26.2二次函数的图象和性质 第4课时 y=a(x-h)2+k 的图像和性质课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图像和性质，课堂导入通过“温故知新”环节系统回顾\(y=ax^2\)、\(y=ax^2+k\)、\(y=a(x-h)^2\)的性质，搭建从基础到进阶的学习支架，帮助学生衔接新旧知识脉络。 其亮点在于以探究活动（如绘制\(y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1\)图像分析平移规律）培养几何直观，结合喷水池实际问题例题渗透模型意识，分层练习覆盖基础到拓展。既发展学生数学思维与应用能力，又为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第26章 二次函数 26.2二次函数的图象和性质 第4课时 y=a(x-h)2+k 的图像和性质 学习目标： 1.会画二次函数 y=a(x-h)2 +k的图象，理解由图象y=ax2 平移得到 y=a(x-h)2 +k 的规律。 2.熟练掌握 y=a(x-h)2 +k 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。 3.体会函数平移思想与数形结合方法，提升识图、析图和归纳总结能力。 教学重点：掌握 y=a(x-h)2 +k 的图象性质平移规律。 教学难点：准确理解参数 h 对图象左右平移的影响（左加右减），避免平移方向混淆。 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 温故知新 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知讲解 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 温故知新 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质 新知讲解 函数 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0 当 x=h 时，y最大值​=0 温故知新 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 探究新知 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 新知讲解 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 新知讲解 向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0) 平移|h|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 新知讲解 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 同步练习 3 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 y 随 x 的变化情况 y=2(x+3)2+5 y=−3(x−1)2−2 y=4(x−3)2+7 y=−5(x+2)2−6 向上 x=−3 (−3,5) 当x < -3时， y 随 x 的增大而减小 当 x>−3 时， y 随 x 的增大而增大 向下 x=1 (1，-2) 当x < 1时， y 随 x 的增大而增大 当 x>1时， y 随 x 的增大而减小 向上 x=3 (3,7) 当x < 3时， y 随 x 的增大而减小 当 x>3 时， y 随 x 的增大而增大 向下 x=-2 (-2，-6) 当x < -2时， y 随 x 的增大而增大 当 x>-2时， y 随 x 的增大而减小 解： 同步练习 二次函数的最值就是顶点的纵坐标 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 例题分析 例1 C 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 例题分析 已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且经过点(3，-6)，求抛物线的解析式 解：根据抛物线的顶点坐标是(1,2)，可设抛物线的解析式是 y=a(x-1)2+2. 因为抛物线经过点(3，-6)， 所以 -6=a(3-1)2+2， 解得 a=-2. 故抛物线的解析式是y=-2(x-1)2+2. 例2 待定系数法的一般步骤： 一设：先设出二次函数的解析式， 二代：把题中条件代入二次函数的解析式中，得到关于待定系数的方程（组）. 三解：解此方程（组），求待定系数. 四还：将求出的待定系数还原到解析式中. 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 例题分析 y/m x/m 例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 1.6 (1.6，3) 3.6 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 例题分析 y/m x/m 1.6 (1.6，3) 3.6 课堂小结 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 图象特点 平移规律 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下. 对称轴：直线x=h， 顶点坐标是（h，k） 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减 分层练习 1.二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(　　) D 2.已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( 　　) A．1或－5 B．－1或5 C．1或－3 D．1或3 B 5．若点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝－(x＋1)2＋a上，则y1，y2，y3的大小关系为______________．(用“＞”连接) y1＞y2＞y3 提升练习 3.抛物线 y=2(x-4)2‑1 的对称轴是________，顶点坐标为________。 直线x=1 (4,-1) 4.抛物线 y=-3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物 线的解析式为________。 y=-3(x-2)2+5 6. 已知二次函数 y ＝2（ x ＋1）2＋1，当－2≤ x ≤2时，求函数 y 的最小值和最大值. 解：∵二次函数 y ＝2（ x ＋1）2＋1， ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线 x ＝－1. ∵－2≤ x ≤2， ∴当－2≤ x ≤－1时， y 随 x 的增大而减小；当－1＜ x ≤2时， y 随 x 的 增大而增大. ∴当 x ＝－1时， y 取得最小值，最小值是1. 当 x ＝－2时， y ＝3；当 x ＝2时， y ＝19. ∵19＞3， ∴当 x ＝2时， y 取得最大值，最大值是19. 综上所述，当－2≤ x ≤2时，函数 y 的最小值是1，最大值是19. 拓展练习 拓展练习 7.已知抛物线的顶点坐标是 (-2,3)，且经过点 (0,-1)。 (1) 求这条抛物线的函数解析式； (2) 当 x 取何值时，函数有最值，求出这个最值； (3) 当 x 在什么范围内，y 随 x 的增大而增大。 解(1) 设抛物线为 y=a(x+2) 2+3 把 (0,−1)代入：−1=a(0+2) 2+3 4a+3=−1 解得 a=−1 ∴抛物线的解析式为：y=−(x+2) 2+3 (2) a=−1<0，开口向下，当 x=−2时，函数有最大值，最大值为 3 (3) 对称轴为直线 x=−2，开口向下， 当 x<−2 时，y 随 x的增大而增大。 拓展练习 8.已知抛物线 y=(x‑m) 2 +2m-1。 (1) 求证：无论 m 取何值，抛物线的顶点都在某一条定直线上，求出这条直线解析式； (2) 若抛物线经过点 (0,2)，求抛物线的解析式。 解(1) 抛物线顶点坐标 (m，2m‑1) 设 x=m，y=2m‑1，消去 m，得到 y = 2x‑1 ∴顶点总在定直线 y=2x‑1 上。 (2) 将 (0,2) 代入 y=(x‑m) 2 +2m‑1 2 = (0‑m) 的平方 +2m‑1 m 2 +2m‑3 = 0 (m+3)(m-1)=0 解得 m₁=1，m₂=-3。 ∴抛物线的解析式为：y=(x‑1)2 +1 或 y=(x+3)2 −7 $