2027届吉林省吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高三数学一轮复习卷，以滕王阁仰角测量、《八角笼中》评分等真实情境为载体，覆盖立体几何、向量、统计等必修二核心知识，注重数学眼光观察与思维推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数运算、样本概念等|第3题结合滕王阁文化考查解三角形，体现文化传承| |多选题|3|统计量、复数模等|第9题以电影评分数据考查均值、极差，关联社会热点| |填空题|3|向量夹角、抽样概率等|第14题菱形折叠外接球问题，深化空间观念| |解答题|5|向量与三角、立体几何折叠等|第17题低碳竞赛统计分析，强化数据意识与应用能力|

吉林市实验中学高三数学高考总复习试卷 必修二 出题人： 命题人： 一、单选题 1．设，则 (    ) A． B．1 C． D． 2．为统计高二同学的视力情况，从4个班级中每个班级抽取了10名同学，记录了他们的视力情况.在此过程中，这40名同学的视力情况是（    ） A．总体 B．个体 C．样本容量 D．样本 3．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米. A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，点是对角线上靠近的三等分点，设，则（   ） A． B． C． D． 5．已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 6．一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（     ） A． B． C． D． 7．对任意的，都有恒成立，则复数是（     ） A．实数 B．纯虚数 C．实部与虚部相等的复数 D．零 8．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 二、多选题 9．近日王宝强电影新作《八角笼中》正在上映，现随机抽取6位影迷对该片进行评分，得到一组样本数据如下：9.2，9.3，9.5，9.5，9.7，9.8，则下列关于该样本的说法中正确的有（    ） A．均值为9.5 B．方差为0.13 C．极差为0.6 D．第分位数为9.7 10．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数的模的最大值为2 B．若，是纯虚数，则 C．时，复数对应的点在第一象限内 D．复数的模长为定值 11．如图，在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，则（    ）    A．与异面的面对角线共有8条 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．若为正方体内的一个动点，且，则的最小值为 三、填空题 12．若，，，则向量与的夹角为__________． 13．利用简单随机抽样的方法，从个个体（）中抽取15个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为.则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______. 14．已知菱形的边长为4，对角线，将沿着折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 四、解答题 15．已知向量，记函数． (1)求的对称轴和单调递增区间； (2)在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，求的取值范围． 16．如图，为直角三角形，，分别为中点，将沿折起，使点到达点，且． (1)求证：面面； (2)求点到平面的距离． 17．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了n份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10． (1)求m，n的值； (2)试估计参赛选手得分的平均值（同组数据用该组区间的中点值作代表）； (3)试估计参赛选手得分的中位数． 18．已知在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求的值； (2)若线段上的一点满足，求的值． 19. 已知的内角\(A,B,C\)所对的边分别为，且. (1) 求A； (2) 若D为BC边上一点，，，，求. 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据复数的计算法则计算即可得到答案﹒ 【详解】， 故选：C﹒ 2．D 【分析】根据给定条件，利用总体、样本的定义直接判断作答. 【详解】从4个班级中每个班级抽取了10名同学，记录了他们的视力情况，这40名同学的视力情况是样本. 故选：D 3．A 【分析】设，表达出，，结合，列出方程，求出答案. 【详解】设，则，，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 即，解得. 故选：A 4．B 【详解】由，， 在平行四边形中，. 点是上靠近的三等分点，故. 而，因此. 5．A 【分析】根据题意，求得为等腰直角三角形，且，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以为的中点， 所以为的直径，可得， 又因为，所以为等腰直角三角形，且， 所以. 故选：A. 6．D 【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解. 【详解】设圆锥母线长，底面圆半径， ，所以， 圆锥表面积，扇形面积， 所以. 故选：D 7．A 【详解】设， 则， 若，则， 即，化简得， 所以，所以且， 因为对任意的，都有恒成立，所以时，且， 所以，所以复数是实数. 8．D 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 9．ACD 【分析】根据数据的均值、极差、方差以及百分位数的计算，分别判断各选项，即得答案. 【详解】由题意，该样本的平均值为，A正确； 方差为， B错误； 极差为，C正确； 由于，故第分位数为第5个数，即，D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】AD选项，利用模长公式得到，A错误，D正确；B选项，根据复数类型得到方程和不等式，求出；C选项，当时，，C正确. 【详解】AD选项，， 故，A错误，D正确； B选项，且，即且， 又，故，B正确； C选项，当时，， 故且，复数对应的点在第一象限内，C正确. 故选：BCD 11．BCD 【分析】由12条面对角线与的位置关系，判断选项A；通过线面垂直证明线线垂直判断选项B；几何法结合余弦定理求异面直线所成角的余弦值判断选项C；通过线面垂直得点P轨迹，体积法求的最小值. 【详解】正方体的面对角线共有12条，其中与共面的面对角线有6条，所以与异面的面对角线有6条，A选项不正确； 连接，由，平面，平面， ，平面，，则平面， 平面，所以，B选项正确；    取的中点，连接，则， 正方体棱长为2，则面对角线长为，体对角线长为， ，，， 则中，， 即异面直线与所成角的余弦值为，C选项正确； 连接为正方体内的一个动点，且， ，同理有，平面，， 所以平面，可知在内，当为与平面的交点时，取得最小值， 由，得， 即，可得，D选项正确． 故选：BCD 12．/ 【分析】根据平面向量的数量积计算两向量的夹角大小即可. 【详解】因为，，，设向量与的夹角为， 所以， 解得，又,， 所以向量与的夹角为． 故答案为： 13． 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为， 则，解得， 所以在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为. 故答案为：. 14． 【分析】取中点为，连接，，易知即为二面角的平面角，由与是边长为4的等边三角形，则重心、，即为外心，记该几何体的外接球球心为，连接，，可得平面，平面，结合与都是直角三角形和二面角求得，再由外接球的半径为求解. 【详解】如图所示：    将沿折起后，取中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以； 与是边长为4的等边三角形. 分别记三角形与的重心为、， 则，；即； 因为与都是边长为4的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，， 根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，且平面，平面， 所以平面； 又平面，所以， 连接，则外接球半径， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据与都是边长为4的等边三角形，得到外心的位置，进而由两平面过外心的垂线的交点即为球心而得解. 15．(1)对称轴为， (2) 【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得，从而可求对称轴方程及单调递增区间； （2）先求得，再由正弦定理及两角和与差的正弦公式及辅助角公式可得，根据三角函数可求得范围. 【详解】（1）由题意 ， 所以的对称轴为，即， 单调递增区间满足，解得， 所以单调递增区间为． （2）由得，，所以， 所以， 因为为锐角三角形，故，得， 所以，即的取值范围为． 16．(1) 连接MC，由题意得：，因为， 所以由勾股定理得：， 因为，，所以， 因为分别为中点，所以∥AC，故， 将沿折起，则有PM⊥MN，因为， 所以PM⊥平面ACMN，又因为平面PMN， 所以面面； (2) 【分析】（1）作出辅助线，由证明出，结合PM⊥MN证明出线面垂直，进而证明出面面垂直；（2）作出辅助线，证明出MD为点到平面的距离，求出MD即可. 【详解】（1）略 （2）过点M作MD⊥PA于点D，由第一问知：PM⊥平面ACMN，因为平面ACMN，所以PM⊥AC，PM⊥AM，因为AC⊥AM，，所以AC⊥平面AMP，因为平面AMP，故AC⊥MD，又因为，所以MD⊥平面PAC，故MD为点到平面的距离，由勾股定理得：，所以,故点到平面的距离为. 17．(1)， (2)72.8分 (3)73.75分 【分析】（1）根据小矩形面积和为1即可解出； （2）根据频率分布直方图平均值计算公式即可得到答案； （3）首先判断中位数在内，再设未知数，得到方程解出即可. 【详解】（1）由， 得，. （2）设估计参赛选手得分的平均值为， 则， 即参赛选手得分的平均值为72.8分． （3）估计参赛选手得分的中位数为． 因为， 所以参赛选手得分的中位数在内， 则，解得， 所以参赛选手得分的中位数为73.75分． 18．(1) (2) 【分析】（1）先通过正弦定理将边的比例参数化，结合余弦定理求出边后再计算； （2）第二问由向量垂直的性质将所求角的余弦转化为计算即可． 【详解】（1）根据正弦定理，可得， 设， 由余弦定理， 化简得，解得（边长为正，舍去负根）， 由余弦定理得． （2）由得，即，为直角三角形， 所以， 因此， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以． 19. (1) 求角A 已知，由余弦定理： (2) 求\(\sin B\) 由，， 在中，，，，由余弦定理： 。 由正弦定理： ，， 在中，，，用两角和展开： 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $