27.3 课时3 选择合适的函数模型解决问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“选择合适的函数模型解决实际问题”，通过物理实验中气体压强与体积的关系数据导入，引导学生画散点图观察分布规律，从一次、二次函数过渡到反比例函数拟合，搭建从具体数据到抽象模型的学习支架。 其亮点是以真实实验数据为载体，通过“画图—建模—检验—求解”四步流程，培养学生几何直观、推理意识和模型观念。如计算k值平均值建立近似模型，让学生用数学眼光观察数据趋势，用数学思维分析规律，提升数据分析与建模能力，教师可依托此开展探究式教学。

27.3 实际问题与反比例函数 课时3 选择合适的函数模型解决问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.掌握利用反比例函数解决实际问题的方法. 2.能够根据数据和图象特征选择合适的函数模型，利用函数解决问题，发展模型观念. 学习目标 BY YUSHEN 22051 探究：某物理实验小组研究气体的压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据，如下表. 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系?如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 知识点：选择合适的函数模型解决问题 新知讲解 BY YUSHEN 22051 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点． 分析：由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图， 新知讲解 BY YUSHEN 22051 可以发现，图(2)中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 (2) 建立模型 设函数解析式为p=(V>0)，根据上表中的数据, 分别求出k的值，列表如下: V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 k值不相同怎么办？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 计算所有k值的平均值，得 k = (2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型 p = . V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 新知讲解 BY YUSHEN 22051 (3)检验模型 将已知数据代入p = ，或画出函数p = 的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. p = 新知讲解 BY YUSHEN 22051 (4)求解问题 将p=132代入p = ，得 解得 因此，当压强为132 kPa时，气体的体积约为15.13mL. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 回顾“探究”，回答以下问题： (1) 表中的有些数对只能近似满足函数解析式 p（V>0），即图中的点并没有完全落在函数p的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 以往所学的函数模型(如一次函数、二次函数)通常通过已知条件确定唯一函数解析式，所有已知点都完全满足该解析式； 新知讲解 BY YUSHEN 22051 而本题的函数模型是通过实验数据拟合得到的，利用多组数据计算k=pV的平均值作为参数，得到的模型是近似模型(并非所有已知点都完全满足)，但能较好地反映整体变化规律. “拟合”在科学实验和数据分析中，通俗来说，就是寻找一条最能代表数据点变化趋势的“线”（或公式）的过程. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 回顾“探究”，回答以下问题： (2) 结合“探究”和问题 (1) 所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 ①画图：将数据绘制成图，观察点的分布规律，绘制一条尽可能贴合所有点的曲线，根据曲线形状选择相近的函数类型; ②建立模型：设出函数解析式，利用已知数据计算待定系数; ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题. 建立函数模型解决实际问题的一般步骤 归纳 BY YUSHEN 22051 1.小明通过将固体糖融入水调配了四杯糖水：甲、乙、丙、丁.然后，将四杯糖水关键信息绘制如图：x轴为糖水质量，y轴为含糖浓度(固体糖质量与糖水质量之比).乙、丁两点恰好在同一反比例函数图象上.则含固体糖质量最多的是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 C 随堂小练 BY YUSHEN 22051 2.生活中有各式各样的电子屏幕. 在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同. 下表记录了当分辨率为 1 920×1 080 时，某些电子屏幕的尺寸x (单位：英寸)与像素密度y(单位：PPI) 的相关数据. （1）试确定屏幕像素密度 y 关于屏幕尺寸 x 的函数解析式； （2）某电子屏幕的分辨率为1 920×1 080，屏幕像素密度约为40 PPI，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 随堂小练 BY YUSHEN 22051 解：（1）①根据表格数据画出散点图如图. 观察到：随着屏幕尺寸x 增大，屏幕像素密度y逐渐减小；散点分布形似反比例函数图象的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述屏幕像素密度 y与屏幕尺寸x 之间的关系. 随堂小练 BY YUSHEN 22051 ②建立模型. 设函数解析式为 (x>0). 根据表中的数据分别求出k的值，列出表如下： 计算所有k值的平均值，得 k=× (2 200+2 198+2 205+2 208+2 187) =2 199. 6 ≈ 2 200. 我们把这个平均值2 200 作为 k 的值，就得到一个函数模型 y=. 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 k 2 200 2 198 2 205 2 208 2 187 随堂小练 BY YUSHEN 22051 ③检验模型. 将已知数据代入 y= ，或画出函数 y= (x>0) 的图象如图，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映屏幕像素密度 y（PPI）与屏幕尺寸x（英寸）的关系. 综上所述，屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式为y=(x>0). 随堂小练 BY YUSHEN 22051 （2）某电子屏幕的分辨率为1 920×1 080，屏幕像素密度约为40 PPI，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 解：(2) 将 y=40 代入 y， 得 x=55. 因此，当屏幕像素密度约为 40 PPI 时，该屏幕尺寸约为 55 英寸. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 建立函数模型 解决实际问题 ①画图：将数据绘制成图，观察点的分布规律，绘制一条尽可能贴合所有点的曲线，根据曲线形状选择相近的函数类型; ②建立模型：设出函数解析式，利用已知数据计算待定系数; ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 课堂小结 BY YUSHEN 22051 $