吉林省吉林市实验中学2027届高三数学高考总复习综合模拟试卷（二）

**基本信息** 以高考高频考点为核心，整合集合、函数、几何等模块，通过定义辨析、定理应用、动态探究等题型，系统提炼数学思维方法，强化知识逻辑链与解题迁移能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|2题|集合互异性验证、充要条件定义法|概念辨析→性质应用→逻辑判断| |函数与导数|5题|导数求切线、参变分离、单调性分析|函数性质→导数工具→极值最值| |几何综合|6题|空间向量法、椭圆切线方程、轨迹分析|空间想象→坐标转化→几何证明| |代数应用|4题|均值不等式、数列错位相减、条件概率|公式推导→模型构建→实际应用|

2027届吉林市实验中学高三数学高考总复习综合模拟试卷（二） 出题人： 命题人： 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 2．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在平行四边形中，，K为边上一点，且，则（    ） A．2 B． C． D．前三个选项都不对 4．已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 5．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 7．若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B．（） C． D．（ 8．过且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的两条切线，，若，，交于，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．无零点 D．在上单调递增 10．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．n为奇数时，在单调递增 B．为奇数时，在有一个极值点 C．为偶数时，在单调递增 D．为偶数时，的最小值为0 11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为2 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过四点的球的半径的最小值为 三、填空题 12．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________. 13．已知函数，则的最小值为______． 14．在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为________． 四、解答题 15．记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 16．已知是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，交于点O． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 18．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若方程有两个根，求的取值范围. 19．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，，的面积为4（为坐标原点）.以为中心,焦点在轴上的椭圆在的内部，且与的离心率相等.分别过作的切线，设的斜率分别为. (1)求的方程； (2)求的值； (3)若的长轴长为4，是否存在定点，当过的动直线与交于两点，与交于点时，都有？若存在，写出的坐标并证明：若不存在，说明理由. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 2．D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列等比数列的性质来判断. 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以; 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．A 【分析】根据题设条件可得，均为等腰三角形，设平行四边形的中心为O，作于点H，可证，故可求. 【详解】如图，设平行四边形的中心为O，则 所以，故，故为等腰三角形， 连结，故， 因为，故，故都是等腰三角形， 作于点H，则，故有． 故选：A. 4．A 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【详解】， 设，，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 5．A 【分析】已知模长与数量积的值求出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围确定夹角大小； 【详解】设与的夹角为，向量夹角的取值范围为， ，可得， 故选：A. 6．A 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件 “至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件 “两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 7．A 【分析】利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可. 【详解】设，则，. 原不等式可化为：. 因为，所以，. 当时，，所以在恒成立，所以； 当时，，所以成立； 当时，，所以在上恒成立，所以. 综上可得：. 故选：A 8．C 【分析】首先画出平面图形，求出的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将化简为的形式，由基本不等式即可求得最值. 【详解】如图，设，，， 由于曲线，则， 所以在点的切线方程为， 同理在点的切线方程为， 由于点是两切线的交点，所以， 则为，且过， 且，设，， ， 当且仅当时“”成立， 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为. 9．AB 【分析】由已知有且定义域为，结合对数复合函数的单调性判断函数的区间单调性，进而判断函数值的大小，由对数性质求零点判断各项的正误. 【详解】由，且定义域为， 所以的图象关于直线对称，A对； 当时，在上单调递减，D错； 当时，在上单调递增， 又，B对； 显然，C错； 故选：AB 10．ABD 【分析】令，结合导数可得.若为奇数时，可得，对于A：结合可得；对于B：分和两种情况，结合导数判断单调性和极值；若为偶数时，则，对于C：求导，带特值运算即可；对于D：构建，求导，分类讨论判断的符号，进而可得的单调性和最值. 【详解】令，则当时恒成立， 可知在内单调递增，则， 即在内恒成立. 由题意可知：的定义域为， 若为奇数时，则，可得， 对于选项A： 可知当时恒成立， 所以在单调递增，故A正确； 对于选项B：令， 若，则， 可得， 可知在内单调递减，则， 即在内恒成立，可知在内单调递增； 若，令， 可得， 由图象可知：与在内只有一个交点，设其横坐标为， 当时，，则； 当时，，则； 可知在内单调递减，在内单调递增； 且连续不断，综上所述：可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在有一个极值点，故B正确； 若为偶数时，则， 可得， 对于选项C：因为， 所以在内不是单调递增函数，故C错误； 对于选项D：设， 则， 若， 则， 可知在内单调递减； 令， 若， 则， 可知在内单调递增，则， 即在内恒成立，可知在内单调递增； 若，则，可知， 则在内恒成立，可知在内单调递增，且， 则当时，，即可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 可得，即的最小值为0，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法 （1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号； （2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数； （3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解； （4）求函数在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值与的各极值进行比较，从而得到函数的最值． 11．ABD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C错误； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2， 则，设，球心，半径为， 由，得到， 解得，，所以， 又，且，所以当时，取到最小值为，故D正确. 12． 【分析】先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标 【详解】设点，则 ∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B， ∴， ∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径 所以圆心坐标为，半径长为 ∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为： 化为一般方程为： 即 与联立，求得AB所在直线方程为：① 其中，代入①中，得： 所以 解得： 直线AB恒过定点的坐标为 故答案为： 13．5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 14． 【分析】设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为，则由题意可得，，，，进而求得结论. 【详解】如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为． 则，，，． 将，，代入到中，得， 又由题意得，，则， 所以，则，，， 所以概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题涉及概率和数列知识，关键是分析运动次数与所在位置的的情况找规律，推导出一般概率表达式，再利用全概率公式，求出运动2025次后机器人“成功”的概率即可. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简等式，通过辅助角公式即可求得； （2）由余弦定理求得，然后求得，即可求得的周长. 【详解】（1）由已知，可得， 根据正弦定理可知，，. 由，则，故，所以. ，所以，故； （2）因为，，由余弦定理得， 所以， 故，解得， 故的周长为. 16．(1) (2) 【分析】（1）先根据和的值求出等比数列的通项公式，再利用，求出等差数列的通项公式. （2）求出的通项公式，结合等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）等比数列的公比， 所以，. 设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得. 所以. 等差数列的通项公式为. （2）由（1）知，. 所以， 故数列的前项和为. 17．(1)证明见解析； (2)4. 【分析】（1）连接，证明可得，再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证； （2）由，结合， 求解，再利用，根据勾股定理即可得． 【详解】（1）如图，连接， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．(1)函数的单调递增区间为和，递减区间为 (2)的取值范围为 【分析】（1）求导数，解不等式和，可求得单调区间； （2）因为不是的根，参变分离可得，令，求导可得的单调区间，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 由，得或，由，得， 所以函数的单调递增区间为和，递减区间为； （2）因为不是的根，当时， 由，可得， 设， 则， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，， 当时，且， 当时，， 要使有两个根，则，解得， 所以的取值范围为. 19．(1) (2) (3)当为时，存在定点满足条件；当为时，存在定点满足条件 【分析】（1）根据条件列出的方程求解即可； （2）设的方程可设为，由与相切，联立方程得到，化简得到，同理可得，即可得到. （3）先求出过点 的椭圆的切线​，方程为，题目中的本质是 按相同比例分割线段 ，结合在椭圆上的方程，消去比例参数后可得到过点的恒成立直线，由于始终在切线​上，因此这条直线与为同一条直线，通过系数成比例即可解得定点 为. 【详解】（1）设，，则， ， 联立解得， 则的方程. （2）因为两椭圆的离心率相同，故的方程可设为， 设切线的方程为，切线的方程为， 由，得， 由，即， 整理得， 同理可得， 所以，所以. （3）易得的方程为，设的方程为， 由，得， 由，得， 当的方程为时，假设存在满足条件的点，设. 由题意知不能在椭圆上， 若在椭圆内且，则，显然条件不成立; 若在椭圆内且，则，显然条件不成立; 所以若存在，则其必然在椭圆外， 设，则且，由题知四点共线， 则，设， 由向量的共线关系可得: ①，     ②， ③，      ④, 由①②，③④得到，， 因为在上，所以它们的坐标满足 ⑤， ⑥， 由⑤⑥得到， 整体代入得到：恒成立， 因为在直线上， 当，是同一条直线时，即时满足题意， 所以存在定点符合题意. 当的方程为时，由图形的对称性可知，点为所求定点. 综上，当为时，存在定点满足条件； 当为时，存在定点满足条件. 答案第6页，共11页 答案第7页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $