专题01知识点4：全称量词与存在量词 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-判断-否定-应用”为逻辑主线，通过口诀化方法（如“量词互换，结论否定”）和题型分类训练，系统构建全称量词与存在量词的解题体系，培养数学推理意识与符号表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念|2类量词命题|符号化表示|从自然语言到符号语言的抽象| |真假判断|2类命题判断|举反例法/验证法|基于集合元素特征的逻辑推理| |命题否定|1个核心规则+1个对照表|量词互换结论否定口诀|原命题与否定命题的真假性相反关系| |解题技巧|2类方法|参数分离/二次函数图像法|命题真假与参数范围的转化| |高考题型|4类高频题型|类型识别-真假判断-否定改写-参数求解|覆盖高考核心考查维度|

知识点4：全称量词与存在量词 一、核心概念 1. 全称量词与全称量词命题 全称量词：表示“所有”“任意”“每一个”“一切”“任给”等含义的词语，符号为 ∀，读作“对任意”。 全称量词命题：含有全称量词的命题，其一般形式为 ，表示“对集合 中任意一个元素 ，都有成立”。 常见表述： · 所有的、任意一个、每一个、一切、任给 · 有些命题在文字上可能省略了全称量词，如“末位是 0 的整数，可以被 5 整除”实际上是全称命题 2. 存在量词与存在量词命题 存在量词：表示“存在一个”“至少有一个”“有些”“有的”等含义的词语，符号为 ∃，读作“存在”。 存在量词命题（也称特称命题）：含有存在量词的命题，其一般形式为 ，表示“存在集合 中的一个元素，使得 成立”。 常见表述： · 存在一个、至少有一个、有一个、有些、某些、对某个 二、命题的真假判断 1. 全称量词命题的真假判断 判断 方法 真命题 必须对限定集合中的每一个元素验证 成立 假命题 只需在集合中找到一个元素 ，使得 不成立（即“举反例”） 2. 存在量词命题的真假判断 判断 方法 真命题 只需在集合中找到一个元素，使得 成立 假命题 必须证明在集合中，使 成立的元素不存在 三、含一个量词的命题的否定（高考核心考点） 1. 否定规则 口诀：量词互换，结论否定 原命题类型 原命题形式 否定形式 结论 全称量词 命题 全称命题的否定是特称命题 存在量词 命题 特称命题的否定是全称命题 2. 常见词语的否定对照表 原词 否定词 是 不是 都是 不都是 大于（>） 小于等于（≤） 小于（<） 大于等于（≥） 至少一个 一个都没有 至多一个 至少两个 任意某个 存在某个 3. 易错提醒 · 命题的否定与否命题不同：否命题要求条件与结论都否定，而命题的否定只否定结论，不改变条件 · 否定时只改量词和结论，变量的范围 不能改动 · 当命题的否定真假不易判断时，可转化为判断原命题的真假，二者真假性相反 四、解题技巧 1. 利用真假性相反求参数范围 已知命题为真（假）命题求参数范围时，可以转化为其否定命题的真假来求解： · 全称量词命题为假 ⇒ 其否定（存在量词命题）为真 · 存在量词命题为假 ⇒ 其否定（全称量词命题）为真 2. 常见方法 · 若为二次函数型，可结合二次函数图像与判别式解题 · 若为范围类问题，可利用参数分离、构造函数求值域等方法 五、高考常见题型 1. 判断命题类型：识别全称量词命题与存在量词命题 1. 真假判断：判断全称/存在量词命题的真假 1. 命题的否定：写出全称/存在量词命题的否定形式 1. 参数范围求解：根据命题的真假性求参数取值范围 实战演练 一、单选题 1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. ，使 C. 矩形都有外接圆 D. ， 都有平方根 2.下列全称命题中是真命题的个数是（ ） ① 所有偶数都能被2整除； ② 所有的奇数都能被3整除； ③ 任意实数的平方都不小于零。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.若命题“已知 ，，有 ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.下列命题中，是存在量词命题的是（ ） A. 正方形的四条边相等 B. 有三个角是 的三角形是等边三角形 C. 正数的平方根不等于0 D. 至少有一个正整数是奇数 5.下列命题与“，”表述一致的是（ ） A. 只有一个实数 ，使得 B. 不存在实数 ，使得 C. 所有实数 ，都有 D. 至少有一个实数 使得 6.已知命题 ；命题 ，则（ ） A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 7.使命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8.命题 的否定为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.下列命题中，正确的是（ ） A. “至少有一个 ，使 成立”是全称量词命题 B. 命题“”的否定是“” C. “”是真命题 D. “”是“”的必要不充分条件 10.下列说法正确的是（ ） A. B. “”是“”的必要条件 C. 若 ，，，则 是 的充分不必要条件 D. 命题“”的否定是“” 11.以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题 ，则 的否定为： B. 若 ，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 三、填空题 12.若命题 ， 为假命题，实数 的取值范围为______。 13.已知命题 ， 与命题 ， 都是真命题，则实数 的取值范围是______。 14.若命题“”是假命题，则实数 的取值范围是______。 四、解答题 15.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1) 实数的平方大于等于0； (2) 存在一对实数对，使 成立； (3) 勾股定理。 16.判断下列命题的真假，并写出它们的否定。 (1) ； (2) 在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3) 正数的绝对值是它本身。 17.已知命题 ，命题 。 (1) 写出命题 的否定，并判断当 时命题 否定的真假（直接判断，无需说明理由）； (2) 若命题 和 均为真命题，求实数 的取值范围。 18.已知 ，若命题 是真命题，求实数 的取值范围。 19.已知集合 ，。 (1) 当 时，求 ，； (2) 若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围； (3) 已知命题 ，均有 ，若命题 为假命题，求实数 的取值范围。 参考答案 一、单选题 1. 答案：C 解析： A选项：2是素数，但不是奇数，因此“所有的素数都是奇数”是假命题。 B选项：，使是存在量词命题，不符合题意。 C选项：“矩形都有外接圆”是全称量词命题，且所有矩形都有外接圆（对角线中点为圆心），是真命题。 D选项：，都有平方根，但负数没有平方根，是假命题。 2. 答案：C 解析： ①所有偶数都能被2整除，真命题。 ②所有的奇数都能被3整除，假命题（如5不能被3整除）。 ③任意实数的平方都不小于零，真命题。 故真命题的个数为2。 3. 答案：C 解析： 命题“，”为真，即小于等于的最小值。 的最小值为（当时），故。 4. 答案：D 解析： A、B、C选项均隐含“所有”的含义，是全称量词命题。 D选项“至少有一个正整数是奇数”含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题。 5. 答案：D 解析： 与“”表述一致的为至少一个实数，使得。 6. 答案：C 解析： 命题，当时成立，为真命题。 命题，当时，为假命题，故为真命题。 因此和都是真命题。 7. 答案：C 解析： 命题“”是假命题等价于“”是真命题， 即 ，不等式 恒成立， 当 时，则不等式化简为 恒成立， 当 时，不等式 恒成立， 则等价于 解得 ， 综上所述，命题“”是真命题的充要条件是 ， 即命题“”是假命题的充要条件是 ， 若要找出命题“”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找 的真子集，由选项知只有 是 的真子集。 8. 答案：B 解析： 全称量词命题的否定是存在量词命题，且否定结论。 “”的否定为“”。 二、多选题 9. 答案：BD 解析： A错误：“至少有一个”是存在量词，应为存在量词命题。 B正确：存在量词命题的否定是全称量词命题，且否定结论。 C错误：当时，，，不成立，为假命题。 D正确：，不能推出；但，故为必要不充分条件。 10. 答案：AC 解析： 对于A选项，取 ，则 ，故A正确； 对于B选项，若 ，不妨取 ，此时 ，即“” “”， 若 ，不妨取 ，此时 ，即“” “”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为 ，则 为 的真子集，故 是 的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“”的否定是“”，故D错误。 11. 答案：ACD 解析： A正确：存在量词命题的否定是全称量词命题，且否定结论。 B错误：时，（因为、均为负，且，平方后大小关系反转）。 C正确：恒成立。 D正确：“”不能推出“”（如），但“”可推出“”，故为必要不充分条件。 三、填空题 12. 答案：1 解析： 若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，. 13.答案： 解析： 命题, 为真，即在上恒成立。 令，，在上，单调递增，，故。 命题, 为真，即方程有实数根，，解得或。 两命题均为真，取交集得且或，即或。 14. 答案： 解析： 命题“”是假命题，则其否定“”为真命题，即方程无实数根，，解得。 四、解答题 15. 解： (1) (2) (3) ，若，则三角形为直角三角形（或：直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方） 16. 解： (1) 真命题。取，则。 否定： (2) 真命题。如在实数范围内无解。 否定：在实数范围内，所有一元二次方程都有解（或：一元二次方程，在实数范围内有解） (3) 真命题。正数的绝对值是它本身。 否定：存在一个正数，其绝对值不是它本身（或：正数，） 17. 解： (1) 命题的否定为：。 当时，命题为“”，当时，为假，故其否定为真。 (2) 命题为真，即在上恒成立，的最小值为，故。 为真，则为假。，其否定为，即方程无实数根，，解得。 和均为真，即且，故。 18. 解： 是真命题，则是假命题。 为假，即方程无实数根。 当时，方程为，无解，符合题意。 当时，需，解得。 综上，。 19. 解： (1) 当时，。 。 ，。 (2) “”是“”的充分不必要条件，即。 ，。 需满足： 且等号不同时取到（否则）。 由得，由得，即。 取交集得，且等号不能同时取到。 当时，，不符合充分不必要条件（应为充要条件）。 当时，，符合。 故。 (3) 命题，均有为假命题，则其否定“，使”为真命题，即。 ，即存在同时满足和。 需区间与有交集，即： 第二个不等式恒成立，由得。 同时需保证非空：恒成立。 故。 学科网（北京）股份有限公司 $