专题26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质，系统梳理y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图像画法与性质，构建从y=ax²出发通过“上加下减”“左加右减”平移规律的知识支架。 资料设计亮点在于分层练习体系，通过即学即练、典例变式及中考链接，培养学生几何直观与推理意识，如平移规律应用实例。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 教学目标 1.掌握y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2.掌握y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。 教学重难点 1.重点 （1）y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k型二次函数的图象与性质； （2）y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移规律； 2.难点 （1）函数性质的应用，二次函数之间的平移规律。 知识点01 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法 1.描点法 列表→描点→连线 2.平移法 ①二次函数y=ax2＋k 是由抛物线y=ax2 平移得到的；当k>0时,上移;当k<0时,下移,简记为“上加下减”。 ②抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2 平移得到的.当h>0时,右移;当h<0时,左移,简记为“左加右减”。 【即学即练】 1．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … (1)补充表格中的y值； (2)在坐标系中画出图象． 2．二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 知识点02 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 通过配方法，一般形式的二次函数可以转化为y=a(x−h)2+k的形式。 1.y=a(x−h)2+k的图象和性质 二次函数 a 图像 开口方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 2.顶点式及实际问题 ①从二次函数中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为(h，k )，所以通常把 (a≠0)叫做二次函数的 . ②利用顶点式解决实际问题的思路。步骤：建立平面直角坐标系→根据题目给出的最值点/顶点(h,k)设出顶点式y=a(x−h)2+k→代入其他已知点坐标求出a的值→得到解析式→求出所求位置的函数值。 【即学即练】 3．下列关于抛物线的说法正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到 4．抛物线的顶点在（ ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 5．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 7．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 9．关于二次函数与，下列说法不正确的是（ ） A．与的图像开口方向相同 B．与的图像关于y轴对称 C．的图像向左平移2个单位长度可得到的图像 D．的图像绕原点旋转可得到的图像 题型01 y=ax2+k的图象和性质 【典例1】1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：y=ax2+k的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性，以及由y=ax2上下平移得到新抛物线的规律。 （2）核心方法： 抓住顶点为 (0,k)、对称轴为 y 轴；a>0开口向上，有最小值 k，a<0开口向下，有最大值k，平移规律是“上加下减”。 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 【变式2】抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式3】对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ） A． B． C．5 D． 【变式4】下列函数中，的值随值的增大而增大的是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 题型02 的图象和性质 【典例1】二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查 的顶点、对称轴、开口方向、图象形状、函数值大小比较，以及由 y=ax2左右平移得到新抛物线。 （2）核心方法：抓住顶点为 (h,0)、对称轴为直线 x=h；比较函数值时看点到对称轴的距离，平移规律是“左加右减”。 【变式1】下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【变式3】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式5】函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 【中考链接1】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型03 的图象和性质 【典例1】二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， （1）考查方向：考查 +k 中开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、函数值大小比较及图象位置判断。 （2）核心方法：直接由顶点式读出顶点(h,k)、对称轴 x=h；a>0时离对称轴越远函数值越大，最小值为k，a<0时离对称轴越远函数值越小，最大值为k。 【变式1】已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式3】抛物线与轴的交点坐标是( ) A． B． C． D． 【变式4】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 题型04 二次函数图象的平移规律 【典例1】将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． （1）考查方向：考查抛物线在左右、上下平移后的解析式变化，以及根据两个顶点式判断平移方向和距离。 （2）核心方法：平移时a不变，只改变顶点位置；横向平移遵循“左加右减”，纵向平移遵循“上加下减”，也可通过比较顶点坐标确定平移方式。 【变式1】将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【变式2】我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（ ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 【变式3】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【中考链接1】将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ） A组·基础过关 1．已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 2．把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．已知二次函数（m为常数），其图象上有两点，，如果，那么a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． B组·能力提升 6．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 7．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数的部分图象如图所示．以下错误的是（ ） A． B． C．抛物线与正半轴的交点在0和1之间 D． 9．当时，二次函数的最大值为8，则______． 10．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求t的值． (3)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使的面积等于面积的2倍． C组·拓展延伸 11．若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 13．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 14．已知函数（）与轴的交点坐标为，．则函数（），当时，自变量的取值范围是______． 15．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求m的值． (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数表达式恰为．求点移动的最短路程． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 教学目标 1.掌握y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2.掌握y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。 教学重难点 1.重点 （1）y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k型二次函数的图象与性质； （2）y=ax2＋k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移规律； 2.难点 （1）函数性质的应用，二次函数之间的平移规律。 知识点01 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法 1.描点法 列表→描点→连线 2.平移法 ①二次函数y=ax2＋k 是由抛物线y=ax2上下平移得到的；当k>0时,上移;当k<0时,下移,简记为“上加下减”。 ②抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2左右平移得到的.当h>0时,右移;当h<0时,左移,简记为“左加右减”。 【即学即练】 1．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … (1)补充表格中的y值； (2)在坐标系中画出图象． 【答案】(1)3，0，，0，3 (2)作图见解析 【分析】此题考查了列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键． （1）分别将值代入函数解析式求解即可； （2）描点，连线即可画出图象． 【详解】（1）解：当； 当； 当； 当； 当； （2）解：图象如图： 2．二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 【答案】图见解析，左，6 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、二次函数的平移等知识点，正确画出函数图象成为解题的关键． 先在坐标系内画出二次函数和的图象，然后根据函数图象即可解答． 【详解】解：二次函数和的图象如图所示． 所以将抛物线向左平移6个单位得到抛物线． 故答案为：左，6． 知识点02 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 通过配方法，一般形式的二次函数可以转化为y=a(x−h)2+k的形式。 1.y=a(x−h)2+k的图象和性质 二次函数 a 图像 开口方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值 a＞0 向上 （0，k） y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大 当x=0时 y最小值=k a＜0 向下 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小 当x=0时 y最大值=k a＞0 向上 （h，0） 直线 x=h 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大 当x=h时 y最小值=0 a＜0 向下 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时 y最大值=0 a＞0 向上 （h，k） 直线 x=h 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时 y最小值=k a＜0 向下 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时 y最大值=k 2.顶点式及实际问题 ①从二次函数中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为(h，k )，所以通常把 (a≠0)叫做二次函数的顶点式. ②利用顶点式解决实际问题的思路。步骤：建立平面直角坐标系→根据题目给出的最值点/顶点(h,k)设出顶点式y=a(x−h)2+k→代入其他已知点坐标求出a的值→得到解析式→求出所求位置的函数值。 【即学即练】 3．下列关于抛物线的说法正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 当时，， 顶点坐标为，故C错误； 抛物线 向上平移一个单位得到，与给定抛物线一致，故D正确； 故选：D． 4．抛物线的顶点在（ ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 5．已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 6．关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为 6 ，当时，的值随值的增大而增大； ∴当时，y的值随x值的增大而增大 故选：D． 7．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，即． 故选：A． 8．二次函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：由条件可知，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 9．关于二次函数与，下列说法不正确的是（ ） A．与的图像开口方向相同 B．与的图像关于y轴对称 C．的图像向左平移2个单位长度可得到的图像 D．的图像绕原点旋转可得到的图像 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用函数解析式确定顶点坐标，对称轴以及开口方向和与y轴的关系是解题的关键． 两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的关系． 【详解】解：A．由，得与的图像开口都向上，方向相同，该选项正确，不符合题意； B． 二次函数的开口向上，顶点为，对称轴为直线，二次函数开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∴与的图像关于y轴对称，该选项正确，不符合题意； C． 二次函数向左平移2个单位长度可得到二次函数，该选项正确，不符合题意； D． 的图像绕原点旋转可得到，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 题型01 y=ax2+k的图象和性质 【典例1】1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． （1）考查方向：y=ax2+k的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性，以及由y=ax2上下平移得到新抛物线的规律。 （2）核心方法： 抓住顶点为 (0,k)、对称轴为 y 轴；a>0开口向上，有最小值 k，a<0开口向下，有最大值k，平移规律是“上加下减”。 【变式1】关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为1 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，由解析式判断出开口方向、对称轴、最值及增减性，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，开口向下； 对称轴 为直线； 最大值为 ； ∵ ， ∴当 时，y 随 x 增大而减小，故当 时，y 随 x 增大而减小； ∴选项D正确， 故选：D． 【变式2】抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 故选：C． 【变式3】对于抛物线，若y的最小值是5，则（ ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解． 【详解】∵，且， ∴， ∵y的最小值是5， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4】下列函数中，的值随值的增大而增大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，根据一次函数与二次函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：对于选项，是开口向上的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是开口向下的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是一次函数，，根据一次函数性质，可得的值随值的增大而增大，∴符合要求． 对于选项，是一次函数，，可得的值随值的增大而减小，∴不符合要求． 【中考链接】函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 题型02 的图象和性质 【典例1】二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，关键是利用顶点式快速确定顶点坐标和开口方向，再通过这两个核心要素筛选选项．熟练掌握二次函数顶点式的结构是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点式为 ，其中顶点坐标为， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数图像开口向下，   结合顶点坐标和开口向下的特征，只有选项B的图象满足． 故选：B． （1）考查方向：考查 的顶点、对称轴、开口方向、图象形状、函数值大小比较，以及由 y=ax2左右平移得到新抛物线。 （2）核心方法：抓住顶点为 (h,0)、对称轴为直线 x=h；比较函数值时看点到对称轴的距离，平移规律是“左加右减”。 【变式1】下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的形状由二次项系数决定，系数的绝对值相同则形状一致，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A． 【变式2】抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的意义，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键． 直接利用二次函数顶点式求出对称轴即可． 【详解】∵ ∴对称轴为直线， 故选：B． 【变式3】设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 【变式4】某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 【变式5】函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减”的平移法则． 根据二次函数图象“右移减”的平移规律，将中替换为，得到平移后的解析式． 【详解】解：原函数为，向右平移2个单位， 新函数为． 故选C 【中考链接1】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 【中考链接2】已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 题型03 的图象和性质 【典例1】二次函数（a、h为常数，）的部分与的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据表格给出的值代入二次函数顶点式，求出和的值，得到完整解析式，再根据二次函数的图象与性质逐一判断各选项，找出说法错误的选项． 【详解】解：已知二次函数解析式为由表格可知，当时，；当时，，将两组值代入解析式得， 解得：， ∴该二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A正确； 由顶点式可知，图象的对称轴为直线，选项B正确； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，因此“当时，的值随值的增大而减小”的说法错误，选项C不正确； 当时，，选项D正确． （1）考查方向：考查 +k 中开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、函数值大小比较及图象位置判断。 （2）核心方法：直接由顶点式读出顶点(h,k)、对称轴 x=h；a>0时离对称轴越远函数值越大，最小值为k，a<0时离对称轴越远函数值越小，最大值为k。 【变式1】已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 【变式2】，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 【变式3】抛物线与轴的交点坐标是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 【变式4】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减； 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线， 再向上平移1个单位长度，得到抛物线， ∴得到新的抛物线的解析式是， 故选：C． 【中考链接】对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 题型04 二次函数图象的平移规律 【典例1】将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． （1）考查方向：考查抛物线在左右、上下平移后的解析式变化，以及根据两个顶点式判断平移方向和距离。 （2）核心方法：平移时a不变，只改变顶点位置；横向平移遵循“左加右减”，纵向平移遵循“上加下减”，也可通过比较顶点坐标确定平移方式。 【变式1】将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标是． 【变式2】我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（ ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据解析式可得两个抛物线的顶点坐标，根据对应的顶点坐标可判断出对应的平移方式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵将点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点， ∴抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到抛物线， 故选：B． 【变式3】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 【中考链接1】将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 【中考链接2】若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论． 【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到 ∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上 ∴点在抛物线上 故选：D A组·基础过关 1．已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点 【答案】C 【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D；求出时，y的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C． 【详解】解：A、当时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意； B、当时，，则二次函数图象与y轴的交点的坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数图象与y轴的交点的坐标不是，原说法错误，不符合题意； C、由解析式可得顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D、当时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意； 2．把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，涉及知识点：二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”法则．根据平移方向，对函数表达式中的自变量和常数项进行相应变换；解题关键是准确应用平移法则，易错点是混淆“左加右减”的操作对象（是对自变量x进行加减）．解题思路：先按“左加”处理向左平移1个单位，再按“下减”处理向下平移2个单位，得到新的抛物线表达式． 【详解】解：∵将二次函数向左平移1个单位，得； 再向下平移2个单位，得． ∴平移后的表达式为， 故选：B． 3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 4．已知二次函数（m为常数），其图象上有两点，，如果，那么a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． 由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点到对称轴的距离分别为，结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的对称轴为直线，开口向上， ∴点到对称轴的距离分别为， ， ， 即， 解得：， 故选：A． 5．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， 且，即， ∴离直线的距离最远，点离直线最近， ∴． 故选：A． B组·能力提升 6．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法和一次函数的性质是解题的关键． 求出抛物线的顶点为，可以得到顶点在直线上． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵为任意实数， ∴顶点坐标满足， ∴顶点总在直线上． 故选：B 7．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即． 【详解】解： 二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ． 故选：A． 8．二次函数的部分图象如图所示．以下错误的是（ ） A． B． C．抛物线与正半轴的交点在0和1之间 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴可得，则可得，选项A正确；根据二次函数的对称轴为直线可得，选项B错误；根据抛物线与轴负半轴的交点在和之间，结合二次函数的对称性即可得选项C正确；根据当时，即可得选项D正确． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ∴， ∴，选项A正确； 由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线， ∴，选项B错误； 由函数图象可知，抛物线与轴负半轴的交点在和之间， ∴抛物线与正半轴的交点在和之间，即在0和1之间，选项C正确； 又∵二次函数与轴的交点位于轴正半轴， ∴当时，，选项D正确； 故选：B． 9．当时，二次函数的最大值为8，则______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 10．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求t的值． (3)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使的面积等于面积的2倍． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点和点的坐标，代入抛物线解析式即可解题； （2）将点代入抛物线解析式即可； （3）过点作轴交于点，根据计算． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，；当时，； ∴，， ∵抛物线的顶点为A， ∴抛物线的解析式为， 代入，可得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由题意知，， 解得或； （3）解：由题意知，， 如图，过点作轴交于点， 设，则，有， ∴ ， ∴， 即， ， 解得（正值舍去）， ∴． C组·拓展延伸 11．若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，第一象限内点的坐标特征． 根据平移规律可得平移后的抛物线的解析式，从而可得平移后的顶点坐标，由第一象限内的点的坐标特征，列不等式组，求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为， 平移后的顶点坐标为， 根据题意可得， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 12．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 13．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 14．已知函数（）与轴的交点坐标为，．则函数（），当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先根据二次函数的对称轴求出，从而可得两个函数的解析式，再根据二次函数图象的平移可得函数与轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵函数与轴的交点坐标为， ∴这个函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， 观察两个函数的解析式可知，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度所得到的， ∴函数与轴的交点坐标为，，即为，， 又∵， ∴抛物线的开口向上， ∴时自变量的取值范围是， 故答案为：． 15．如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴的右侧． (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求m的值． (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数表达式恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线，y的最大值为4， (2) 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）根据顶点坐标，得出抛物线是向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，然后即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：拋物线， 抛物线C的对称轴为直线，y的最大值为4． 将代入，得， 解得，． 点P在抛物线C的对称轴的右侧， ， ． （2）解：平移后的抛物线的表达式为， 平移后抛物线的顶点坐标为． 平移前抛物线的顶点坐标为， 胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 点移动的最短路程为． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $