线EF与CD所成角的余弦值为 C.平面B1EF截正方体所得截面为等腰梯形 D.点F到平面A1BC1的距离为 三、填空题（每题5分，共15分） 12.对于函数f(x)=ex-x2+a,g(x)=xln x,若对任意的x1∈[0,1],存在唯一的x2∈使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是　　　　.  13.已知4件产品中有2件次品,逐个不放回检测,直至能确定所有次品为止,记检测次数为X.则E(X)=　　　　.  14.如图所示,四面体ABCD的体积为V,点M为棱BC的中点,点E为线段DM上靠近D的三等分点,点F为线段AE上靠近A的三等分点,过点F的平面α与棱AB,AC,AD分别交于P,Q,R,设四面体APQR的体积为V',则的最小值为　　　　.  四、解答题（共72分） 15.（13分）甲袋中装有2个红球、2个白球,乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲袋中随机摸出2个球;如果点数为3,4,5,6,从乙袋中随机摸出2个球. (1)记摸出红球的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X); (2)已知摸出的2个球是1红1白,求这2个球来自乙袋的概率. 16.（15分）已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 17.（15分）如图,在四面体ABCD中,AD=BD=,AC=BC=2,AD⊥DB,∠CAD=30°,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC. (1)证明:PQ∥平面BCD; (2)求二面角A-PC-M的余弦值. 18.（17分）已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈R). (1)当a=0时,求曲线f(x)在(0, f(0))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性; (3)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围. 19.（17分）在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,AB=BC=BP=2,点E在平面ABC内,且满足平面PAE⊥平面PBE,BA垂直于BC. (1)当∠ABE∈时,求点E的轨迹长度; (2)当二面角E-PA-B的余弦值为时,求三棱锥E-PCB的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $