27.3实际问题与反比例函数（第3课时 根据已知数据和图象特征建立函数模型)（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数模型建立，通过回顾代数建模与数形结合旧知，结合物理实验中气体压强与体积关系的情境导入，搭建从基础到综合问题的学习支架。 其亮点在于以数据观察（散点图）、模型构建（计算k值平均值）、跨学科实例（物理、环保、生活）为主线，培养数学眼光、思维与语言，课堂小结系统归纳解题步骤与思想方法，助力学生提升综合应用能力，教师可高效开展教学。

27.3实际问题与反比例函数 第3课时 根据已知数据和图象特征建立函数模型 第二十七章 反比例函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 整合前两课时知识，熟练掌握反比例函数实际问题代数建模、数形结合两种解题方法；能解决含多条件约束、双向设问、最值求解、方案优选的综合反比例实际问题；能准确区分实际问题中正比例与反比例模型，精准限定自变量取值范围，规范完成综合题型解题与检验. 经历复杂情境拆解、模型判断、方法优选、数形联动、实际检验的综合探究过程，掌握反比例综合应用题的通用解题流程，提升复杂问题的分析、转化、解决能力. 体会反比例函数在生活、工程、跨学科场景中的综合应用价值，克服复杂应用题畏难心理，养成分层审题、规范解题、严谨验根的良好数学习惯，提升数学应用与综合探究意识.. 代数建模求值 知识回顾 1.反比例实际问题核心特征是什么？ 2.基础解题两种核心方法分别是什么？ 3.体系梳理： 单一建模、单纯识图只能解决基础题，中考及单元重点考查综合 题型需要结合列式计算、图像分析、范围限定、最值决策多重技能. 数形结合识图判范围 总量定值 变量乘积为定值 一个变量增加， 另一变量随之减少 (一增一减) 导入新课 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型. 面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 今天我们整合所有方法，综合解决反比例实际问题，攻克多设问、多条件、方案型综合难题. 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 问题分析 1.由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，我们首先需要做什么？ 需要将表格数据看成两个量的一部分对应变化关系，分析数据变化特点，选择合适的函数类型. 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 问题分析 2.怎样选择函数模型？ （1）根据数据发现规律，为了直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图，观察这些点的分布状况， （2）根据散点分布画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支 （3）尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 6 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 问题分析 3.怎样建立函数模型？ 设函数解析式为p=(V>0)，根据表中的数据，分别求出k的值，列出表格： V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 k = (2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型：p== ① 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 问题分析 4.怎样检验函数模型？ 将已知数据代入函数解析式，或画出函数解析式的图象，如果符合，说明函数建模正确。 V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 通过计算可以发现，这个函数模型p== ①与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强力P与体积V的关系. 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 问题分析 5.压强为132kPa时，气体的体积为多少？ 在建模正确的前提下，直接代入计算可得所要具体结果 本题将p=132代入①，求出V. V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型p= . 10 12 14 16 18 20 V/mL 100 120 140 160 180 200 O 双曲线的一支 规范解答 先画出散点图，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点， 1.描点画出图象. 2.确定函数类型 图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 规范解答 V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 3.确定函数解析. 设函数解析式为p==(V>0)，根据表中的数据，分别求出k的值， 计算所有k值的平均值，得 k= 1997. 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型p= . ∴函数解析式：p= . 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 规范解答 V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型p= . 4.检验模型. 将已知数据代入p= ，或画出该函数的图象. 10 12 14 16 18 20 V/mL 100 120 140 160 180 200 O 这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. 新知探究 探究点1 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题 议一议 某物理实验小组研究气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(表(1)). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位). 规范解答 V 20 8 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2016 1 968 2 030 1956 2010 5.求解问题. 将p=132代入p= ，得 132= 解得 ：V= 因此，当压强为132kPa时，气体的体积约为15.13mL. 寻找规律：根据数据或图象寻找两变量之间的规律； 建立模型：根据规律确定函数关系式； 检验模型：验证函数关系式的正确性； 求解问题：根据函数关系求解问题. 实际问题 建立函数模型求解 实际的解 新知探究 探究点2 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题的一般步骤 归一归 根据已知数据和图象特征建立函数模型解决实际问题的解题的一般步骤： 典例分析 例1.某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． （1）解：如图所示： 由图可知： v与t之间成反比例函数； 典例分析 例1.某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． （2）设，将代入，得： ， ∴； ∵，∴； （3）由图象可知， 时，随着的增大而减小； ∴当时， 取最大值为： ； 当时， 取最小值为： ； ∴． 典例分析 例2．某高铁线路全长420km，列车行驶的平均速度范围为200～350km/h．设列车行驶的平均速度为，行驶全程所需的时间为． 小航根据学习函数的经验，对因变量t随自变量ν的变化而变化的规律进行探究，请将下面的探究过程补充完整． (1)列表：通过列车的试行驶得到下列几组数据： 平均速度 200 240 b 300 350 行驶时间 a 1.75 1.5 1.4 1.2 填空：______，______． (2)描点、连线：请在如图所示的平面直角坐标系中 描出表中剩余两组数据对应的点，并用平滑的曲线画出t关于v的函数图象． (3)观察函数图象，写出一条函数的性质： ． (4)列车能在80min内（含80min）行驶完全程吗？若能，请求出列车行驶的平均速度的范围；若不能，请说明理由． （1）解：， （2）解：描点，连线，图象如图所示： 典例分析 例2．某高铁线路全长420km，列车行驶的平均速度范围为200～350km/h．设列车行驶的平均速度为，行驶全程所需的时间为． 小航根据学习函数的经验，对因变量t随自变量ν的变化而变化的规律进行探究，请将下面的探究过程补充完整． (1)列表：通过列车的试行驶得到下列几组数据： 平均速度 200 240 b 300 350 行驶时间 a 1.75 1.5 1.4 1.2 填空：______，______． (2)描点、连线：请在如图所示的平面直角坐标系中 描出表中剩余两组数据对应的点，并用平滑的曲线画出t关于v的函数图象． (3)观察函数图象，写出一条函数的性质： ． (4)列车能在80min内（含80min）行驶完全程吗？若能，请求出列车行驶的平均速度的范围；若不能，请说明理由． （3）解：观察函数图象， 函数的性质有： 行驶时间随速度的增加而减少； 行驶时间随速度的增加而减少； 典例分析 例2．某高铁线路全长420km，列车行驶的平均速度范围为200～350km/h．设列车行驶的平均速度为，行驶全程所需的时间为． 小航根据学习函数的经验，对因变量t随自变量ν的变化而变化的规律进行探究，请将下面的探究过程补充完整． (1)列表：通过列车的试行驶得到下列几组数据： 平均速度 200 240 b 300 350 行驶时间 a 1.75 1.5 1.4 1.2 填空：______，______． (2)描点、连线：请在如图所示的平面直角坐标系中 描出表中剩余两组数据对应的点，并用平滑的曲线画出t关于v的函数图象． (3)观察函数图象，写出一条函数的性质： ． (4)列车能在80min内（含80min）行驶完全程吗？若能，请求出列车行驶的平均速度的范围；若不能，请说明理由． 行驶时间随速度的增加而减少； （4）解：=，当时 (km/h)，在正常速度范围内， 答：列车能在80min内（含80min）行驶完全程，列车行驶的平均速度是大于等于315km/h，小于或等于350km/h． 新知巩固 回顾“探究”，回答以下问题 (1)表(1)中的有些数对只能近似满足函数解析式 p= (V>0)，即图中的点并没有完全落在函数的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同? 【教材第80页 】 (2)结合“探究”和问题(1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. 解：(1)以往所学的函数解析式是精确推导后得到的，所有数据点都严格满足函数关系，点会完全落在函数图象上. 本次建模的函数解析式是基于实际测量得到的，测量存在误差，因此有些数对只能近似满足解析式，点不会完全落在图象上. (2) ①绘制散点图，直观分析趋势； ②选择函数模型，确定解析式； ③检验模型； ④求解问题. （答案不唯一，合理即可） 拓展提升 1.心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化． 开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间 (分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段，为双曲线的一部分)． (1)求注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式； (2)开始学习后第分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (3)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 拓展提升 1.心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化． 开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间 (分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段，为双曲线的一部分)． (1)求注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式； （1）解：根据题意，当时，， 设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为： ； 当时，， ∴； 当时，， 设双曲线的解析式为， ∴ ， ∴双曲线的解析式为： ； ∴注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式为： ． 拓展提升 1.心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化． 开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间 (分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段，为双曲线的一部分)． (2)开始学习后第分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）解：由（1）得： 注意力指标数与时间 (分钟)之间的函数表达式为： 当时， ； 当时， ； ∵， ∴开始学习后第分钟时注意力更集中． 拓展提升 1.心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化． 开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散． 经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间 (分钟)的变化规律如下图所示(其中分别为线段，为双曲线的一部分)． (3)某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． （3）解：根据“教师引导，回顾旧知”环节分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要分钟才能完成， ∴当时，， ∴这样安排不合理． 真题感知 1．（2025·许昌统考）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x(天) 3 5 6 8 … 硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？ （1）解：设线段的函数表达式为， ∵在线段上， ∴将A，B两点坐标代入函数表达式， 得，解得， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为： ； 真题感知 1．（2025·许昌统考）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x(天) 3 5 6 8 … 硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？ （2）解： ∵， ∴当时，与成反比例， 设函数的表达式为：， 将点B代入得：， 解得：， ∴当时， 硫化物的浓度与时间的函数表达式为： ； 真题感知 1．（2025·许昌统考）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x(天) 3 5 6 8 … 硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？ （3）解：由（2）得： 硫化物的浓度与时间的函数表达式为： ； 令． 解得． ∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为． 真题感知 2.（2025济南期中）为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； 请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式： ； (2)观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式； (3)已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？ 真题感知 2.（2025济南期中）为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ；请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式： ； （1）解：由图可得：水温从加热到，需要， 设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：， 将，代入解析式得：，解得：， 加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：， 真题感知 2.（2025济南期中）为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (2)观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式； （2）解：观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反比例函数， 设在水温下降过程中，与的函数关系为， 将代入解析式得：， 解得：， 在水温下降过程中，与的函数关系为：， 反比例 真题感知 2.（2025济南期中）为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (3)已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？ （3）解：由题意得：在中，当时， ，解得：， 从加入自来水开始，需要等待的时间为：， 则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉． 课堂小结 （1）模型技能： 熟练识别工程、行程、物理、经济等各类反比例实际模型； （2）方法技能： 掌握代数建模精准求值、数形结合分析趋势与范围两种核心方法，能灵活择优使用； （3）综合技能： 可独立解决建模、求值、判趋势、定范围、最值约束类综合应用题，能挖掘题目隐性实际条件. 知识与技能 课堂小结 （1）综合建模思想： 整合知识，将复杂实际情境抽象为标准反比例函数模型； （2）数形结合思想： 以形助数、以数释形，双向验证，精准解决范围与最值问题； （3）分类转化思想： 将复杂综合题拆分为基础小问题，化繁为简、逐个突破； （4）严谨实证思想： 所有数学结果必须结合实际意义检验，保证结论合理. 思想与方法 课堂小结 （1）模型易错： 复杂情境混淆正反比例，误判函数模型，导致全盘错误； （2）范围易错： 忽略体积、速度、人数等隐性正数、整数限制，取值范围不精准； （3）方法易错： 综合题死板套用单一方法，解题繁琐或无法求解； （4）逻辑易错： 增减性与取值范围对应关系颠倒，最值边界判断错误； （5）检验易错： 只算数学结果，不结合实际验证，出现不符合生活、科学常识的答案. 易错点提醒 课后练习 8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位: Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示. (1)写出电流Ⅰ关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围? 解：(1)电流I(单位:A)与电阻R(单位: Ω)是反比例函数关系，设， ∵图形经过（9，4） ∴k=9×4=36 ∴ . (2)当I=10时，=10， 解得：R=3.6 ∵I随R增大而减小 ∴当I≤10时，R≥3.6. 习题 27.3 课本p81页 3.6 10 课后练习 9.生活中有各式各样的电子屏幕.在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同.下表记录了当分辨率为1920×1080时，某些电子屏幕的尺寸x(单位:英寸)与像素密度y(单位:PPI)的相关数据. 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； 解：(1)由表格数据可得： ∵ 5×440=2200，7×314= 2198，15×147=2205，24×92=2208，27×81=2187 (2)某电子屏幕的分辨率为1920×1080，屏幕像素密度约为40PPI，则该屏幕尺寸为多少(结果取整数)? 习题 27.3 课本p81页 （2200+2198+2205+2208+2187）÷5=2199.6≈2200 ∴屏幕像素密度y与屏幕尺寸x的积约等于定值2200 即 xy=2200， ∴屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式：. 课后练习 9.生活中有各式各样的电子屏幕.在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同.下表记录了当分辨率为1920×1080时，某些电子屏幕的尺寸x(单位:英寸)与像素密度y(单位:PPI)的相关数据. 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为1920×1080，屏幕像素密度约为40PPI，则该屏幕尺寸为多少(结果取整数)? (2)当y=40时，代入 得：40=， 解得：x=55. ∴该屏幕尺寸为55英寸. 习题 27.3 课本p81页 谢谢聆听 $