第19-24章 综合复习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦函数、几何、统计跨章节整合，以题载法构建“概念辨析-性质应用-综合探究”逻辑链，渗透抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数|单选1/6/7、填空11、解答20/21|图像平移规律、k/b符号与图像关系、分段函数建模|正比例函数定义→一次函数图像性质→实际问题中的动态变化| |几何|单选3/5/8/9、填空12/16、解答18/19/24|勾股定理应用、菱形/矩形性质、全等三角形判定|直角三角形性质→特殊四边形性质→几何变换与证明| |统计|单选4/10、填空15、解答23|中位数意义、方差与离散程度、离差平方和计算|数据收集→统计量分析→决策应用|

第19-24章综合复习卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列关于的函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：（     ） A． B． C． D． 3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A．2，2，2 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，3 4．某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共49名同学参加初赛，取前24名进入复赛．小亮同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这49名同学成绩的（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 6．正比例函数（）与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ）． A． B． C． D． 7．一次函数与的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．不等式的解集为 8．如图，在平面直角坐标系中，点，位于第一象限，菱形的顶点的坐标为，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，，交于点，，于点，且，则菱形的面积为（   ）． A．24 B．48 C．30 D．15 10．甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试，每人投篮10组，每组投篮10次．这两名运动员每组投篮命中次数的数据如图所示．有下列结论： ①甲的前5个数据的离散程度比后5个数据的离散程度小； ②乙的前5个数据的离散程度比后5个数据的离散程度大； ③甲的10个数据的离散程度比乙的10个数据的离散程度大． 其中所有正确结论的序号是（     ） A．① B．② C．①③ D．②③ 二、填空题 11．将函数的图象向上平移个单位后，得到的函数图象对应的函数解析式为________． 12．已知菱形的两条对角线、的长分别为8和6，则这个菱形的面积为__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若为直线上一动点，的面积为2，则点的坐标为___________． 14．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 15．车间4名工人单日加工零件的个数分别为9，12，18，9，若将这4名工人按照完成的个数大小排序后分成两组，共有以下3种情况，分别计算组内离差平方和，可以得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 和 和 和 分组情况和的组内离差平方和是________，依据以上计算结果，合理的分组情况是________． 16．如图，矩形中，边，作等腰直角三角形，，，连接，，若，则线段____________，线段____________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 19．如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且．连接并延长，交于点，若，求的长． 20．如图，直线分别与轴、轴交于、两点．过点的直线交轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)求的面积． 21．如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． 22．某文具店欲购进精装错题本和普通笔记本共200本，两种商品每件的进价和售价如下表所示，设购进精装错题本x本（x为正整数），且所购进的两种商品能全部售出，获得的总利润为W元（注：总利润总售价总进价）． 商品 精装错题本 普通笔记本 进价（元/本） 10 6 售价（元/本） 13 8 (1)设商店购进普通笔记本y本，直接写出y与x的函数关系式； (2)求总利润W关于x的函数关系式； (3)如果购进两种商品的总费用不超过1800元，那么该商店如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 23．某校要从甲、乙、丙三名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动．对这三名选手最近10次选拔赛测试成绩（单位：分）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名选手10次测试成绩： 甲：85，70，95，80，85，85，75，85，70，90 乙：80，73，85，84，90，82，80，76，80，90 b．甲、乙两名选手10次测试成绩折线图： c．甲、乙两名选手10次测试成绩的平均数、中位数、众数： 选手 平均数 中位数 众数 甲 82 85 q 乙 82 p 80 d．丙选手前9次测试成绩：80，82，79，81，81，83，82，82，80 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中p的值为 ，q的值为 ； (2)在参加选拔的选手中，如果某选手得分的10个数据的方差越小，则认为该选手发挥越稳定．据此推断：甲、乙两位选手中，发挥更稳定的是 （填“甲”或“乙”）； (3)若将丙选手最后一次的测试成绩记为k（k为正整数）．学校按如下方式评估这三名选手的综合实力：首先比较10次测试的平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较测试成绩不低于90分的次数，次数较多者实力更强．若丙在三位选手中的综合实力排序最靠前，则符合条件的k的最小值为 ． 24．实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 (2)如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第19-24章综合复习卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C D D B A C 1．B 【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； B、，符合的形式，是正比例函数，符合题意； C、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； D、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意． 2．B 【详解】解：． 3．C 【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、 ，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 4．B 【分析】取前24名进去复赛，那么把49名同学成绩按照从低到高排序后，取第25个数后的成绩进入复赛，即取中位数后的成绩进入复赛，据此可得答案． 【详解】∵共有49名同学参加初赛，取前24名进入复赛，将49个成绩从小到大排序后，中位数为第25名的成绩， ∴小亮只需将自己的成绩和中位数对比，即可判断能否进入复赛， ∴只需要知道这49名同学成绩的中位数． 5．C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 6．D 【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性，以及与轴的交点情况逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项：由正比例函数的图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项不符合题意； 选项：由正比例函数图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项不符合题意； 选项：一次函数中，应该随的增大而减小，故选项不符合题意； 选项：由正比例函数的图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项符合题意． 7．D 【分析】根据直线升降判断k；由​与y轴交于正半轴判断m；根据两条直线交点坐标判断x取何值时，；观察图像，图像在​图像下方或重合时对应x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图像从左到右呈现上升趋势， ，故A不正确； 一次函数的图像与y轴交于正半轴， ，故B不正确； 两个一次函数的交点是， 当时，，故C不正确； 图像在​图像下方或重合时对应， 不等式的解集为，故D正确． 8．B 【分析】根据菱形的性质得到，再利用“直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”和勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直轴，垂足为点， ， ∵四边形是菱形，顶点的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 9．A 【分析】菱形对角线互相平分，直角三角形斜边中线等于斜边一半，先求出长度，再用勾股定理算出，得到，最后用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴是直角三角形． 又∵是中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ∴． 已知， ∴， 则． 菱形对角线互相垂直， 即，为直角三角形． 在中，，，由勾股定理： ， ， 菱形面积等于对角线乘积的一半： ． 10．C 【分析】根据折线图，观察数据的波动范围，即可求解． 【详解】解：①甲前5个数据：9，8，8，7，8，在之间， 甲后5个数据：6，8，10，10，6，在之间， 因此甲前5个数据的离散程度比后5个小，①正确． ②乙前5个数据：8，7，8，8，9，在之间； 乙后5个数据：10，9，7，7，7，在之间， 因此乙前5个数据的离散程度比后5个小，②错误． ③： 甲10个数据在之间，乙10个数据在之间， 因此甲的10个数据的离散程度比乙大，③正确． 综上，正确结论为①③． 11． 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，根据一次函数图象平移“上加下减”的原则，对原函数解析式变形即可求解． 【详解】解：根据函数图象向上平移的规则，向上平移个单位，需在原函数解析式整体上加，可得 ， 整理得， 故答案为． 12．24 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：菱形的对角线、的长分别为和， 这个菱形的面积是． 13．或 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为，， ∴设直线的解析式为：， 把，代入，得：，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 14． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得. 15． 和 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算待求分组两个组的离差平方和，求和得到总组内离差平方和，再比较三个分组的组内离差平方和，组内离差平方和越小，组内数据差异越小，分组越合理． 【详解】解：分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 因此该分组的总组内离差平方和为． 比较三个分组的组内离差平方和得，组内离差平方和越小，分组越合理， 因此合理分组为和． 16． / 【分析】过作，分别交于，设，根据勾股定理可得，再利用勾股定理即可求，证，则，，进而可得，再设，利用勾股定理求得，进而可得、及，然后利用勾股定理求即可． 【详解】解：过作，分别交于， 设，又为等腰直角三角形， ，即， 解得，即， 在矩形中，， ， ，且， 四边形为矩形，则， 又 ， 在和中， ， ， ，，则， 设，则，， 又， ，即， 解得，则， ，则， ． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．旗杆的高度为. 【分析】作，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 答：旗杆的高度为. 19． 【分析】先利用直角三角形斜边中线性质结合平行线通过等量代换推导，证出，再由等腰三角形三线合一得到，通过证明得到长度，最后用线段相减依次算出、的长． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵是边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)12 【分析】（1）由直线分别与轴，轴交于两点，分别令，令，再解方程即可得到点的坐标； （2）由直线交轴于点，令，解方程可得点C的坐标，进而得的长，最后，由三角形的面积公式求面积即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于两点， ∴令，得， 令，即，解得． ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵直线交轴于点， ∴令，即，解得． ∴点的坐标为， 由（1）得点的坐标为， ． ∵，点的坐标为，即， ． 21．(1)； (2)或； (3)的取值范围是或． 【分析】（1）分，，三种情况分别求解即可； （2）当的面积为时，得或，求解即可； （3）当时，若，则，若，则，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 综上，； （2）解：当的面积为时，得： 或， 解得：或； （3）解：当时， 若，则， 解得：， 若，则，不满足条件， 若，则， 解得：， ∴的取值范围是或． 22．(1) (2) (3)商店进货精装错题本150本，普通笔记本50本才能获利最多，最大利润是550元 【分析】（1）设商店购进普通笔记本y本，根据“购进精装错题本和普通笔记本共200本”且“购进精装错题本x本”求解即可； （2）根据表格数据，以及总利润总售价总进价列出总利润W关于x的函数关系式即可； （3）根据“购进两种商品的总费用不超过1800元”列不等式求得x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设商店购进普通笔记本y本， 根据题意，得； （2）解：根据题意，总利润W关于x的函数关系式为 ，即； （3）解：总费用， 解得， ，随的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元，此时， 答：商店进货精装错题本150本，普通笔记本50本才能获利最多，最大利润是550元． 23．(1)81；85 (2)乙 (3)91 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据折线统计图可得乙的成绩波动比甲的成绩波动小，因此乙的方差更小，据此可得答案； （3）分两种情况：丙的平均数大于82和丙的平均数等于82，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把乙选手10次测试成绩按照从低到高的顺序排列为：73，76，80，80，80，82，84，85，90，90， ∴乙选手10次测试成绩的中位数为，即， ∵甲选手10次测试成绩中，成绩为85的次数最多， ∴甲选手10次测试成绩的众数为85，即； （2）解：由折线统计图可知，乙的成绩波动比甲的成绩波动小，因此乙的方差更小，发挥更稳定； （3）解：∵甲和乙的平均数都为82， ∴当丙的平均数大于82时，丙在三位选手中的综合实力排序最靠前， ∴， ∴， 又∵k为正整数， ∴k的最小值为91； 当丙的平均数等于82时，则， 解得， 此时丙不低于90分的次数仅为1次，而甲、乙不低于90分的次数都是2次，丙排名更靠后，不符合要求， 综上所述，k的最小值为91． 24．(1) (2)，作图如下： (3) 【分析】（1）由证明过程可知，的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以； （3）作交于点，连接，可证明，得，，即可证明，则． 【详解】（1）解：由证明过程可知，的条件是： ， ∴推理的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）解：如答案图2，设网格中每个小正方形的边长都为， 将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上， 由勾股定理得，， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴， 由平移得， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 作交于点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $