3 一元一次不等式 讲义2026—2027学年浙教版 数学八年级上册

本讲义系统梳理一元一次不等式核心知识，从不等式概念、性质入手，衔接一元一次不等式定义、解法（类比方程步骤）、解集（数轴表示），延伸至不等式组的解集与实际应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于典例结合现实情境（如机器人搬运货物限重、车辆限高），培养用数学眼光观察世界，解法强调推理（如性质3不等号变向）发展数学思维，数轴表示解集训练数学语言。课中助力分层教学，课后练习及答案方便学生查漏补缺。

一元一次不等式 知识点梳理 知识点梳理01：不等式 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点梳理02：不等式的性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： 运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点梳理03：一元一次不等式定义 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 知识点梳理04：一元一次不等式解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 知识点梳理05：不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向． (1) 确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈； (2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点梳理06：一元一次不等式组 1.定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 2. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 3.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 要点三、一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数． 4.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 典例精讲 【类型1不等式】 【例题1】（2026春•辉县市月考）下列各式中，是不等式的是（　　） A．5x﹣2＝1 B．4x2﹣2x+5 C．﹣1+1＝0 D．3x＞0 【例题2】（2026春•晋江市期末）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：　 　 ． 【例题3】（2026春•无为市月考）如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过25kg．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为xkg，则x的取值范围是（　　） A．x≥25 B．x＞25 C．0＜x≤25 D．0＜x＜25 【变式1】（2026春•武侯区校级期中）下面给出了5个式子：①x2+y2≥2xy，②，③﹣5≤0，④s＝vt，⑤y≤4y﹣3．其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2026春•抚宁区期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．0＜x≤3 【类型2 不等式性质】 【例题1】（2026春•南关区期中）小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个20g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的取值范围是　 　 ． 【例题2】（2025秋•雁塔区校级期末）如果x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+5＜y+5 B． C．5x+1＞5y+1 D．﹣5x＞﹣5y 【例题3】（2026春•渠县校级期末）若不等式（m﹣2026）x＞m﹣2026两边同时除以（m﹣2026），得x＜1，则m的取值范围是　 　 ． 【变式1】（2026春•锦州校级期末）已知m＜n，则下列各式中一定成立的是（　　） A．2m+1＜2n+1 B．mc2＜nc2 C．m﹣n＞0 D． 【变式2】（2026春•孝义市期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＞b+2 B．若a＞b，则1﹣a＞1﹣b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【变式3】（2024•邓州市二模）若不等式（m﹣3）x＜3﹣m的两边同除以（m﹣3），得x＞﹣1，则m的取值范围为 　 　 ． 【类型3 一元一次不等式】 【例题1】（2026春•甘孜州期末）在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题2】（2026春•江都区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+2026＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　 ． 【例题3】（2026•武宁县二模）不等式5﹣2x＞1的解集是　 　 ． 【例题4】（2025春•长春期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1 【例题5】（2025秋•拱墅区期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（　　） A．36x≤42（x﹣1） B．36x＞42（x﹣1） C．36x＜42（x﹣2）+30 D．36x＞42（x﹣2）+30 【变式1】（2025秋•青岛同步）指出下列不等式中的一元一次不等式： （1）x2+2x+3＜0； （2）3xx＞1； （3）3x﹣2y≤3； （4）． 【变式2】（2023春•子洲县校级期中）已知（m+2）x|m+3|﹣1＞2是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【变式3】（2026春•华阴市期末）当4x+6的值是负数时，x的取值范围是　 　 ． 【变式4】（2026春•贺兰县校级期末）若关于x的不等式x＞a只有两个负整数解，则a的取值范围是　 　 ． 【变式5】（2026春•涪城区校级月考）某校组织开展了某次知识竞赛，共有20道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对（　　）道题． A．15 B．14 C．13 D．12 【类型4 一元一次不等式组】 【例题1】直接写出解集： 1 学科网（北京）股份有限公司 (1)的解集是______； (2)的解集是______； (3)的解集是_______； (4)的解集是_______ 【例题2】（2026春•渠县校级期末）解不等式及解不等式组 （1）； （2）． 【例题3】（2026•荥阳市模拟）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【例题4】（2026春•重庆期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： （1）若x+y＝2，求m的值． （2）若y为负数，求m的取值范围． 【例题5】（2026春•福田区期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【例题6】（2026春•泸县期末）按照如图程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是　 　 ． 【例题7】（2026春•浚县月考）某书店计划购进一批故事书和科普书，经市场考察得知：购进1本故事书和2本科普书共需70元，购进2本故事书和1本科普书共需50元． （1）每本故事书、每本科普书的价格各为多少元？ （2）根据书店实际需求，需购进故事书和科普书共30本，其中故事书的数量不超过18本，且总费用不超过600元，共有几种购进方案？ （3）在（2）的条件下，商家推出一项优惠活动：购买科普书数量超过10本时，超出部分的科普书按原价的8折付款，故事书不打折，请直接写出该书店购进这些图书最少花费多少钱． 【例题8】（2026春•大同期末）【阅读与思考】 （1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x的一元一次方程2x+a＝1中，满足x＞0，求a的取值范围． 分析：第一步，通过解方程，用含a的代数式求出x：由2x+a＝1解得； 第二步，根据x＞0，列出关于a的不等式：； 第三步，解不等式，求得a的取值范围为　 　 ． 【迁移思考】 （2）在关于x，y的二元一次方程组中，若x＞1，y＜0，求a的取值范围． （3）在（2）的方程组中，若2x＞3y＞a，请直接写出a的取值范围． 【变式1】（2026春•辉县市月考）下面是亮亮解不等式组的过程． 解：由①，得x＜3+2．…第一步 所以x＜5．…第二步 由②，得﹣x﹣2≤3．…第三步 所以x≥﹣5．…第四步 故原不等式组的解集是﹣5≤x＜5．…第五步 （1）亮亮的解答过程从第　 　 步开始出现错误的； （2）请你写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【变式2】（2026春•青岛校级期中）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a＜3 C．1＜a＜3 D．1＜a≤2 【变式3】（2026春•榆林期末）如图是小秦写的一个程序，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于15”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于15，则用得到的这个数进行下一次操作．若程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是　 　 ． 【变式4】（2026春•古县期末）山西石雕工艺历史悠久，某石材加工厂选用两种货车转运石材原料，当车辆满载时，1辆A型货车和1辆B型货车一共可运载6吨石材；2辆A型货车和1辆B型货车一共可运载8吨石材，租用1辆A型货车费用为200元，租用1辆B型货车费用为300元． （1）求1辆A型货车、1辆B型货车分别能运载多少吨石材． （2）该石材加工厂计划租用A，B型两种货车共10辆，且总运费不超过2800元，求至少需要租用A型货车多少辆． （3）现有数量相同的A，B型货车若干辆，该石材加工厂准备运送一批石材，若全部用A型货车装运，每辆都装满后，还剩余17吨石材；若全部用B型货车装运，仅有一辆车未装满，且该车内也装有石材．直接写出B型货车可能为多少辆． 【变式5】（2025秋•慈溪市期末）【问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 【方法】由x﹣y＝2可知x＝y+2．由x＞1可知y+2＞1即y＞﹣1，从而可以得到﹣1＜y＜0． 因为x+y＝（y+2）+y＝2y+2，所以由﹣1＜y＜0可得0＜2y+2＜2． 即0＜x+y＜2． 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知x+2y＝3，且x＜1，y＜5，求x+y的取值范围． （2）一家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）定价的范围． 课后小练习 1．（2026春•江岸区校级月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•德阳期末）下列式子的变形错误的是（　　） A．若a＝b，则2a+b＝2b+a B．若，则a＝b C．若m＞n，则 D．若x＜y，则a2x＜a2y 3．（2026春•金湾区期末）如图，直接写出关于x的不等式的解集：　 　 ． 4．不等式5﹣2x＜﹣1的解集为 　 ． 5．若关于x的不等式x＜a恰有3个正整数解，则a的取值范围为（　　） A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．0＜a＜4 D．0＜a≤3 6．（2026春•浦北县校级月考）x与2的差是负数，用不等式表示为（　　） A．x﹣2＜0 B．x﹣2＞0 C．x+2＜0 D．x﹣2≤0 7．（2026春•西乡县期末）如果关于x的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，那么m的取值范围是（　　） A．5≤m≤6 B．5＜m＜6 C．5＜m≤6 D．5≤m＜6 8． （2025春•易门县期末）将一箱书分给学生，若每名学生分6本书，则还剩10本书；若每名学生分8本书，则最后一名学生虽然分到了书，但是数量不足4本，则学生人数 为 　 　 人． 9．（2025秋•青羊区校级期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞3，则k的范围是　 　 10．（2026春•西城区月考）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝5时，不等式组有解； ③若它的整数解仅有4个，则a的取值范围是11≤a＜13； ④若它无解，则a＞3． 其中正确的结论有　 　 ．（填编号） 11．（2026春•高要区期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 　 　 ． 12．（2026•陕西校级模拟）解不等式，并写出所有非负整数解． 13．（2026春•南充期末）求同时满足不等式3﹣4x≤8和的整数x的值． 14．（2026春•青岛校级期中）解答题 （1）解不等式：3x﹣1≤﹣2x． （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． （3）解不等式组，并写出它的非负整数解． 15．（2026春•定边县校级期末）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 16． （2026春•东城区校级期中）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 17．（2026•太和县校级二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 18．（2026春•西安校级期末）为了让更多的同学参与到体育活动中去，学校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知每副羽毛球拍的售价是60元，每副乒乓球拍的售价是45元，如果学校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过5000元，那么学校最多能购进多少副羽毛球拍． 19．（2026春•镇安县校级期末）《2026年十大新兴技术》报告筛选出未来三到五年内可能对经济和社会产生重大影响的科技技术，从芯片超级周期到数字健康身体，再到教育产业的科技融合，多个领域均有新进展．为了让学生增长见识、陶冶情操，某校计划组织全校500名师生到高校科技实验室进行研学，学校计划租用A型车和B型车若干，已知3辆A型车和2辆B型车可满载师生180人，4辆A型车和3辆B型车可满载师生255人． （1）每辆A型车和每辆B型车各能满载多少名师生？ （2）若该校计划租用A型车和B型车共12辆，则至多租用A型车多少辆？ 20．（2026春•浉河区校级月考）开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中A，B两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如表： 类别价格 A款汴绣 B款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 （1）第一次小杰用14200元购进了A，B两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； （2）在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件B种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求A种汴绣产品最低打几折？ 21．（2026春•临潼区校级期末）编程课上，小宇设计了一个如图所示的运算程序图，按照程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于19”为一次运行． （1）若该程序只运行了1次就停止了，求x的取值范围； （2）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 参考答案 典例精讲 【类型1不等式】 【例题1】（2026春•辉县市月考）下列各式中，是不等式的是（　　） A．5x﹣2＝1 B．4x2﹣2x+5 C．﹣1+1＝0 D．3x＞0 【解答】解：5x﹣2＝1，﹣1+1＝0是等式，4x2﹣2x+5是代数式，它们不是不等式， 3x＞0是不等式， 故选：D． 【例题2】2026春•晋江市期末）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：　 　 ． 【解答】解：∵m的2倍可表示为2m，m的2倍与n的和可表示为2m+n． ∴不等式为2m+n≤3． 故答案为：2m+n≤3． 【例题3】（2026春•无为市月考）如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过25kg．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为xkg，则x的取值范围是（　　） A．x≥25 B．x＞25 C．0＜x≤25 D．0＜x＜25 【解答】解：设该人形机器人每次搬运的货物的质量为xkg， 由题意，该人形机器人每次搬运的货物质量不能超过25kg， ∴x≤25． 又∵货物质量为正数， ∴x＞0． 综上，x的取值范围是0＜x≤25． 故选：C 【变式1】（2026春•武侯区校级期中）下面给出了5个式子：①x2+y2≥2xy，②，③﹣5≤0，④s＝vt，⑤y≤4y﹣3．其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：x2+y2≥2xy，﹣5≤0，y≤4y﹣3符合不等式的定义，它们是不等式，共3个， ，s＝vt是等式，它们不是不等式， 故选：B． 【变式2】（2026春•抚宁区期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．0＜x≤3 【解答】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为0＜x≤3， 故选：D． 【类型2 不等式性质】 【例题1】（2026春•南关区期中）小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个20g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的取值范围是　 　 ． 【解答】解：由题意，得， 解得：10＜m＜20． 故答案为：10＜m＜20． 【例题2】（2025秋•雁塔区校级期末）如果x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+5＜y+5 B． C．5x+1＞5y+1 D．﹣5x＞﹣5y 【解答】解：根据不等式的性质逐项分析判断如下： A、由x＞y可得x+5＞y+5，原式错误，不符合题意； B、由x＞y可得，原式错误，不符合题意； C、由x＞y可得5x＞5y，则5x+1＞5y+1，原式正确，符合题意； D、由x＞y可得﹣5x＜﹣5y，原式错误，不符合题意； 故选：C． 【例题3】（2026春•渠县校级期末）若不等式（m﹣2026）x＞m﹣2026两边同时除以（m﹣2026），得x＜1，则m的取值范围是　 　 ． 【解答】解：不等式（m﹣2026）x＞m﹣2026，两边除以（m﹣2026）之后，不等号从“＞”变成了“＜”． 根据不等式的基本性质，能够让不等号方向反转，说明除数是负数． m﹣2026＜0， 移项计算：m＜2026． 故答案为：m＜2026． 【变式1】（2026春•锦州校级期末）已知m＜n，则下列各式中一定成立的是（　　） A．2m+1＜2n+1 B．mc2＜nc2 C．m﹣n＞0 D． 【解答】解：A．若m＜n，则2m＜2n，2m+1＜2n+1，故选项A成立； B．若m＜n，则mc2＜nc2（c≠0），故选项B不成立； C．若m＜n，则m﹣n＜0，故选项C不成立； D．若m＜n，则，故选项D不成立． 故选：A． 【变式2】（2026春•孝义市期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＞b+2 B．若a＞b，则1﹣a＞1﹣b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【解答】解：A：a＞b只能推出a﹣2＞b﹣2，不能得到a﹣2＞b+2，错误； B：a＞b，a＜﹣b，两边加1，得1﹣a＜1﹣b，错误； C：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，ac2＞bc2不成立，错误； D：ac2＞bc2，c2＞0，两边同除以c2，得a＞b，正确． 故选：D． 【变式3】（2024•邓州市二模）若不等式（m﹣3）x＜3﹣m的两边同除以（m﹣3），得x＞﹣1，则m的取值范围为 　 　 ． 【解答】解：∵不等式（m﹣3）x＜3﹣m的两边同除以（m﹣3），得x＞﹣1，不等号的方向改变， ∴m﹣3＜0， 解得m＜3． 故答案为：m＜3． 【类型3 一元一次不等式】 【例题1】（2026春•甘孜州期末）在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据不等式的定义，依次分析可得：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3，这些不等式中只有1个式子x≠5符合一元一次不等式定义，而x＝3是等式，x2+2xy+y2是代数式， 故选：A． 【例题2】（2026春•江都区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+2026＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　 ． 【解答】解：∵不等式（m﹣3）x|m﹣2|+2026＞0是关于x的一元一次不等式， ∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝3（舍去）或m＝1， 则m的值为1， 故答案为：1． 【例题3】（2026•武宁县二模）不等式5﹣2x＞1的解集是　 　 ． 【解答】解：由题知， 5﹣2x＞1， ﹣2x＞1﹣5， ﹣2x＞﹣4， x＜2． 故答案为：x＜2． 【例题4】（2025春•长春期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1 【解答】解：由数轴可得，x≤a， ∵该不等式恰有两个非负整数解， ∴这两个非负整数解是0，1， ∴1≤a＜2， 故选：C． 【例题5】（2025秋•拱墅区期末）育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（　　） A．36x≤42（x﹣1） B．36x＞42（x﹣1） C．36x＜42（x﹣2）+30 D．36x＞42（x﹣2）+30 【解答】解：由题意得：36x＞42（x﹣2）+30， 故选：D． 【变式1】（2025秋•青岛同步）指出下列不等式中的一元一次不等式： （1）x2+2x+3＜0； （2）3xx＞1； （3）3x﹣2y≤3； （4）． 【解答】解：（1）因为该不等式中含有x2， 所以x2+2x+3＜0不是一元一次不等式； （2）因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以3xx＞1是一元一次不等式； （3）因为该不等式中含有x，y两种未知数， 所以3x﹣2y≤3不是一元一次不等式； （4）因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式． 【变式2】（2023春•子洲县校级期中）已知（m+2）x|m+3|﹣1＞2是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【解答】解：∵（m+2）x|m+3|﹣1＞2是关于x的一元一次不等式， ∴|m+3|＝1且m+2≠0， 解|m+3|＝1得：m＝﹣2或﹣4， 解m+2≠0得：m≠﹣2， ∴m＝﹣4． 【变式3】（2026春•华阴市期末）当4x+6的值是负数时，x的取值范围是　 　 ． 【解答】解：∵4x+6的值是负数， ∴4x+6＜0， ∴4x＜﹣6， ∴． ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】（2026春•贺兰县校级期末）若关于x的不等式x＞a只有两个负整数解，则a的取值范围是　 　 ． 【解答】解：由条件可知两个负整数解为﹣1和﹣2． ∴要使不等式x＞a仅有﹣1，﹣2两个负整数解，可得﹣3≤a＜﹣2． 故答案为：﹣3≤a＜﹣2 【变式5】（2026春•涪城区校级月考）某校组织开展了某次知识竞赛，共有20道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对（　　）道题． A．15 B．14 C．13 D．12 【解答】解：设要答对x道题， 由题意得：10x﹣5（20﹣x）＞100， 解得：x， ∵x为正整数， ∴x的最小值为14， 即他至少要答对14道题． 故选：B． 【类型4 一元一次不等式组】 【例题1】直接写出解集： (1)的解集是______； (2)的解集是______； (3)的解集是_______； (4)的解集是_______ 【解答】（1）；（2）；（3）；（4）无解 【例题2】（2026春•渠县校级期末）解不等式及解不等式组 （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 两边同乘8去分母，得8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2）， 去括号，得8﹣7x+1＞6x﹣4， 移项合并同类项，得﹣13x＞﹣13， 系数化为1，得x＜1； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因此原不等式组的解集为． 【例题3】（2026•荥阳市模拟）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【解答】解：由得，x＞5， 因为所给不等式组无解， 所以a≤5． 故选：D． 【例题4】（2026春•重庆期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： （1）若x+y＝2，求m的值． （2）若y为负数，求m的取值范围． 【解答】解：（1）， ①+②得，2x+2y＝8+2m， ∴x+y＝4+m ∵x+y＝2 ∴4+m＝2 解得m＝﹣2； （2）， ①﹣②得：4y＝6﹣4m， ∴， ∵y为负数， ∴， 解得． 【例题5】（2026春•福田区期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 【例题6】（2026春•泸县期末）按照如图程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是　 　 ． 【解答】解：根据题意，得， 由①得，x≤8； 由②得，x＞5， ∴不等式组的解集为5＜x≤8， ∴输入的x的取值范围为5＜x≤8， 故答案为：5＜x≤8． 【例题7】（2026春•浚县月考）某书店计划购进一批故事书和科普书，经市场考察得知：购进1本故事书和2本科普书共需70元，购进2本故事书和1本科普书共需50元． （1）每本故事书、每本科普书的价格各为多少元？ （2）根据书店实际需求，需购进故事书和科普书共30本，其中故事书的数量不超过18本，且总费用不超过600元，共有几种购进方案？ （3）在（2）的条件下，商家推出一项优惠活动：购买科普书数量超过10本时，超出部分的科普书按原价的8折付款，故事书不打折，请直接写出该书店购进这些图书最少花费多少钱． 【解答】解：（1）设每本故事书的价格为x元，每本科普书的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本故事书的价格为10元，每本科普书的价格为30元； （2）设购进m本故事书，则购进（30﹣m）本科普书， 根据题意得：， 解得：15≤m≤18， ∵m为整数， ∴m可以为15，16，17，18， ∴共有4种购进方案， 方案1：购进15本故事书，15本科普书； 方案2：购进16本故事书，14本科普书； 方案3：购进17本故事书，13本科普书； 方案4：购进18本故事书，12本科普书； （3）选择方案1的进货总价为10×15+30×10+30×0.8×（15﹣10）＝570（元）； 选择方案2的进货总价为10×16+30×10+30×0.8×（14﹣10）＝556（元）； 选择方案3的进货总价为10×17+30×10+30×0.8×（13﹣10）＝542（元）； 选择方案4的进货总价为10×18+30×10+30×0.8×（12﹣10）＝528（元）， ∵570＞556＞542＞528， ∴进货总价最少为528元． 答：该书店购进这些图书最少花费528元钱． 【例题8】（2026春•大同期末）【阅读与思考】 （1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x的一元一次方程2x+a＝1中，满足x＞0，求a的取值范围． 分析：第一步，通过解方程，用含a的代数式求出x：由2x+a＝1解得； 第二步，根据x＞0，列出关于a的不等式：； 第三步，解不等式，求得a的取值范围为　 　 ． 【迁移思考】 （2）在关于x，y的二元一次方程组中，若x＞1，y＜0，求a的取值范围． （3）在（2）的方程组中，若2x＞3y＞a，请直接写出a的取值范围． 【解答】解：（1）原不等式去分母得：1﹣a＞0， 移项得：﹣a＞﹣1， 解得：a＜1． 故答案为：a＜1． （2）， ①+②得， ②﹣①得， ∴； ∵x＞1，y＜0， ∴， 由③得：a＞0， 由④得：a＜2， ∴0＜a＜2． （3）∵2x＞3y＞a，， ∴， ∴， 由①得：a＜10， 由②得：a＞6， ∴6＜a＜10． 【变式1】（2026春•辉县市月考）下面是亮亮解不等式组的过程． 解：由①，得x＜3+2．…第一步 所以x＜5．…第二步 由②，得﹣x﹣2≤3．…第三步 所以x≥﹣5．…第四步 故原不等式组的解集是﹣5≤x＜5．…第五步 （1）亮亮的解答过程从第　 　 步开始出现错误的； （2）请你写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【解答】解：（1）由去分母时，可得﹣（x﹣2）≤3，即﹣x+2≤3， ∴亮亮的解答过程从第三步开始出现错误． 故答案为：三； （2）由①，得x＜3+2， 所以x＜5， 由②，得﹣x+2≤3， 所以x≥﹣1， 故原不等式组的解集是﹣1≤x＜5， 解集在数轴上的表示如下： 【变式2】（2026春•青岛校级期中）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a＜3 C．1＜a＜3 D．1＜a≤2 【解答】解：解不等式x+a＜3，得：x＜3﹣a， 解不等式3﹣2x≤7，得：x≥﹣2， ∴﹣2≤x＜3﹣a， ∴这3个整数解为﹣2，﹣1，0， ∴0＜3﹣a≤1， 由3﹣a＞0，得：a＜3， 由3﹣a≤1，得：a≥2， ∴a的范围为：2≤a＜3． 故选：B． 【变式3】（2026春•榆林期末）如图是小秦写的一个程序，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于15”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于15，则用得到的这个数进行下一次操作．若程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是　 　 ． 【解答】解：∵第一次运算结果为2x﹣3，第二次运算结果为2（2x﹣3）﹣3， ∵程序操作进行了两次才停止， ∴第一次运算结果≤15，且第二次运算结果＞15， ∴， ∴不等式组的解集为6＜x≤9， ∴输入的x的取值范围是6＜x≤9． 故答案为：6＜x≤9． 【变式4】（2026春•古县期末）山西石雕工艺历史悠久，某石材加工厂选用两种货车转运石材原料，当车辆满载时，1辆A型货车和1辆B型货车一共可运载6吨石材；2辆A型货车和1辆B型货车一共可运载8吨石材，租用1辆A型货车费用为200元，租用1辆B型货车费用为300元． （1）求1辆A型货车、1辆B型货车分别能运载多少吨石材． （2）该石材加工厂计划租用A，B型两种货车共10辆，且总运费不超过2800元，求至少需要租用A型货车多少辆． （3）现有数量相同的A，B型货车若干辆，该石材加工厂准备运送一批石材，若全部用A型货车装运，每辆都装满后，还剩余17吨石材；若全部用B型货车装运，仅有一辆车未装满，且该车内也装有石材．直接写出B型货车可能为多少辆． 【解答】解：（1）设1辆A型货车可运载x吨石材，1辆B型货车可运载y吨石材， 根据题意得，， 解得， 答：1辆A型货车可运载2吨石材，1辆B型货车可运载4吨石材； （2）设租用A型货车a辆， 200a+300（10﹣a）≤2800， 200a+3000﹣300a≤2800， ﹣100a≤﹣200， 解得a≥2， ∵a为正整数， ∴a的最小值为2， 答：至少需要租用A型货车2辆； （3）设A，B型货车各有x辆， 根据题意得，， 解得8.5＜x＜10.5， ∵x为正整数， ∴x＝9或10， 答：B型货车可能有9辆或10辆． 【变式5】（2025秋•慈溪市期末）【问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 【方法】由x﹣y＝2可知x＝y+2．由x＞1可知y+2＞1即y＞﹣1，从而可以得到﹣1＜y＜0． 因为x+y＝（y+2）+y＝2y+2，所以由﹣1＜y＜0可得0＜2y+2＜2． 即0＜x+y＜2． 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知x+2y＝3，且x＜1，y＜5，求x+y的取值范围． （2）一家具生产厂生产学生就餐使用的桌椅，1张桌子的售价比2把椅子贵40元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过50元，求出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）定价的范围． 【解答】解：（1）∵x+2y＝3， ∴x＝3﹣2y， ∵x＜1， ∴3﹣2y＜1， 解得y＞1， ∴1＜y＜5， ∴x+y＝（3﹣2y）+y＝3﹣y， ∵1＜y＜5， ∴﹣2＜x+y＜2； （2）设一张桌子售价为x元，一把椅子售价为y元， 由题意得：x﹣2y＝40①， ∵x≥120，y≤50， 由①得x＝40+2y≥120， 解得y≥40， ∴40≤y≤50， ∵x+4y＝40+6y， ∴280≤x+4y≤340． 答：出售一套桌椅（1张桌子+4把椅子）定价的范围是不少于280元，不超过340元． 课后小练习 1．（2026春•江岸区校级月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是， 故选：B． 2．（2026春•德阳期末）下列式子的变形错误的是（　　） A．若a＝b，则2a+b＝2b+a B．若，则a＝b C．若m＞n，则 D．若x＜y，则a2x＜a2y 【解答】解：根据不等式的性质逐项分析判断如下： A、a＝b，两边同时加（a+b）得2a+b＝2b+a，变形正确，不符合题意； B、等式中，分母m不为0，两边同乘m得a＝b，变形正确，不符合题意； C、∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∵m＞n， ∴，变形正确，不符合题意； D、当a＝0时，a2＝0，此时a2x＝a2y＝0 ∴x＜y不能推出a2x＜a2y，变形错误，符合题意； 故选：D． 3．（2026春•金湾区期末）如图，直接写出关于x的不等式的解集：　 　 ． 【解答】解：由题意得，该不等式的解集为x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2． 4．（2020•长春模拟）不等式5﹣2x＜﹣1的解集为x＞3　 ． 【解答】解：不等式移项得，﹣2x＜﹣1﹣5， 合并同类项得，﹣2x＜﹣6， 系数化1得，x＞3； 故答案为x＞3． 5．若关于x的不等式x＜a恰有3个正整数解，则a的取值范围为（　　） A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．0＜a＜4 D．0＜a≤3 【解答】解：关于x的不等式x＜a恰有3个正整数解， 则正整数解是：1，2，3． 则a的取值范围：3＜a≤4． 故选：A． 6．（2026春•浦北县校级月考）x与2的差是负数，用不等式表示为（　　） A．x﹣2＜0 B．x﹣2＞0 C．x+2＜0 D．x﹣2≤0 【解答】解：根据题意可得不等式 x﹣2＜0． 故选：A． 7．（2026春•西乡县期末）如果关于x的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，那么m的取值范围是（　　） A．5≤m≤6 B．5＜m＜6 C．5＜m≤6 D．5≤m＜6 【解答】解：由x﹣1＜3得：x＜8， 由﹣x＜﹣m得：x＞m， ∵不等式组有且仅有2个整数解， ∴5≤m＜6， 故选：D． 8.（2025春•易门县期末）将一箱书分给学生，若每名学生分6本书，则还剩10本书；若每名学生分8本书，则最后一名学生虽然分到了书，但是数量不足4本，则学生人数为 　 　 人． 【解答】解：设学生人数为x人，则这箱书共（6x+10）本， 根据题意得：， 解得：7＜x＜9， 又∵x为正整数， ∴x＝8， ∴学生人数为8人． 故答案为：8． 9．（2025秋•青羊区校级期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞3，则k的范围是　 　 ． 【解答】解：给定方程组 ， 通过将方程组中的两个方程相减①﹣②得：（3x﹣2y）﹣（2x﹣3y）＝（2k﹣5）﹣3k， 化简得：x+y＝﹣k﹣5＞3， 由条件可知﹣k﹣5＞3， 解得k＜﹣8， 故答案为：k＜﹣8． 10．（2026春•西城区月考）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝5时，不等式组有解； ③若它的整数解仅有4个，则a的取值范围是11≤a＜13； ④若它无解，则a＞3． 其中正确的结论有　 　 ．（填编号） 【解答】解：， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：， 因此当a＞3时，不等式组的解集为；当，即a≤3时，不等式组无解． ①若解集是1＜x≤3，则，解得a＝7，故①正确，符合题意； ②当a＝5时，，不等式组解集为1＜x≤2，存在解，故②正确，符合题意； ③若整数解仅有4个，由x＞1得，4个整数解为2，3，4，5，因此可得， 不等式两边同乘2得10≤a﹣1＜12，移项得11≤a＜13，故③正确，符合题意； ④若不等式组无解，则，解得a≤3，故④错误，不符合题意； 综上，正确的结论编号为①②③． 故答案为：①②③． 11．（2026春•高要区期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 　 　 ． 【解答】解：设这样一颗玻璃球的体积为acm3， 由题意得：， 解得：40＜a＜50， 故答案为：40cm3＜a＜50cm3． 12（2026•陕西校级模拟）解不等式，并写出所有非负整数解． 【解答】解：， 去分母得4（x﹣2）﹣3（x﹣1）＜﹣2， 括号得：4x﹣8﹣3x+3＜﹣2， 移项得：4x﹣3x＜﹣2+8﹣3， 合并同类项得：x＜3， 不等式的所有非负整数解为0，1，2． 13．（2026春•南充期末）求同时满足不等式3﹣4x≤8和的整数x的值． 【解答】解：解不等式3﹣4x≤8， 解得， 解不等式， 解得x＜3， 这两个不等式的解集在数轴上表示如图： 它们的公共部分是， ∴整数解x＝﹣1，0，1，2． 14．（2026春•青岛校级期中）解答题 （1）解不等式：3x﹣1≤﹣2x． （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． （3）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【解答】解：（1）3x﹣1≤﹣2x， 3x+2x≤1， 5x≤1， ． （2）， 4（x+1）﹣3（x﹣3）≥12， （4x+4）﹣（3x﹣9）≥12， 4x+4﹣3x+9≥12， x+13≥12， x≥﹣1； 解集表示在数轴上如图所示． （3）解不等式①，x﹣3（x﹣1）＞﹣5， ﹣2x＞﹣8， x＜4； 解不等式②，， 2x﹣7＜3（x﹣1）， 2x﹣3x＜﹣3+7， x＞﹣4； ∴﹣4＜x＜4， ∴它的非负整数解为0，1，2，3． 15．（2026春•定边县校级期末）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【解答】解：， 去分母，得x+1﹣3≤3x+6， 移项，得x﹣3x≤6+3﹣1， 合并同类项，得﹣2x≤8， 两边同除以﹣2，得x≥﹣4， 不等式解集在数轴上表示如下： ． 16.（2026春•东城区校级期中）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 【解答】解：， （3x﹣2）﹣2（x﹣3）≤6， 3x﹣2﹣2x+6≤6， 3x﹣2x≤2 x≤2． 并在数轴上表示为：． 17．（2026•太和县校级二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【解答】解： 4x﹣5≥3（2x﹣1）， 4x﹣5≥6x﹣3 ﹣2x≥2， x≤﹣1， 解集在数轴上表示如下： 18．（2026春•西安校级期末）为了让更多的同学参与到体育活动中去，学校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知每副羽毛球拍的售价是60元，每副乒乓球拍的售价是45元，如果学校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过5000元，那么学校最多能购进多少副羽毛球拍． 【解答】解：设学校购买x副羽毛球拍，则购买（100﹣x）副乒乓球拍， 根据题意得：60x+45（100﹣x）≤5000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为33． 答：学校最多可以购买33副羽毛球拍． 19．（2026春•镇安县校级期末）《2026年十大新兴技术》报告筛选出未来三到五年内可能对经济和社会产生重大影响的科技技术，从芯片超级周期到数字健康身体，再到教育产业的科技融合，多个领域均有新进展．为了让学生增长见识、陶冶情操，某校计划组织全校500名师生到高校科技实验室进行研学，学校计划租用A型车和B型车若干，已知3辆A型车和2辆B型车可满载师生180人，4辆A型车和3辆B型车可满载师生255人． （1）每辆A型车和每辆B型车各能满载多少名师生？ （2）若该校计划租用A型车和B型车共12辆，则至多租用A型车多少辆？ 【解答】解：（1）设每辆A型车能载x名师生，每辆B型车能载y名师生， 由题意得， 解得， 答：每辆A型车能满载30名师生，每辆B型车能满载45名师生； （2）设租用A型车m辆， 由题意得30m+45（12﹣m）≥500， 30m+540﹣45m≥500， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最大值为2， 答：至多租用A型车2辆． 20．（2026春•浉河区校级月考）开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中A，B两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如表： 类别价格 A款汴绣 B款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 （1）第一次小杰用14200元购进了A，B两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； （2）在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件B种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求A种汴绣产品最低打几折？ 【解答】解：（1）设A款汴绣购进x件，B款汴绣购进y件．第一次小杰用14200元购进了A，B两款汴绣共100件， 根据题意可得：， 解得， 答：A款汴绣购进60件，B款汴绣购进40件； （2）设A种汴绣产品打m折． 根据题意，总利润不低于3140元， 列不等式得：， 解得：m≥9， 答：A种汴绣产品最低打9折． 21．（2026春•临潼区校级期末）编程课上，小宇设计了一个如图所示的运算程序图，按照程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于19”为一次运行． （1）若该程序只运行了1次就停止了，求x的取值范围； （2）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣3＞19， 解得x＞11； （2）若该程序只运行了2次就停止了， 由题意得，， 解不等式①得x≤11， 解不等式②得x＞7， ∴原不等式组的解集为7＜x≤11， ∴x的取值范围为7＜x≤11． $