27.3 课时1 实际问题中的反比例函数 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件核心围绕“实际问题与反比例函数”，通过小艳家购电实例引出函数关系m=1000/n，再让学生举例，搭建从生活情境到反比例函数模型的学习支架，衔接已学函数概念与实际应用。 其亮点在于精选港口卸货、杠杆原理等实例，引导学生用数学眼光观察现实，通过分析等量关系建立模型，运用增减性解决最值问题培养数学思维，以函数解析式表达关系体现数学语言。小结明确建模过程，助力学生掌握方法，教师可直接使用提升教学效果。

27.3 实际问题与反比例函数 课时1 实际问题中的反比例函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.能从实际问题中寻找变量之间的关系， 建立反比例函数模型解决问题. 2.能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 学习目标 BY YUSHEN 22051 小艳家用购电卡购买了1000 kW∙h电，这些电能够使用的天数m与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？ 用反比例函数可以反映很多实际问题中的两个变量之间的关系，你还能举出一个反比例函数的实例吗？ 新课导入 BY YUSHEN 22051 问题1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 知识点：反比例函数在实际生活中的应用 新知探究 BY YUSHEN 22051 解：轮船上的货物总量为 700×9=6300(t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为. 分析：根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v 关于t 的函数解析式. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t.对于函数，当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 解：把t=6代入，得 （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 讨论：题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？ 方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值． 新知探究 BY YUSHEN 22051 古希腊科学家阿基米德(公元前287-前212)发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为: 阻力×阻力臂=动力×动力臂. 新知探究 BY YUSHEN 22051 问题2：某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m. （1）动力 F （单位：N）与动力臂l （单位：m）有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力? 对于函数 ，当 l = 1.5m 时，F = 400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400N 的力. 解：根据“杠杆原理”阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂，得 Fl = 1200×0.5， ∴ F 关于 l 的函数解析式为 当 l = 1.5m 时， 新知探究 BY YUSHEN 22051 （2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 将 F = 400× = 200 代入 F = ，得 分析：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m). 新知探究 BY YUSHEN 22051 想一想：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力? 根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力，这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 新知探究 BY YUSHEN 22051 1.某运输公司计划运输一批货物，已知货物总量是定值，每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，根据如表，求出a=　　.  每天运输的吨数 250 100 50 运输的天数 2 a 10 5 解析：∵每天运输的吨数与运输的天数之间成反比例关系，∴250×2=100a，∴a=5. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省　　　N的力.  解析：设动力为F(单位：N)，动力臂为l(单位：m)，根据“杠杆原理”有Fl=1 000×0.6， ∴F关于l的函数解析式为F=，当l=1.5 m时，F==400(N)， 当l=2 m时，F==300(N)， ∴撬动这块石头可以节省400-300=100(N)的力. 100 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S（单位：cm2）与漏斗的深h（单位：cm）有怎样的函数关系？ 解：(1) 圆锥的容积（体积）公式为 V. 将 V=120 代入，得 120Sh， 整理，得 S . 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 (2)如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为多少？ 解：(2) 漏斗口的面积不超过 50 ，即 0<S≤50. 将 S=50 代入 ，得 50， 解得 h=7.2. 因为 h>0 时，S 随 h 的增大而减小， 所以 0< S ≤50 时，h ≥7.2, 故漏斗的深 h 至少为 7.2 cm. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可，小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元，他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元， (1) y与x有怎样的函数关系？ (2) 如果小张打算 20 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ 解： (1) 函数关系为 y（1≤x≤36，x 为正整数）. (2) 当 x20 时，y, 所以他平均每月应还款0.6万元. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 (3) 如果小张打算每月还款不超过 5 000 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 解： (3) 5 000 元 0.5 万元. 将 y=0.5 代入 ，得 x=24. 因为 x>0 时，y 随 x 的增大而减小， 所以 0<y≤0.5 时，x≥24. 因此，他至少要 24 个月才能结清余款. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值 实际问题中的反比例函数 课堂小结 BY YUSHEN 22051 $