2026年山东济南市历城区第二中学自主招生数学试卷

2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 一、选择题 1.(4分)已知在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C,则下列选项正确的是() A.b2+c2=a2 B.b2+c2<a2 C.c>2a D.a>2c 2.(4分)已知实数m,n满足m-1>n1,则下列选项正确的是() A.n>m B.n>m C.n2>m2 D.m2n<n2m 3.(4分)点A(m-1,y1),B(m,y2）都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1<2,则m的取 值范围为() A.m>2 B.m>3 C.m<1 D.3<m<2 2 4.(4分)如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,D为AC的中点，E为BD上一点，F为CE的 中点，若DE⊥DF,则DF的长度为() A E A.1 B.4 c号 D.8 5 5.(4分)幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在3×3的方格表中填入9个整数，使每行、每 列、两对角线上的数字之和都相等.图中给出了幻方的部分数字，则x的值为() 15 23 47 A.9 B.39 C.55 D.79 6.(4分)某科技公司研发了两款机器人甲和乙.己知甲机器人需要A零件5个，B零件4个：乙机器人 需要A零件6个，B零件3个.现两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则a+b的值可能为() A.359 B.360 C.361 D.362 二、填空题 7.(4分)已知扇形弧长为3，半径为1，则扇形面积为 8.(4分)如表是40位同学参加公益活动的时长统计.这40位同学时长的中位数与众数是 第1页（共14页） 时长3456 人数915124 x1=a1 9.(4分)若方程组 g+y=7 的两组解为 xy=9 y1=b1 x2a2,则aa2+bib= y2=b2 10.(4分)所有数位上的数字之和为10的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，2026是第 个整十数 11.(4分)已知△ABC的中线BD将AC分为两段，若AB=6,BC=8,BD=5,则AC的长度为 12.(4分)如图，矩形ABCD中，BC=1,将△ABC绕点A旋转，使点C落到AD延长线上的点F处， 点B对应点E,连接AC交EF于点G,若CG=2DF,则矩形的周长为 D F G ⊙ 13.(4分)设实数a,b,c满足， 11+1=1+1, 则二次函数y=2+bx+c的图象过定 2b之2ab% 点 14.(4分)若x+y,x~y,,四个式子中有三个式子相等，则称数组(x,y)具有性质P,写出所有 具有性质P的数组 I5,(4分)如图，以O为圆心的圆，ABCO为平行四边形，点B,C在圆上，且BC=2,点D也在圆上， 满足OD⊥OC,则SAOD= D B 三、解答题 16.(10分)解方程： (1)5x2+5y2-8xy-12x+6y+9=0: (2)(x-1)3-2x2+x+1=0: 第2页（共14页） (3)V2x+3W12x+45=12 (4)3/5W2+x-5√2-x=2 17.(10分)已知y1=3x+1,2=5x+2,y3=7x-4. (1)P为y1,2的交点，求P: (2)若x满足2>y3>I,求x的取值范围： (3)若m使得满足1=m,y2=m,3=m的x取值均为整数，求m的最小值. 18.(10分)若实数a,b,c满足：2-a-bc=m,b+c=5. (1)若b=1,求m的最小值： (2)若m=-25,且a为整数，求abc: 4 (3)若a,b,c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由. 19.(10分)现在黑板上写x个字母A,y个字母B,:个字母C,小明每次在黑板上擦去两个不同的字母 并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C (1)若x=2,y=5,=3,试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母： (2)若x+y+s=2026,试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母 第3页（共14页） 2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 参考答案与试意解析 一、选择题 1.【解答】解：由题意，∠A:∠B:∠C=6:3:2, ∴.∠A>90°，c0sA<0,由余弦定理，b2+c2<a2,故A选项错误，B选项正确： ,大角对大边，可知a>c, .C选项错误. 由正弦定理，a=sinA=sin3C=3-4simC, c sinc sinc :从a>2c可以推出sinC<1,即∠C<30°，这与∠C=180°×2>30°矛盾，故D选项错误. 11 故选：B 2.【解答】解：当m=2,n=-1,可知A,B,C选项错误， ,m1>n1, 1>1, m n .n-m>0, m ∴.(n-m)mn>0, ∴.m2-2n>0, ∴.m2>m2n. 故选：D 3.【解答】解：点A(m-1,y1),B(m,2）都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上， .∴y1=(m-1-1)2+n=(m-2)2+n, 2=(m-1)2+n, y1<2, .(m-2)2+n<(m-1)2+n, .(m-2)2-(m-1)2<0, 即-2m+3<0, m>3 2 故选：B 4.【解答】解：连接AE, 第4页（共14页） ,△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4, ∴4C=VAB2+BC2=V32+42=5, ,D为AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点， '.BD=AD=LAC,DF//AE,DF=LAE, ∴.∠ABD=∠BAC, ,DE⊥DF, ∴.∠EDF=∠AED=90°， ∴.∠AEB=90°， :Ag=sin∠ABD=sSin∠BAC=BC=4 AB AC 5 ∴AE=44B=4×3=12 55 5 ∴DF=⊥x×12=6 255 故选：C 、E B 5.【解答】解：幻方有一个性质，即每个角格上的数，等于对顶点相邻两个格子里的数的均值， 所以x+15=47×2, 解得x=79, 故选：D 6.【解答】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x,y, 则a=5x+6y,b=4.xr+3y, 故+b=9(x+y)一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除。 故选：B 二、填空题 7.【解答】解：扇形弧长为3，半径为1， 第5页（共14页） “扇形面积S==1×3×1= 2 故答案为： 32 8.【解答】解：中位数是按从小到大顺序第20个和第21个数据的均值，为4+4=4， 2 众数是出现次数最多的数，为4， 故答案为：4,4。 9.【解答】解：由方程组 x+y=7 可知x和y是一元二次方程2-7+9=0的两个根， xy=9 根据韦达定理，两根之和1+2=7，两根之积12=0， x1=a1 x2=a2 题目中两组解为 和 说明两组解是方程的两个根互换，即a1=11,b1=12, y1=b1 (y2=b2 a2=2,b2=i1y 因此：a1a2+b1b2=t1t2+t21=212, 代入t12=9,得： aa2+b1b2=2×9=18 故答案为：18. 10.【解答】解：只需统计不超过2026且各位数字和为10的正整数个数（即2026的序号）. 按位数分类： (1)一位数，数字最大为9，和不可能等于10，共0个. (2)两位数，设十位为a、个位为b,则+b=10. a可取1,2…9，对应b=9,8…1, 均合法.共9个(19,28，…，91)， (3)三位数，设百位为a,十位为b、个位为c, 由条件a叶b+c=10,即b+c=10-a, 对固定的a,b, c为0~10-a的非负整数对， 解数为(10-a)+1: ab+c解数 9 10 8 第6页（共14页） 7 8 6 5 6 64 5 7 3 4 8 2 91 合计10+9+8+7+6+5+4+3+2=54个. (4)四位数（不超过2026） ①千位为1（即1abc)后三位和需为9， 即4，b,c为0~9且和为9， 解数同上为10+9++1=55个， ②千位为2且不超过2026， 设数为2abc,需a+b+c=8且数值≤2026， a=0:20bc≤2026， 由btc=8得，b=0,1,2, 对应2008,2017,2026， a≥1：此时该四位数≥2100>2026，不计. 共3个：2008,2017,2026. 汇总0+9+54+55+3=121， 故答案为：121. II.【解答】解：延长BD到点E,使ED=BD,连接CE, .BD=5, .BE=2BD=10, ,BD是△ABC的中线， ∴CD=AD, 在△CED和△ABD中， (CD=AD ∠CDE=∠ADB, ED=BD 第7页（共14页） ∴，△CED≌△ABD(SAS), ,∴.∠DCE=∠A,CE=AB=6, ∴.CE∥AB, BC=8, ∴.CE2+BC2=62+82=100, ,BE2=102=100, ∴.CE2+BC2=BE2, ∴.△BCE是直角三角形，且∠BCE=90°， ∴.∠ABC=180°-∠BCE=90°， 4C=VAB2+BC2=V62+82=10, 故答案为：10. B D E 12.【解答】解：设DC与GF交于M,如图，设DF=a,则CG=2a, ,四边形ABCD为矩形， AD=BC=1,∠BCD=∠B=∠ADC=90°，AD∥BC, ∴.AF=1+a, ,将△ABC绕点A旋转，使点C落到AD延长线上的点F处， .AF=AC,EF=BC=1,∠E=∠B=90°，∠F=∠ACB, ,AD∥BC, .∴.∠ACB=∠CAF, ∴.∠CAF=∠F, AG-FG ,∠ACD=90°-∠ACB,∠DMF=90°-∠F, 第8页（共14页） ∴.∠ACD=∠DMF, .∠DMF=∠GMC, ∴.∠ACD=∠GMC, ∴.GM=CG=2a, ,∠DFM=∠EFA, ,∴.Rt△FDM∽Rt△FEA, :M=D,即M=a FA FE 1+a 1 ∴.FM=a2+a, :.AG=GF=2ata2+a=a2+3a, :.AC=AG+CG=a2+3a+2a=d+5a, ∵AC=AF, ∴.a2+5a=1+a, 解得a1=√5-2，a2=-√5-2（舍去)， ∴AC=V5-1, 在R△ABC中，AB=VAC2-BC2=V√W5-1)2-12=V5-2W5, ∴矩形的周长=2(W5-2W5+1)=2√5-2W5+2. 故答案为：2V5-2W5+2. DF M G 13.【解答】解：由题知， 因为 则两边平方得， 11+1=1+1+1222 + c2 ab bc ac 十 整理得， a+b+c=0, 第9页（共14页） 所以二次函数y=ax2+bx+c的图象过定点(1,0). 故答案为：(1,0) 4.【解答】解：因为+y,x八，x少，x四个式子中有三个式子相等，所以有： y≠0， 情况-：x+yxy子由x+y子 得：y(x+y)=x,即+y2=x, 代入xy=x+y得：(x+y)y2=x, 化简得*y2=0, 解得y=·1(y≠0)， 将y=-1代入xy=xy得： 1=解得x分 情况二：Xyy子，由xy子 得：y(x-y)=x,即xy-y2=x, 代入y=x-y得：(x-y)-y2=x, 化简得-y-y2=0,解得y=-1(≠0)， 将y=-1代入xy=xy得：x+1=-x, 解得：弓 情况三：x+y=x-y=xy, 由x+y=x-y得：y=0,与y≠0矛盾，不满足题意： 情祝四：内=)一亨 由+y=x-y得：y=0,与y≠0矛盾，不满足题意： 所有具有性质P的数组有： 分-1.（分，-10 15.【解答】解：如图，延长DO交AB于点M,过点O作ON⊥BC于点N.连接AD, 第10页（共14页） 设AB=OC=OD=r, ,OB=OC,ON⊥BC, :.CN=NB=1BC=1, 2 ,四边形AOCB是平行四边形， ∴.OC∥AB,∠OAM=∠C .ODLOC, .,OD⊥AB ,∠OAM+∠AOM=90°，∠C+∠CON=90°， ∴.∠AOM=∠OCN, :△40D的面积=1OD4M=1OD-04sin.∠AOM=1×rX2×sn∠CON=1×rX2×1=1 故答案为：1. 三、解答题 16.【解答】解：(1)对原方程配方可得：5x2+52-8xy-12x+6y+9=0, (x-2y)24(2xr-y-3)2=0, 由于平方数非负，因此有 x-2y=0 2x-y-3=0 解得x=2,y=1: (2)展开并整理原方程：(x-1)3-2x2+x+1=0, x3-3x2+3x-1-2x2+x+1=0, x3-5x2+4x=0, x(x-1)(x-4)=0, 解得方程的根为x=0,x=1,x=4: (3)首先确定定义域：2x+3≥0且12x+45≥0， 即>号 移项后两边平方：V12x+45=12-V2x+3, 12x+45=144-24V2x+3+2x+3, 12W2x+3=51-5x, 再次两边平方：144(2+3)=(51-5x)2, 288x+432=25x2-510x+2601, 第11页（共14页） 25x2-798r+2169=0, 解得x3，x225 3时， 代入验证可知x225 右边51-5x<0,不符合算术根非负的性质，舍去， 最终解为x=3: (4)设a=52+x,b=/2-x, 原方程为a-b=2,且满足a3=-5V2+x? b3=5V2-x, 定义域为xE[-2,2]. 对a-b=2两边立方得：-b3-3ab(a-b)=8, 代入a3-b3=5(W2+x-√2-x)和a-b=2, 可得5(W2+x-V2-x)-6ab=8, 由定义域可知a≤54=/10≈2.154， 结合a-b=2得b=a-2≤0.154， 代入a6+b6=25(2+x)+25(2-x)=100, 可知当a取最大值10时，b=0, 此时a-b=10≈2.154>2不存在满足a-b=2的非负实数a,b, 因此该方程无实数解 y=3x+1 17.【解答】解：(1)由 得， y=5x+2 y 所以点P坐标为(1，⊥)： 2’2 (2)由题知， 5x+2>7x-4 7x-4>3x+1 第12页（共14页） 解得5<x<3: (3)根据题意，3m-1,5m-2,7m+4,所以 m=1(mod3 m=2 (mod5) (m=3(mod7） 根据中国剩余定理，模105方程组有唯一解.5×7=2(moB),7×3=1(mod5), 3×5=1(mod7),所以 m=2×5×7+2×7×3+3×3×5=70+42+45=157=52(m0d105), 故m的最小值为52 18.【解答】解：(1)由题意，，b=1,c=4, a2a4(a2》2好> ∴当a=二时，m的最小值为-17 4 (2)由题意，m=.25,6+c=5, 4 心bc=a2-a+ ∴.b,c是方程2-5+bc=0的两根， .△=25-4bc≥0， ∴.a2-a+25≤25，则a(a-1)≤0， .0≤a≤1， ,a为整数， .a=0或1， “无论哪种情况都有c=25 abc=0或25」 4 (3)不存在，理由如下： 把c=5-b代入2-a-bc=m,得m=a2-a-b(5-b)=a(a-1)+b(b-5), ,a与a-1奇偶性不同，b与b-5奇偶性不同， .a(-1)与b(b-5)必定同为奇数， ∴.a(a-1)+b(b-5)必定为偶数，即m必定为偶数. 19.【解答】(1)证明：因为x=2,y=5,=3, 第13页（共14页） 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C, ①擦去A、B,写上C、C, 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C,C, ②再擦去A、B,写上C、C 即为B、B、B、C、C、C、C、C,C、C, ③再擦去B、C,写上A、A 即为A、A、B、B、C、C、C、C,C、C, ④再擦去A、B,写上C、C 即为A、B、C、C、C、C、C、C,C、C, ⑤再擦去A、B,写上C、C 即为C、C、C、C、C、C、C、C,C、C, 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母： (2)证明：因为x+y+z=2026, 2026÷3=675…1, 故x,y,:除以3的余数不可能为0,1,2的某种情况， 因此x,,:除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B,即x,y除以3余数相同， 进一步假设x≥y,先连续擦去y次A、B,写上C、C, 得到(x-y)个A,0个B,(+2y)个C, 若x=y,则此时全是C,即可证明， 若x>y,因为x,y除以3余数相同，故(x-y)是3的倍数，假设(x-y)÷3=k, 此时把其中3个A,0个B,m个C看作一个小组(m按照A的个数等比例取)， 然后擦去A、C,写上2个B,即为2个A,2个B,(m-1)个C, 再擦去A、B,写上2个C,即为1个A,1个B,(m+1)个C, 再擦去A、B,写上2个C,即为0个A,0个B,(m+3)个C, 重复上述操作k次，就把(x-y)个A全部消除，最后得到2026个C, 所以当x+y+:=2026时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母. 第14页（共14页）