27.2 课时2 反比例函数的图象和性质的应用 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的应用，涵盖点与函数关系、k的几何意义及与一次函数综合等核心知识点。课堂导入通过复习反比例函数图象形状和k对性质的影响，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已知点判断函数位置、增减性，逐步过渡到点在图象上的判断，形成学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如k的几何意义通过具体点的矩形面积计算到一般化证明，培养推理能力。与一次函数综合题结合图象分析不等式解集，发展几何直观。课堂小结引导学生自主梳理知识，提升数学语言表达。学生能深化理解并综合运用，教师可借助结构化内容高效教学。

27.2 反比例函数的图象和性质 课时2 反比例函数的图象和性质的应用 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.进一步加深对反比例函数的图象和性质的理解. 2.能综合运用反比例函数的图象和性质 解决相关问题. 学习目标 BY YUSHEN 22051 问题1：反比例函数的图象形状是什么？ 双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大. 问题2：反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 复习导入 BY YUSHEN 22051 问题1：已知反比例函数的图象经过点A(-2，4). (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ 解：反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点A(-2，4)在第二象限， 所以这个函数的图象位于第二、第四象限.在每一个象限内，y随x的增大而增大. 知识点1：反比例函数的图象和性质综合 新知探究 BY YUSHEN 22051 问题1：已知反比例函数的图象经过点A(-2，4). (2)点B(1，-8)，C，D(2，4)是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为y=. 因为点A(-2，4)在其图象上， 所以点A的坐标满足y=，即4=.解得k=-8. 因此，这个反比例函数的解析式为y=-. 因为点B，C的坐标都满足y=-，点D的坐标不满足y=-， 所以点B，C在函数y=-的图象上，点D不在这个函数的图象上. 新知探究 BY YUSHEN 22051 左边=右边 点的坐标 代入函数解析式 左边≠右边 点在函数图象上 点不在函数图象上 判断点是否在函数图象上的方法 归纳 BY YUSHEN 22051 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ O x y 问题2：如图,是反比例函数 的图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于第三象限. 所以 m-5＞0， 解得 m＞5. 分析：反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者 位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的第一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 新知探究 BY YUSHEN 22051 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任意一支上， y 都随 x 的增大而减小， 因此当 x1＞x2 时， y1＜y2. O x y 新知探究 BY YUSHEN 22051 8 已知反比例函数 ，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在此函数上，且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是_________. O x y 解：画出此函数的大致图象，如右图： 我们已知x1<0<x2<x3， 所以y1>0，y2<0，y3<0. 又因为由图可以看出在第四象限，y随 x的增大而增大， 因为x2<x3， 所以y2<y3， 所以y2<y3<y1. y2<y3<y1 巩固练习 BY YUSHEN 22051 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 探究：在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写表格： P (2，2) ，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k 知识点2：反比例函数中k的几何意义 新知探究 BY YUSHEN 22051 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 P ( -1，4 ) Q ( -2，2 ) 在反比例函数 中是否也有相同的结论？在图象上任取两点P，Q分别向x，y轴作垂线，填写表格： 4 4 S1 = S2 y x O P Q S1 S2 S1=S2=-k. 新知探究 BY YUSHEN 22051 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点P分别作 x 轴， y 轴垂线，垂足分别为A,B，则 S矩形 AOBP = |k|. y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b)， A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a · ( -b ) = -ab = -k. B P A 综上，S矩形 AOBP = |k|. BY YUSHEN 22051 点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 反比例函数的面积不变性 Q k的几何意义 归纳 BY YUSHEN 22051 如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 (　　) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 A 巩固练习 BY YUSHEN 22051 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x + b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b 各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② y= k2 x + b y= k2 x + b 知识点3：反比例函数与一次函数综合 新知探究 BY YUSHEN 22051 k2 < 0 b < 0 k1 < 0 k2 < 0 b > 0 ③ x y O k1 > 0 ④ x y O y= k2 x + b y= k2 x + b 新知探究 BY YUSHEN 22051 如图，直线 y = ax + b 与双曲线 交于 A( 1,2 )，B( m,-4 ) 两点， (1) 求直线与双曲线的解析式； 所以一次函数的解析式为 y = 4x - 2. 把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a = 4，b = -2. 解：把 A( 1,2 ) 代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y = -4时，m = . A B O 巩固练习 BY YUSHEN 22051 (2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. 解：根据图象可知，若 ax + b＞ ， 则 x＞1或 ＜x＜0. A B O 巩固练习 BY YUSHEN 22051 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5) 是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k = 12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 1.已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 方法一：解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 方法二：解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以画出大致图象如下： 所以这个函数的图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. x y o 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上. 如果x1<x2，且x1，x2同号，那么y1，y2有怎样的大小关系？为什么？ 反比例函数 中 ， 在每个象限内， 随 的增大而减小. 已知 且 同号，说明两点在同一象限： 若 ，则 ； 若 ，则 . 所以结论： 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.如图，已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； 解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称，可知该函数图象的另一支在第三象限， 则m－7>0， 解得m>7. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 (2)O为坐标原点，点A在该反比例函数图象位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值． (2)设线段AB交x轴于点C. ∵△OAB的面积为6, ∴△OAC的面积为3. ∴(m－7)＝3， ∵点B与点A关于x轴对称， ∴AC＝BC. 解得m＝13. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 1.反比例函数图象上点的坐标特征． 3.反比例函数与一次函数综合. 2.反比例函数中系数k的几何意义． 和同伴交流，说说本节课你学到了什么知识？ 课堂小结 BY YUSHEN 22051 $