2.2用配方法求解一元二次方程课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解法，系统涵盖直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及根的判别式。以“逐点导讲练”为支架，从直接开平方法的定义与类型切入，逐步过渡到配方法步骤、公式法推导及因式分解法应用，构建从具体到抽象的知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与应用意识，通过矩形面积等实际问题（如例6围成矩形框），引导学生用数学眼光发现数量关系，借助判别式分析方程根的情况培养推理能力。资料例题含错误分析、练习题分层（基础到中考题），教师可直接用于教学提升效率，学生能在实践中发展运算能力与创新意识。

2 用配方法求解一元二次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 用直接开平方法解一元二次方程 用配方法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 用因式分解法解一元二次方程 学习目标 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 知1－讲 1 1. 定义：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法. 特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： 1.不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； 2.只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法的前提是x2=p中的p ≥ 0. 感悟新知 知1－讲 2. 适合用直接开平方法求解的一元二次方程的三种类型 类型 方程的根 x2=p(p ≥ 0) x1= ，x2=－ (x＋m)2=p(p ≥ 0) x1=－m＋ ，x2=－m－ (mx＋n)2=p(p ≥ 0，m ≠ 0) x1=，x2= 感悟新知 知1－讲 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 感悟新知 知1－练 例 1 用直接开平方法解下列方程： 解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解. 感悟新知 知1－练 (1)9x2－81=0； 解：移项，得9x2=81. 系数化为1，得x2=9. 开平方，得x =±3 . 所以 x1=3，x2=－3 . 将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为1，右边是非负数(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根) 的形式。 感悟新知 知1－练 (2)2(x－3)2－50=0. 解：移项，得2(x－3)2=50 . 系数化为1，得(x－3)2=25 . 两边开平方，得x－3 =±5 . 所以 x1=8，x2=－2. 感悟新知 知1－练 (3)81(x-2)2=16； 解：方程变形，得(x-2)2=。 两边开平方，得x-2=±。 所以x1=，x2=。 感悟新知 知1－练 (4)(x-2)2=(2x+5)2。 解：两边开平方，得x-2=±(2x+5)。 所以x-2=2x+5 或x-2=-(2x+5)， 解得x1=-7，x2=-1。 感悟新知 知1－练 1-1. 若关于x 的代数式2x2＋2 与2x2－10 互为相反数， 则x 的值为( ) A. －2 B. ±2 C. D. ± D 感悟新知 知1－练 1-2.[中考·广州] 定义新运算：a ⓧ b =例如：-2 ⓧ 4=(-2)2-4=0，2 ⓧ 3=-2+3=1。若x ⓧ 1=- ，则x的值为______。 感悟新知 知2－讲 知识点 配方法 2 1. 配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 感悟新知 知2－讲 2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例(2x2－7x＋3=0) 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x2－7x=－3 二配 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 x2-x=- 感悟新知 知2－讲 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 x2-x + (-)2=-+(-)2，即(x-)2= 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 x-=± 五 解 解两个一元 一次方程 移项、合并同类项 x1=－3， x2=－ 感悟新知 知2－讲 说明 对于具体的某一个方程，并不一定要严格按照一般步骤求解，过程合理即可. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1.用配方法解方程时，也可以先把方程化为x2+ax+b=0 的形式，然后再在方程左边加上“一次项系数一半的平方”，再减去“一次项系数一半的平方”，使方程变为(x+m)2-n=0的形式，然后再移项得到(x+m)2=n。 2.这里“一次项系数”是指在二次项系数化为1后的一次项系数。 3.配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2=(a±b)2，其实质是将a 看成未知数，b 看成常数，则b2 即是一次项系数一半的平方. 感悟新知 17 知2－练 用配方法解一元二次方程： 例2 解题秘方：先将方程配方化为(x＋m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解. 感悟新知 知2－练 (1)x2＋x－ =0； 解：移项，得x2＋x = . 配方，得x2＋x＋()2= ＋()2，即(x＋ )2=1. 所以 x＋ =±1.所以 x1= ，x2=－ . 两边同时开平方时漏写“±”号. 方程两边同时加一次项系数一半的平方. 感悟新知 知2－练 (2)4x2－6x－1=0； 解：二次项系数化为1，得x2－ x－ = 0 . 配方，得x2－ x＋()2－ － ()2= 0， 即(9x－ )2－ = 0 . 移项，得(x－ )2= .所以x－ =±. 所以x1= ，x2= . 注意：方程左边同时加上和减去一次项系数一半的平方，其前提是二次项系数为1. 感悟新知 知2－练 (3)2x2－4x＋5=0； 解：移项，得2x2－4 x=－5 . 二次项系数化为1，得x2－2 x=－ . 配方，得x2－2 x＋()2=－ ＋()2， 即(x－1)2=－ . 所以－ <0，所以原方程无实数根. 将一元二次方程配方后，若等号右边小于0，则一元二次方程无实数根. 感悟新知 知2－练 (4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3=0. 解：移项，得(1＋x)2＋2(1＋x)=3 . 配方，得(1＋x)2＋2(1＋x)＋12=3＋12 . 所以(1＋x＋1)2=4 .所以x1= 0，x2=－4 . 巧将1＋x看作整体进行配方，可达到简化的效果. 感悟新知 知2－练 2-1. 用配方法解方程x2－4x－1=0 时，配方后正确的是(　　) A. (x＋2)2=3 B. (x＋2)2=17 C. (x－2)2=5 D. (x－2)2=17 C 感悟新知 知2－练 2-2.[中考· 聊城] 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1=0 时，将它化为(x＋a)2=b的形式， 则a＋b 的值为(　　) A. B. C. 2 D. B 感悟新知 知2－练 2-3.用配方法解方程： (1)[中考·无锡]x2-2x-2=0； 感悟新知 知2－练 (2)x2-2x+2=0。 感悟新知 知识点 用公式法解一元二次方程 知3－讲 3 1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是x = ，这个式子称为一元二次方程的求根公式. 2. 公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 感悟新知 3. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理：把一元二次方程整理为一般形式，并确定a，b，c 的值. (2)求值：求b2－4ac 的值. (3)代入：若b2－4ac ≥ 0，则把a，b 及b2－4ac 的值代入一元二次方程的求根公式x = 中，求出x1，x2；若b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 知3－讲 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2.只有当方程ax2＋bx＋c=0 中的a ≠ 0，b2－4ac ≥0 时，才能使用求根公式. 感悟新知 知3－练 例 3 用公式法解下列方程： 思路导引： 感悟新知 知3－练 (1)2x2－7x＋4=0； 解：这里a=2，b=－7，c=4 . 因为 b2－4ac=(－7)2－4×2×4 =17>0， 所以x= ，即x1=，x2=. 感悟新知 知3－练 (2)3x2－2 x=－1； 解：将原方程化为一般形式，得3x2－2 x＋1=0. 这里a=3，b=－2 ，c=1. 因为 b2－4ac=(－2 )2－4×3×1= 0， 所以x1=x2= =. 当b2-4ac=0 时， 方程有两个相等的实数根，不要误认为方程只有一个实数根。 感悟新知 知3－练 (3)x2－2x＋3=0. 解：这里a=1，b=－2，c=3 . 因为 b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0，所以方程无实数根. 感悟新知 知3－练 3-1. 用公式法解下列方程： (1)y2－2y－2=0； 感悟新知 知3－练 (2)3x2－2x=4； 感悟新知 知3－练 (3)x2＋6=2(x＋1)； 解：原方程可化为x2－2x＋4＝0. 这里a＝1，b＝－2，c＝4. ∵b2－4ac＝－12<0，∴方程无实数根． 感悟新知 知3－练 (4)5x2－2 x＋1=0. 感悟新知 知4－讲 知识点 一元二次方程根的判别式 4 1. 根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的情况可由b2－4ac 来判定. 我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ =b2－4ac. 读作delta 感悟新知 知4－讲 2. 根的情况与根的判别式之间的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0 Δ=b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根 Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根 感悟新知 知4－讲 特别提醒 一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时Δ=b2-4ac ≥ 0，切勿丢掉“等号”。 感悟新知 知4－练 【母题 教材P43 随堂练习T1】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： 例4 解题秘方：先计算根的判别式的值，再根据正负性判断根的情况。 感悟新知 知4－练 (1)x2+2=2 x； 解：原方程可化为x2-2 x+2=0， 所以a=1，b=-2 ，c=2。 所以Δ=b2-4ac=(-2 )2-4×1×2=0。 所以原方程有两个相等的实数根。 先化为一般形式 感悟新知 知4－练 (2)3x2-2x=-9； 解：原方程可化为3x2-2x+9=0， 所以a=3，b=-2，c=9。 所以Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×9=-104 < 0。 所以原方程无实数根。 感悟新知 知4－练 (3)x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0。 解：因为a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1， 所以Δ=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2。 因为8k2 ≥ 0，所以8+8k2﹥0，即Δ﹥0。 所以原方程有两个不相等的实数根。 感悟新知 知4－练 4-1.[中考·安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A. x2+1=0 B. x2-x+1=0 C. x2+x+1=0 D. x2+x-1=0 D 感悟新知 知4－练 4-2.[中考·潍坊]已知关于x 的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0，其中m，n满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 C 感悟新知 知4－练 若关于x 的一元二次方程kx2－2x＋3=0 有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A. k< B. k ≤ C. k< 且k ≠ 0 D. k ≤且k ≠ 0 例 5 感悟新知 知4－练 解题秘方：根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可解答. 解：因为 kx2－2 x＋3 = 0 为一元二次方程，所以 k ≠ 0， 因为该一元二次方程有两个实数根， 所以Δ=(－2)2－4 k×3 ≥ 0，解得k ≤. 所以k 的取值范围是k ≤且k ≠ 0. 答案：D 感悟新知 知4－练 5-1. [中考· 北京]若关于x 的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( ) A. -4 B. -1 C.1 D.4 C 感悟新知 知4－练 工人师傅要用一根铁丝围成一个周长为56 cm 的矩 形框，请帮他解决以下问题： 例 6 思路导引： 感悟新知 知4－练 (1)当矩形框的面积为180 cm2 时，长、宽分别为多少(长边为长，短边为宽)？ 解：设矩形框的长为x cm，则宽为 -x =(28 －x)cm. (1)依题意得x(28 －x)=18 0，即x2－28x＋180 = 0， 解得x1=10(舍去)，x2=18，∴28－x =28－18 =10 . 所以长为18 cm，宽为10 cm. 感悟新知 知4－练 (2)能围成面积为20 0 cm2 的矩形框吗？请说明理由. 解：不能. 理由如下： 若能围成面积为200 cm2的矩形框，则可列方程为x(28 －x)=200，即x2－28x＋200=0. 因为Δ=(－28)2－4×1×200=－16 <0， 所以原方程无实数根. 所以不能围成面积为200cm2 的矩形框. 感悟新知 知4－练 6-1. 学校为了美化校园环境，计划在一块长为40 m， 宽为20 m 的矩形空地上新建一个长为9 m， 宽为7 m的矩形花圃. (1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃，使它的面积比学校计划的面积多1 m2. 请给出你认为合适的三种不同的设计方案. 感悟新知 知4－练 解：学校计划新建的矩形花圃的面积为9×7＝63(m2)，比它多1 m2的矩形花圃的面积为64 m2。因此，可设计以下三种方案： 方案一：长和宽都为8 m； 方案二：长为10 m，宽为6.4 m； 方案三：长为20 m，宽为3.2 m。 (设计方案不唯一) 感悟新知 (2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下， 矩形花圃的面积能否增加2 m2 ？ 如果能， 请求出矩形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由. 知4－练 解：不能。理由如下： 假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积能增加2 m2。计划新建的矩形花圃的周长为2×(9＋7)＝32(m)． 感悟新知 知4－练 设面积增加后的矩形花圃的长为x m，则宽为 (16－x) m。根据题意，得x(16－x)＝9×7＋2。 整理，得x2－16x＋65＝0。 ∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×65＝－4<0， ∴此方程没有实数根。∴假设不成立，即在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下，矩形花圃的面积不能增加2 m2。 感悟新知 知识点 用因式分解法解一元二次方程 知5－讲 5 1. 因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 体现了转化思想. 感悟新知 知5－讲 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 感悟新知 知5－讲 3. 因式分解法常见应用类型 常见类型 因式分解 方程的解 x2＋bx=0 x(x＋b)=0 x1=0，x2=－b x2－a2=0 (x＋a)(x－a)=0 x1=a，x2=－a x2±2ax＋a2=0 (x±a)2=0 x1=x2= a x2＋(p＋q)x＋pq=0 (x＋p)(x＋q)=0 x1=－p，x2=－q 感悟新知 知5－讲 4. 一元二次方程解法的比较 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(ax+m)2=n (a ≠ 0，n ≥ 0)的方程 平方根的意义 开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分 解法 一边是0，另一边是易分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 感悟新知 知5－讲 特别解读 1.用因式分解法解一元二次方程的关键： (1)将方程的右边化为0; (2)熟练掌握多项式因式分解的方法; (3)方程两边不能同时除以含有未知数的相同整式. 2. 选择解法的步骤： 先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法。若无特殊说明，一般不使用配方法，当二次项系数为1、一次项系数为偶数时，选择配方法解一元二次方程比较方便。 感悟新知 知5－练 例 7 用因式分解法解下列方程： 解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法. 感悟新知 知5－练 (1)(x－5)(x－6)=x－5； 解：移项，得(x－5)(x－ 6)－(x－5)=0. 因式分解，得(x－5)(x－7)=0. 所以 x－5 =0 或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7. 方程的两边不能同时除以x-5，这样会使方程丢一根。 感悟新知 知5－练 (2)(2x＋1)2=(3－x)2； 解：原方程可化为(2x＋1)2－(3－x)2=0. 因式分解，得(2x＋1＋3－x)(2x＋1－3＋x)= 0， 即(x＋4)(3x－2)=0. 所以 x＋4 = 0 或3x－2=0. ∴ x1=－4，x2= . 感悟新知 知5－练 (3)3x2－18x=－27. 解：原方程可化为3(x2－6x＋9)= 0， 即3(x－3)2= 0，所以 x1=x2=3 . 感悟新知 知5－练 7-1. 一元二次方程(x＋1)2=2(x＋1)的解为( ) A. x=2 B. x=－1 C. x=2 或x=－1 D. x=1 或x=－1 D 感悟新知 知5－练 7-2. 解下列方程： (1)x2－4x－5=0； 解：x2－4x－5＝0，(x－5)(x＋1)＝0， ∴x－5＝0或x＋1＝0.解得x1＝5，x2＝－1. 感悟新知 知5－练 (2)(2x＋3)2=(3x －2)2. 感悟新知 知5－练 用适当的方法解下列方程： 例8 解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程. 感悟新知 知5－练 (1)(x－1)2=6； 解：(直接开平方法)两边开平方，得x－1=± ， 所以x1=1＋ ，x2=1－ . 感悟新知 知5－练 (2)x2－2x=2x＋1； 解：(配方法)移项并合并同类项，得x2－4 x =1. 配方，得x2－4 x＋4 =1＋4，即(x－2)2=5 . 两边开平方，得x－2=± . 所以x1=2＋ ，x2=2－ . 感悟新知 知5－练 (3)x2＋3x－ =0； 解：(公式法)原方程可变形为2x2＋18 x－1= 0，这里 a=2，b=18，c=－1.因为Δ=182－4×2×(－1)=332 >0， 所以x ==. 所以x1=，x2=. 感悟新知 知5－练 (4)x(x+3)=2x+6。 解：(因式分解法)移项，得x(x+3)-2x-6=0， 所以x(x+3)-2(x+3)=0，所以(x+3)(x-2)=0。 所以x+3=0 或x-2=0。 所以x1=-3，x2=2。 通过变形得到x-3,便于因式分解。 感悟新知 8-1. 解下列方程： ①(x－2)2=5，② x2－2x＋1=0，③ x2＋ x－3=0. 适当的方法为( ) A. ①直接开平方法，② 因式分解法， ③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，② 公式法， ③ 因式分解法 知5－练 A 感悟新知 知5－练 8-2. 用适当的方法解下列方程： (1)9(x－1)2=5； 感悟新知 知5－练 (2)(x－3)2＋x2=9； 解：(x－3)2＋x2＝9，(x－3)2＋x2－9＝0， (x－3)2＋(x＋3)(x－3)＝0， (x－3)(x－3＋x＋3)＝0， 2x(x－3)＝0，∴x1＝3，x2＝0. 感悟新知 知5－练 (3)x2－ x－1=0. 感悟新知 一元二次方程的解法 一元二次方程 直接开 平方法 配方法 转化 公式法 因式分解法 根的判别式 课堂小结 78 －或 解：移项，得x2－2x＝2。 配方，得x2－2x＋1＝3，即(x－1)2＝3。 两边开平方，得x－1＝±， 即x－1＝或x－1＝－。 所以x1＝1＋，x2＝1－。 解：移项，得x2－2x＝－2， 配方，得x2－2x＋5＝－2＋5，即(x－)2＝3。 两边开平方，得x－＝±， 即x－＝或x－＝－。 所以x1＝＋，x2＝－。 解：这里a＝1，b＝－2，c＝－2. ∵b2－4ac＝12>0， ∴y＝＝1±， 即y1＝1＋，y2＝1－. 解：原方程可化为3x2－2x－4＝0. 这里a＝3，b＝－2，c＝－4. ∵b2－4ac＝52>0. ∴x＝＝， 即x1＝，x2＝. 解：这里a＝5，b＝－2，c＝1. ∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝＝. 解：(2x＋3)2＝(3x－2)2， (2x＋3)2－(3x－2)2＝0， (2x＋3＋3x－2)(2x＋3－3x＋2)＝0， 即(5x＋1)(5－x)＝0， ∴5x＋1＝0或5－x＝0.解得x1＝－，x2＝5. 解：9(x－1)2＝5，(x－1)2＝， x－1＝±，x＝±＋1， 即x1＝＋1，x2＝－＋1. 解：这里a＝1，b＝－ ，c＝－1。 ∵Δ＝b2－4ac＝2＋4＝6>0， ∴x＝，即x1＝，x2＝。 $