2.2 求解一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，以梯子滑动实际问题导入，衔接平方根与直接开平方法旧知，通过问题链引导学生从特殊方程到一般步骤探究，搭建转化思想的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，借助出入相补拼图、花剌子米几何解法将配方过程可视化，体现数学眼光与思维。以“生活-数学-生活”闭环设计，如健身区面积问题，培养应用意识，帮助学生理解转化本质，教师可通过协作讨论和分层作业提升教学效率。

第二章 一元二次方程 第2课 求解一元二次方程 新版北师大数学九年级上册数学 第1课时 配方法一元二次方程 学习目标 1.通过解决梯子滑动精确距离的实际问题,经历从直接开平方法到配方法的探究过程,掌握直接开平方法和二次项系数为1的配方法解一元二次方程的基本步骤. 2.通过填写完全平方式、对比方程形式的操作活动,理解配方法的本质是“转化”思想,提升代数变形和逻辑推理能力. 3.通过用配方法解决小区花坛改造的实际问题,感受数学方法的实用性，体会“生活-数学-生活”的闭环转化. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 小明一家结束洛阳之旅回到家后,小明还在琢磨景区消防演练的梯子问题:“上节课我们算出梯子底端滑动距离的近似值在1.1到1.2之间,那它的精确值到底是多少呢？” 爸爸笑着说:“这个问题正好可以用我们今天要学的新知识来解决，我们一起探究一下吧！” 旧知问题：什么是一元二次方程的解？平方根的定义是什么？ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解；若一个数的平方等于，则这个数叫做的平方根，记作±（ ≥0） 问题构建 （1） . （2） . 问题1:上面两道题目是我们在八年级上册学习《平方根与立方根》第2课时的练习题，你还记得它们的答案吗？ 解： . . 解： . . 追问:观察上面两个题目的形式,从方程的角度,它们是什么方程？从方程求解的角度观察，你有怎样的思考？ 一元二次方程，类型形式的一元二次方程可以直接求解 我们通常使用的形式去表示一元二次方程的两个解. 问题构建 问题2:我们先从简单的方程入手,你能解下列这些特殊的一元二次方程吗？说说你的解题依据. ①=5 ②2+3=5 ③ ④+2+1=5 ① ​=5​,​=−5​,依据:平方根的定义 ②整理得=1, ​=1, ​=−1,依据:先化为=n的形式再开平方 ③整理得 ​=​−6,​= ​−6,依据:把(x+6)看作整体开平方 ④整理得 ​=−1+​, ​=−1−​，依据:先将左边化为完全平方式再开平方 问题构建 追问:像这种利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做什么？它能解什么形式的方程？ 直接开平方法；能解形如=n（n≥0）或=n（n≥0）的一元二次方程 问题3:回到梯子滑动的方程+12x−15=0，它能直接用开平方法求解吗？你遇到的困难是什么？ 不能；困难是方程左边不是完全平方式，无法直接开平方 追问:能不能想办法把它转化成刚才我们会解的=n的形式呢？我们先完成下面的填空,找找规律. 问题构建 操作・思考：填上适当的数,使下列等式成立：① +12+ =​ ② −4+ ​= ③ +8+​ = ①36 ②4,2 ③16,4 问题4:观察上面三个等式,你发现常数项和一次项系数有什么关系？ 12÷2=6， -4÷2=-2， 8÷2=4， 常数项是一次项系数一半的平方 问题构建 问题5:现在你能尝试把梯子方程−15=0转化为=n的形式吗？写出你的转化过程. 解:移项,得=15 两边加一次项系数12一半的平方， 即=36， 得+36=15+36 即=51 追问1:现在这个方程能直接开平方求解了吗？求出它的解,并判断哪个解符合梯子滑动的实际意义. 能;两边开平方得x+6=±​，所以​=​−6,​= ​−6因为x表示滑动距离,不能为负数,所以x= ​−6是符合实际意义的精确解. 问题构建 追问2:我们刚才通过配成完全平方式的方法求出了方程的解,这种方法叫什么？ 配方法,通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法. 练习:用配方法解方程： 解：移项,得： 配方，得： +=1+ 化简，得： 直接开平方，得： ， 协作破冰 问题6:结合刚才解梯子方程和练习题的过程,小组讨论:用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？ 1.移项：把常数项移到方程右边 2.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 3.变形：方程左边化为完全平方式，右边合并同类项 4.开平方：若右边是非负数，两边同时开平方 5.求解：解所得的一元一次方程，得到原方程的两个根 追问:第2步配方加上一次项系数一半的平方,对于转化成完全平方形式的书写有怎样的帮助？ 直接写出一次项系数一半，放入完全平方公式的底数中，比较方便，不易出现符号错误. 协作破冰 中华先贤以出入相补的智慧,将抽象的代数方程转化为直观的几何图形,展现了东方数学独特的审美与哲思. 一元二次方程的几何解法 +2−35=0⇔ (+2)=35 构造与求解： 拼图：​ 四个面积为35的矩形x(x+2) 补形：​ 在中心补上边长为2的小正方形。 得解：​ 大正方形面积=4×35+=144 =144⟹=5 教师示范 公元9世纪,阿拉伯数学家花剌子米采用的方法是：构造图,一方面,大正方形的面积为；另一方面,它又等于35+1.据此同样可得x=5. 几何量默认为正,代数则包含正负双解. 两种构图有何异同？ 都是“面积割补”，只是起点不同 这与“配方法”有何联系？ 几何上的“补正方形”,就是代数上的“配方” 为何几何解常只有正数根？ 教师示范 小明家楼下有一个长方形的健身区,长比宽多8m，面积是9m²，求健身区的宽. 解：设健身区的宽为xm，则长为(x+8)m，根据题意得： x(x+8)=9 整理，得−9=0 移项，得=9 配方，得+=9+ 即=25 开平方，得：x+4=±5 所以x+4=5或x+4=−5 解得​=1， ​=−9 因为宽度不能为负数，所以x=1 答：健身区的宽为1m 追问：如果方程的常数项移到右边后，配方后右边是负数，方程还有实数解吗？举例说明 没有；例如+3=0，配方得=-2 ，因为任何实数的平方都不是负数，所以这个方程没有实数解 巩固拓展 问题7：回到第1课时的酒店铺地毯问题，方程是+22=0，这个一元二次方程的二次项系数不为1，你还能用配方法求解吗？你打算怎样做？这里应用了怎样的数学思想？和同伴进行交流，下节课我们将进行重点学习. 4𝑥2+26𝑥+22=0 转化 两边同除以2 配方 验证 当堂检测 1. 方程=9的解是（ ） B. C. D. A 当堂检测 2.将方程+5=0配方,得到的完全平方式是______ =4 移常数项 配完全平方 直接开平方 书写解 验证 当堂检测 3. 用配方法解方程+4−12=0 解： 移项得：+4𝑥=12 配方得：+4𝑥+4=12+4 即=16 开平方得𝑥+2=±4 所以​=2，​=−6 当堂检测 4.一个长方形的长比宽多2m,面积是15m²,求这个长方形的长和宽 解：设长方形的宽为𝑥m，则长为(𝑥+2)m， 根据题意列方程：𝑥(𝑥+2)=15 整理得:+2𝑥−15=0 配方得+2𝑥+1=15+1 即 =16 开平方得:𝑥+1=±4 解得​=3，​=−5 （舍去） 所以长为3+2=5m 答：长方形的长为5m，宽为3m. 反思总结 1.直接开平方法和配方法之间有什么联系？配方法的核心是什么？ 2.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时,为什么必须在方程两边同时加上一次项系数一半的平方？ 3.本节课我们是如何运用“转化”思想,从解决梯子滑动的实际问题出发,一步步探究出配方法的？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第37页 第1题 二、素养类作业 1.当二次项系数不为1时,如何用配方法求解？例如和同学交流讨论它的解法. 2.拓展阅读：一元二次方程的几何解法 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $