26.2.3二次函数的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象和性质，通过复习顶点式性质，结合商店利润问题引出一般式，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生探究转化方法。 其亮点在于以生活情境驱动（模型观念），通过配方法推导与公式应用结合（数学运算、逻辑推理），用“脊梁”“分水岭”等比喻强化数形结合（直观想象），分层练习与口诀总结助学生掌握，教师可直接用于高效教学。

26.2.3 二次函数 y=a+bx+c 的图象和性质 人教版 九年级上册 1.7.2013 同学们好，今天我们来学习二次函数的一般形式 \(y=ax^2+bx+c\) 的图象和性质。通过本节课的学习，我们将掌握一种强大的数学工具——配方法，把复杂的一般式转化为我们熟悉的顶点式，从而轻松分析它的所有特征。 ‹#› 教学目标 核心素养目标 数学运算 熟练掌握配方法，精准将一般式化为顶点式，夯实代数变形的运算基础。 数学抽象 抽象出参数 a、b、c 的几何意义，理解代数符号背后的几何直观与含义。 直观想象 利用图象平移规律想象变化，结合数形结合思想分析函数的基本性质。 逻辑推理 经历“特殊到一般”的推导过程，理解并掌握二次函数顶点公式的来源。 模型观念 建立二次函数模型解决实际问题，运用函数思想求解生活中的最值问题。 1.7.2013 本节课我们将围绕五个核心素养展开。我们不仅要学会知识，更要学会如何思考和运算。希望每个同学都能在自己的基础上有所提升，掌握从一般到特殊的数学思想。 ‹#› 复习回顾：顶点式的性质 函数形式：y = a(x - h)² + k（顶点式） 01 开口方向 由系数 a 决定：a>0 向上，a<0 向下；|a| 越大，开口越小，图象越陡峭。 02 对称轴 抛物线的对称轴为直线 x = h，它是图象左右对称的中轴线，h 决定了对称轴的位置。 03 顶点坐标 顶点坐标为 (h, k)，这是抛物线的最高点或最低点，也是函数的极值点所在位置。 04 平移规律 遵循“左加右减，上加下减”：h 控制左右平移，k 控制上下平移，决定了图象的位置。 思考：如果给你一个函数，比如 y = 2 - 8x + 5，它不是顶点式，我们该如何快速判断它的图象特征呢？ 1.7.2013 在开始新知识之前，我们先快速回顾一下上节课学习的顶点式。我们知道，通过a, h, k这三个参数，我们可以直接读出抛物线的所有关键信息。但是，如果函数不是这种形式，而是像屏幕上这样的一般式，我们该怎么办呢？ ‹#› 情境设疑：生活中的一般式 01 生活中的数学问题 某商店经销一种小商品，每件商品的进价为20元。经市场调研发现，当销售单价定为 x 元时，每天的销售量 y（件）与单价满足关系： y = -10x + 500 请尝试写出每天的销售利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式。 02 关系式的推导过程 根据“利润 = (售价 - 进价) × 销售量”，代入已知条件： W = (x - 20)(-10x + 500) 展开并整理后得到二次函数的一般式： W = -10x² + 700x - 10000 思考：要解决“最大利润”问题，本质就是求二次函数的最大值。对于一般式 y=ax²+bx+c，我们该如何快速找到它的顶点坐标，从而确定最值呢？这就是我们今天要探究的重点！ 1.7.2013 我们来看一个生活中的例子。求利润的最大值问题，最终得到的函数关系式是一个二次函数的一般式。要找到最大利润，就需要找到这个抛物线的顶点。今天，我们就来学习如何研究这种一般形式的二次函数。 ‹#› 探究活动1：配方转化 🎯 探究任务：已知二次函数的一般式 y = - 6x + 21，如何将其转化为顶点式 y=a +k的形式？这是快速确定函数顶点与对称轴的关键。 💡 核心思路：配方法 类比一元二次方程的解法，通过“凑”出完全平方式来变形。目标是将二次项与一次项组合，构建成 a 的形式，从而直观呈现顶点坐标。 📝 第一步：提取二次项系数 当二次项系数不为1时，需先将其提取到括号外，使括号内的二次项系数化为1，为后续配方创造条件。注意：常数项暂时留在括号外，不参与提取。 1.7.2013 我们的核心方法就是“配方法”。和我们解一元二次方程时一样，我们首先要把二次项系数提出来，使得括号内的二次项系数变为1。对于这个例子，我们把二分之一提出来。 ‹#› 配方步骤 01 配方：平衡变形 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去该值，确保等式恒等变形。 y =(x² - 12x + 36 - 36) + 21 02 转化：凑完全平方 将前三项利用完全平方公式整合，注意括号外的系数需乘到分离出的常数项上。 y = (x - 6)² - × 36 + 21 03 化简：整理顶点式 合并常数项，计算出最终的常数结果，得到标准的二次函数顶点式。 y = (x - 6)² - 18 + 21 = (x - 6)² + 3 技巧：配方的关键在于“加多少就减多少”的恒等变形原则，这是保证等式两边值不变的基础。通过这三步，我们将二次函数的一般式转化为便于分析顶点坐标和对称轴的顶点式。 1.7.2013 第二步，配方。我们在括号里加上一次项系数-12一半的平方，也就是36，为了保持等式不变，我们还要再减去36。第三步，把前三项写成完全平方的形式。注意，减的36要乘以括号外的系数1/2。最后，整理常数项，我们就得到了顶点式。 ‹#› 图象性质 转化结果：y = (x - 6)² + 3 开口方向 向上，呈“U”型。 对称轴方程 直线 x = 6。它是抛物线的“脊梁”，将图象平分为左右完全对称的两部分。 顶点坐标 坐标为 (6, 3)。这是抛物线的最低点，也是图象单调性发生改变的关键点。 增减性变化规律 当 x < 6 时，y随 x 增大而减小（左降）； 当 x > 6时，y随 x增大而增大（右升）。 函数最值特征 因为开口向上，函数有最小值。当 x = 6时，y=3此为图象的最低点。 图象平移路径（由 变换） 遵循“左加右减，上加下减”原则：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位，即可得到目标图象。 1.7.2013 现在，我们得到了顶点式，一切就变得简单了。我们可以直接读出：开口向上，对称轴是x=6，顶点坐标是(6, 3)。并且知道它在对称轴左侧是递减的，右侧是递增的，在顶点处取得最小值3。 ‹#› 即时小练 01 基础配方 · 二次项系数为 1 函数：y = + 4x + 3 配方过程：凑完全平方式，平衡常数项 y = ( + 4x + 4) - 4 + 3 =( - 1 顶点式：y= ( -1 | 顶点：(-2, -1) 02 进阶配方 · 二次项系数不为 1 函数：y = -2 + 8x - 5 配方过程：先提系数，再配方，注意符号 y = -2( - 4x + 4) + 8 - 5 = -2 ( + 3 顶点式：y=-2 ( +3| 顶点：(2, 3) 1.7.2013 好，我们来快速练习一下。请大家尝试将这两个函数化为顶点式。第一个比较简单，直接配方即可。第二个需要先提取系数-2，注意后面的常数项处理。大家都做对了吗？ ‹#› 探究活动2：推导通用公式 🎯 任务：对一般形式的二次函数 y = a + bx + c (a ≠ 0) 进行配方变形，探索并归纳出适用于所有二次函数的对称轴公式与顶点坐标公式 第一步：提取二次项系数 a 将二次项与一次项视为整体，提取公因子式 a ，把二次项系数化为 1，为后续构造完全平方式做好准备。 y = a+ c 第二步：配方构造完全平方式 在括号内通过“加、减一次项系数一半的平方”凑成完全平方式，这是将一般式转化为顶点式的关键一步。 y = a+ c= a 1.7.2013 刚才我们对具体的函数进行了配方。现在，我们要挑战一个更一般的问题：对任意的二次函数一般式进行配方，看看能不能找到一个通用的公式来直接写出对称轴和顶点坐标。 ‹#› 核心公式 对于二次函数的一般式 y = a + bx + c (a ≠ 0) ，掌握其对称轴与顶点坐标是分析图像性质、求解最值的核心钥匙，让我们一起来巩固这两个关键公式。 01 对称轴公式 直线 x = - 它是抛物线的“脊梁骨”，将图像分为左右对称的两部分，也是判断函数单调性的分界点。 02 顶点坐标公式 （ -） 抛物线的最高点或最低点，决定了函数的最大值或最小值，是解决最值问题的关键。 1.7.2013 通过刚才的推导，我们得到了两个非常重要的公式！对于任意一个二次函数一般式，它的对称轴就是直线x等于负二a分之b，顶点坐标就是（负二a分之b，四a分之四ac减b方）。这两个公式是本节课的重点，希望大家能牢牢记住。 ‹#› 性质规律总结 01 开口方向 二次项系数 a 的符号决定了抛物线的开口方向，是图像的基本形态特征。 a > 0➜ 开口向上，呈“U”型 a < 0➜ 开口向下，呈“∩”型 02 增减性规律 以对称轴 为分界线，两侧的函数单调性完全相反。 a > 0➜ 左减右增（对称轴是谷底） a < 0➜ 左增右减（对称轴是峰顶） 03 最值与顶点 函数在顶点处取得最值，最值大小即为顶点的纵坐标值，是函数的极值点。 a > 0➜ 有最小值 a < 0➜ 有最大值 核心记忆口诀：a 的符号定开口，开口方向定最值；对称轴是分水岭，左右增减正相反。 1.7.2013 有了对称轴公式，我们就可以总结出一般式的完整性质了。开口方向由a决定。增减性以对称轴为界，a大于0时，左减右增；a小于0时，左增右减。最值就在顶点处取得，a大于0有最小值，a小于0有最大值。 ‹#› 巩固练习：基础任务 🎯 运用公式法快速判断抛物线的开口方向，并精准计算其对称轴与顶点坐标，掌握代数公式在函数分析中的高效应用。 01. 实例解析：y = -3 + 12x - 3 🔢 系数提取： a = -3，b = 12，c = -3 ⬇ 开口方向： 向下 (∵ a < 0) ⚖️ 对称轴： x = 2 📍 顶点坐标： (2, 9) 02. 实例解析：y = 4 - 24x + 26 🔢 系数提取： a = 4，b = -24，c = 26 ⬆ 开口方向： 向上 (∵ a > 0) ⚖️ 对称轴： x = 3 📍 顶点坐标： (3, -10) 1.7.2013 现在我们来练习使用公式法。对于这两个函数，我们只需要找出a, b, c的值，然后代入公式，就可以快速求出对称轴和顶点坐标。大家看，是不是比配方快多了？ ‹#› 巩固练习：提升任务 用配方法将二次函数化为顶点式，手动推导并验证顶点坐标，对比公式法结果，加深对顶点求解逻辑的理解。 01 基础配方演练 题目：y = -3 + 12x - 3 推导：提取系数并配方 → y = -3( - 4x) - 3\) → y = -3 + 9 ✅ 结论：顶点为 (2, 9)，与公式法计算结果完全一致！ 02 进阶系数运算 题目：y = 4 - 24x + 26 推导：提取二次项系数 → y = 4( - 6x) + 26 → y = 4 - 10 ✅ 结论：顶点为 (3, -10)！ 1.7.2013 为了验证公式的正确性，我们再用配方法来做一遍。大家看，通过配方得到的顶点式，其顶点坐标和我们用公式法计算的结果完全一样。这说明我们的推导是正确的。 ‹#› 拓展思考 问题：已知抛物线解析式为 y = 2- 8x + 5，若将其向左平移 2 个单位，求平移后所得抛物线的函数解析式。 先配方，再平移 ①配方变形：y = 2(- 4x) + 5 = 2 ( - 3 ②顶点平移：原顶点 (2, -3)左移2个单位，得新顶点 (0, -3) ③得出结论：代入顶点式，得 y = 2 - 3 1.7.2013 最后，我们来看一个拓展题。这是一个平移问题。我们有两种思路：第一种是先把一般式配方成顶点式，找到顶点，平移顶点后再写出新的解析式。第二种是直接在原解析式中进行代换。两种方法都能得到正确答案。 ‹#› 课堂小结 01 知识梳理 📝 核心方法：配方法 将一般式 转化为顶点式 ，是分析函数性质的基础技能，也是解决二次函数问题的“金钥匙”。 📐 性质规律速记 a定开口（正上负下），对称轴分区间定增减，顶点坐标定函数最值，三者结合是解题关键。 02 思想方法 🔄 转化与化归思想 将未知的“一般式问题”转化为已知的“顶点式问题”，把复杂的代数计算转化为直观的图形分析。这是数学解题中“化繁为简、化难为易”的核心策略。 📊 数形结合思想 以“形”助“数”：用抛物线图象直观理解开口、对称轴等抽象性质；以“数”解“形”：用解析式精准计算顶点、交点等关键特征，让抽象问题变得具体可感。 💡 课堂寄语：掌握公式是解题的基石，领悟思想是数学的灵魂，愿大家在探索中感受数学之美！ 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下今天学习的核心内容。我们掌握了配方法，推导出了对称轴和顶点坐标的公式，并总结了一般式的完整性质。更重要的是，我们体会到了转化和数形结合的数学思想。 ‹#› 课后作业 01 夯实基础 · 必做题 1. 独立完成数学课本第43页的练习题，重点攻克第3、5两道变式题。 2. 整理“配方法”的完整推导步骤，以笔记形式呈现，并熟练背诵二次函数的对称轴公式与顶点坐标公式，为后续学习打好基础。 02 思维拓展 · 选做题 【生活中的最值问题】利用30m长的篱笆围建一个“一边靠墙”的矩形菜园，设垂直于墙的边长为x m，菜园面积为y m²。 ① 请写出y关于x的函数关系式，并确定x的取值范围； ② 试探究：当x取何值时，菜园的面积能达到最大？求出此时的最大面积。 1.7.2013 课后请大家完成作业。必做题帮助大家巩固基础，选做题则是一个典型的利用二次函数求最值的实际问题，请大家尝试建立模型并解决它。 ‹#› 感谢聆听 愿你在探索知识的路上步履不停，遇见闪闪发光的自己 —— 保持热爱，奔赴山海 —— 1.7.2013 今天的课就到这里，感谢同学们的积极参与和认真思考，下课！ ‹#› $