暑假提优作业：二次根式2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-应用逻辑链，通过分层题型系统提炼判定、化简、计算方法，渗透抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|9题（含最简判定、有意义条件）|判定两条件/符号化简规则|从概念生成到性质推导| |性质应用|7题（含大小比较、同类根式）|平方法/分母有理化|性质到简单应用| |综合拓展|3题（含新定义、秦九韶公式应用）|新定义迁移/公式逆用|综合应用与拓展延伸|

暑假提优作业：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）使式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南安阳·期末）把 化简得（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）我国南宋时期数学家秦九韶（1202～1261）著有《数书九章》十八卷，是反映我国当时数学成就的代表作．书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”，是我国古代数学的辉煌成就之一．如果将三角形三边分别记为，，，则三角形的面积为，这就是著名的秦九韶公式．若在中，，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26八年级下·广东广州·期末）比较实数的大小： ______．（填入“”、“”或“”） 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若代数式有意义，则点在平面直角坐标系中的第_______象限． 12．（25-26八年级下·广西南宁·期末）计算：__________． 13．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 14．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知：，，则的值为__________． 16．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为，，，那么三角形的面积的计算公式为（）．若，，，则的值为_______． 三、解答题 17．（25-26八年级下·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 18．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知：，，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）计算 (1)； (2)； (3)观察下列等式： ； ； …… 利用上面等式提供的信息，回答下列问题：①若，则 ； ②比较大小： ． 20．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 21．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假提优作业：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A D B C D C A D 1．B 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A中，的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B中，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，是最简二次根式，符合题意； 选项C中，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D中，，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式，不符合题意． 2．A 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意． 3．D 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得． 4．B 【分析】将已知的的值代入二次根式，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：当时， ， 即当时，二次根式的值为． 5．C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 6．D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 7．C 【分析】根据数轴判断出，再根据，当时，，当时，来化简即可． 【详解】解：根据数轴可知：, ． 8．A 【分析】将每个代数式拆分为系数、根号内部和的幂次三部分，分别找对应规律即可得到结果． 【详解】解：第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 类比可得第个代数式中，系数为，根号内的数为，的次数为， ∴第个代数式是． 9．D 【详解】解：将，，代入，得 ， ， ， ， ， ． 10． 【分析】比较两个正数的大小，可采用平方法，将两个数分别平方后比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，， 计算得，， ， ， 故答案为：． 11．三 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出关于，的不等式，判断，的符号，再根据平面直角坐标系象限的坐标特征确定点所在的象限． 【详解】解：代数式有意义， 且，解得且与同号， 当时，，分式分母为零，无意义， ， ， 平面直角坐标系中，横坐标小于，纵坐标小于的点位于第三象限， 点位于第三象限． 12． 【详解】解：． 13． 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 14． 【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可． 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 15． 【分析】先将所求代数式展开，再分别计算和的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法则与平方差公式． 【详解】解：， ∵，， ∴，， 将，代入展开式：原式． 16． 【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果． 【详解】解：已知，，， 将各值代入公式 先计算各边的平方，得，， 计算 计算，可得 将结果代入公式，得 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式、二次根式的运算法则进行计算，化简后合并同类二次根式即可； （3）①由原式得出，再分母有理化即可； ②利用平方差公式完成分母有理化，再用作差法比较大小． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①∵， ∴ ； ②， ， ， ， 即． 20．(1) (2) (3) 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【详解】（1）解：由“友好二次根式”的定义得； （2）解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． （3）解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 21．(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $