2027届吉林省吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷（人教A版选择性必修第三册）

**基本信息** 聚焦排列组合、二项式定理及统计概率，通过分类分步、捆绑插空等方法体系，构建“概念-方法-应用”逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合与概率|6题|分类分步计数、捆绑插空法、全概率公式|从基本计数原理到实际情境应用，结合限制条件（如志愿者分配）深化逻辑推理| |二项式定理|5题|二项式系数性质、通项公式法|以系数计算为核心，关联组合数对称性与展开式结构，强化运算能力| |统计与回归|6题|卡方检验、残差分析、正态分布|从数据收集到推断结论，通过列联表、等高条形图培养数据观念与统计思维|

吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷 选修三 出题人： 命题人： 一、单选题 1．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数的最小整数为（    ） A．150 B．170 C．240 D．180 2．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．30 3．在的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是 A．462 B．330 C．682 D．792 4．（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法的种数为（     ） A．24 B．36 C．72 D．96 6．化简（    ） A． B． C． D． 7．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（    ） A．50 B．36 C．26 D．14 8．甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 二、多选题 9．下列说法中，正确的是（    ） A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 C．决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. D．若随机变量，满足，则 10．（多选）下列关于的说法中正确的是（    ） A．展开式中的各二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 11．下列说法正确的是（   ） A．回归分析模型中，决定系数越大，说明模型模拟效果越好 B．已知一组数据的方差是3，则数的标准差是12 C．从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记为取得红球的个数 D．已知随机变量服从正态分布，且，则 三、填空题 12．三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为.将三批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________. 13．从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有______条． 14．的展开式中的系数是______.（用数字作答）. 四、解答题 15．计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 16．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广． (1)求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由． (2)已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 17．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下： 组别 阳性数 阴性数 总计 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 总计 38 35 73 试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？ 18．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 参考公式及数据：． (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．在二项式的展开式中，当且仅当第项的二项式系数最大． (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求的值． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】设男、女大学生各有人，即可得到列联表，再计算出卡方，从而得到不等式，解得即可. 【详解】解：设男、女大学生各有人，根据题意画出列联表如下： 看 不看 合计 男 女 合计 所以， 因为有的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数的最小整数为180. 故选：D. 2．C 【分析】使用分配律后再由二项式定理的展开式的通项公式赋值计算可得结果. 【详解】因为，其中展开式的通项为，所以原式的展开式中含的项为.所以的系数为. 故选：C. 3．A 【详解】的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于，则中间项的二项式系数是. 故选A 4．B 【分析】根据组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：B 5．D 【分析】可将问题分为1女2男或2女1男两类情况分别计算后利用分类加法计数原理计算即得，或用间接法用总安排数减去全为男生的安排数求解. 【详解】解法一（分类法）： 根据至少1位女生入选的要求，分两类讨论： 选出1位女生、2位男生：选出3人的方法有种，再将选出的3人分配到3个场馆的方法有种，则该类安排方法有种； 选出2位女生、1位男生：选出3人的方法有种，再将选出的3人全排列分配到3个场馆的方法有种，则该类安排方法有种. 根据分类加法计数原理，总安排方法数为种. 解法二（间接法）： 从6人中任选3人分配到3个场馆的总安排数为，其中全为男生的安排数为， 因此符合条件的安排方法数为. 6．B 【分析】利用二项式展开式对应项系数相等计算求和，最后结合组合数对称性得到正确选项. 【详解】因为， 则的展开式中项的系数为 ， 的展开式中项的系数为， 所以. 7．A 【分析】按照和分组讨论安排. 【详解】（1）按照分3组安装， ①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种， ②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种， （2）按照分3组安装， ①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种， ②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种， 故共有种， 故选：A. 8．D 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法， 最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D 9．BD 【分析】根据残差图的意义可判断A的真假；根据相关系数的意义判断B的真假；根据决定系数的意义判断C的真假；根据两个变量之间的关系，求其方差的关系，判断D的真假. 【详解】对于A，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，A错误； 对于B，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故B正确； 对于C，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，故C错误； 对于D，由随机变量方差的性质知加减不改变方差，缩放后方差变为平方倍，故，故D正确. 故选：BD. 10．AB 【分析】由二项展开式的二项式系数之和为，可判断A； 二项式系数最大的项是中间一项即第6项，可判断B，C； 展开式中各项的系数与对应二项式系数相等，故第6项的系数最大，可判断D 【详解】根据二项式系数的性质 ，知的展开式中各二项式系数之和为，故A正确； 的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误； 易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等，故第6项的系数最大，故D错误． 故选：AB 11．ACD 【分析】利用决定系数的意义可判断A；利用方差的意义计算可判断B；利用古典概型概率公式计算可判断C；由正态分布概率计算可判断D； 【详解】对于A，决定系数的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，故A正确. 对于B，数据的平均值记为， 数据的平均值为： ， 所以方差为 ， 显然标准差不为12，故B错误； 对于C：从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记X为取得红球的个数， 则，故C正确； 对于D：因为随机变量服从正态分布，所以， 又因为，所以， 由正态分布的性质可得，故D正确. 故选：ACD. 12． 【详解】由全概率公式可知：从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率 . 13．30 【分析】根据题意利用排列原理求解即可. 【详解】从集合中任取2个数作为，两数顺序不同，表示的直线也不同， 所以所得直线有条. 故答案为：30. 14．120 【分析】先将分解因式，然后利用二项式定理展开，即可得展开式中的系数. 【详解】 由二项式定理可知的系数是： 的展开式中的系数是120. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、求展开式中某项的系数、二项式系数的性质,属于中档题. 15．(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）根据组合数的计算性质即可求解， （2）根据组合数的阶乘形式的公式即可化简求解. 【详解】（1）因为，由可得或，解得或. （2）证明： 16．(1)，能，推广形式为，理由： ； 当时，，等式成立， 当时， ， 所以组合数性质能推广到（是正整数）的情形，推广形式为． (2) 当时，因为是正整数，所以是个连续整数的乘积，而！是个连续正整数的乘积，所以， 当时，此时，那么， 所以， 当时，因为， 所以， 又因为组合数是正整数，所以，则， 综上，当是正整数时，． 【分析】（1）根据定义即可计算；分类讨论，和两种情况，结合组合数的性质即可证明； （2）当时，分，和三种情况讨论，结合组合数的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 17．答案见解析 【分析】分别计算铅中毒组和对照组的阳性、阴性比例，根据所得数据画出等高堆积条形图，考察铅中毒病人与对照组的阳性与阴性的比值是否差异明显即可得到结论． 【详解】解：铅中毒组的阳性比例为,阴性比例为; 对照组的阳性比例为，阴性比例为， 由此画出等高堆积条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率. 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系. 【点睛】本题考查登高堆积条形图的绘制和应用，用等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关. 18．(1)列联表： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为 (2)能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关 【分析】（1）先填写列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案. （2）计算的知识，从而作出判断. 【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 男生有报考军事类院校意向的概率为， 女生有报考军事类院校意向的概率为. （2）， 所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 19．(1)8 (2)． 【分析】（1）根据二项式系数的特征求出； （2）写出展开式的通项，令，求出，再代入得到方程，解得即可. 【详解】（1）由二项式的展开式中， 当且仅当第项的二项式系数最大，即最大，. （2）易知二项式展开式的通项为： ，且，    令，得， 展开式中的系数为， ，即，，解得， 故的值为． 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $